Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Стратегии решения математических задач различные подходы к типовым задачам

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2311 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Глава 4. Принятие другой точки зрения

101

227=(27) (117) =

= (2

) (112) (112) (112) (11) =

= (123+5) (123 – 2) (123 – 2) (123 – 2) (11).

Теперь вспомним, что произведение двух двучленов вида

123+s и123+t можно представить как 123k+st:

(123+s) (123+t)=123

+123s+123t+st =

= 123 (123+s+t)+st=123k+st.

Таким образом, мы получаем:

123n– 440=123n– 492+52=123 (n– 4)+52.

При делении числа 22

на123 остаток равен 52.

ЗАДАЧА 4.15

Вовремя футбольного матча команды получают 2 очка засейфти, 3 очка загол вворота и7 очков затачдаун. Если отбросить 2 очка засейфти, токоманды смогут получать лишь по3 ипо7 очков. Каково максимальное значение счета, которое нельзя получить вэтом матче?

Обычный подход

Очевидный подход— выписывать все возможные значения счета дотех пор, пока необнаружится максимальное значение, которое невозможно получить. Такой метод, однако, недает уверенности втом, что несуществует более высокое значение.

Образцовое решение

Вэтом случае можно воспользоваться стратегией принятия другой точки зрения. Вместо поисков значений счета,

102

Стратегии решения математических задач

которые нельзя получить, определим значения, которые можно получить. Счет, который можно набрать, зараба-

тывая очки наголах вворота, составляет 3, 6, 9, 12, 15, … Счет, который можно заработать наочках затачдаун, составляет 7, 14, 21, 28, … Другие значения получаются врезультате прибавления очков загол вворота или затачдаун кпредыдущему счету. Таким образом, значения, которые нельзя получить, составляют 2, 4, 5, 8, 11. Любой счет, начиная с12, является доступным, как видно изследующего:

12=4×3 15=5×3 13=(2×3)+(1×7) 16=(3×3)+(1×7) 14=(2×7) 17=(1×3)+(2×3)

18=6×3 19=(4×3)+(1×7) 20=(2×3)+(2×7).

Таким образом, наивысший счет, который нельзя полу-

чить, равен 11.

Интересно отметить, что эта ситуация описывается чи-

сто математически.

Наивысший счет, который нельзя получить при использовании двух простых чисел (a иb), равен произведению этих чисел завычетом ихсуммы. Внашем случае это (7×3)– (7+3)=11.

ЗАДАЧА 4.16

Число 6! (читается как «шесть факториал») равно произведению 6×5×4×3×2×1=720. Найдите значение

110! 99! 98!



100! 99! 98!



Глава 4. Принятие другой точки зрения

Обычный подход

Обычно так иподмывает выписать все факториалы, взять калькулятор или компьютер ивычислить фактические результаты. Это, конечно, позволит получить ответ, нопотребует массы арифметических расчетов.

Образцовое решение

Давайте применим стратегию принятия другой точки зрения. Каждый изфакториалов можно представить как число, кратное 98! Например, 100! можно записать как 100×99×98!, а99!— как 99×98! Врезультате мы получаем:

103

100! 99! 98!



00! 99! 98! 98! 100 99 99 1

 u

что является ответом этой задачи.

ЗАДАЧА 4.17

При делении 450 нанечетное число частное представляет собой простое число без остатка. Чему равно нечетное число?

Обычный подход

Обычно 450 последовательно делят нанечетные числа (1,3, 5, …) дотех пор, пока ненайдут частное ввиде простого числа. Это вконечном итоге дает результат, номожет потребовать довольно много времени.

98! 100 99 99 1

100 99 99 1



100 99 99 1 10000 50



u

 

u u

9800 49

104

Стратегии решения математических задач

Образцовое решение

Воспользуемся нашей стратегией ипосмотрим назадачу сдругой точки зрения. Число 450 можно записать как

2×3

×52. Поскольку 32 и52 это нечетные числа, а450— четное число, тоединственным возможным четным простым множителем для 450 является 2. Таким образом, нечетное число равно 3

×52=225.

ЗАДАЧА 4.18

Число 1 000 000 имеет множество пар целочисленных множителей, т. е. двух чисел, произведение которых равно 1000000. Однако существует только одна пара множителей, которые несодержат нулей. Чему равны эти множители?

Обычный подход

Традиционный подход— это перебор пар чисел, произведение которых равно 1000000, впоисках пары, несодержащей нулей. Можно начать с1×1000000, 2×500000 ит. д. Это наверняка потребует много времени— ведь учисла 1000000 масса пар множителей.

Образцовое решение

Проанализируем число 1000000 сдругой точки зрения. Это число можно представить как 10 можно разложить следующим образом: (2×5)

. Степень, всвою очередь,

=26×56.

Это дает нам два множителя, которые несодержат нулей:

=64 и56=15 625. Обратите внимание нато, что все остальные пары множителей должны содержать как минимум один ноль, поскольку при перемножении чисел 2 и5 получается 10, аэто дает число, оканчивающееся наноль.

Глава 5

Анализ

экстремальных

ситуаций

Иногда, чтобы решить задачу, полезно присвоить одним переменным экстремальные значения, адругие переменные сохранить постоянными. Если напеременные неналагаются какие-либо ограничения, тоэкстремальный сценарий может дать полезные результаты. Большинство изнас подсознательно использует эту стратегию вреальной жизни. Мы, например, спрашиваем себя: «Что может произойти всамом плохом случае?» Определение «наихудшего сценария»— это образчик использования стратегии поиска экстремальной ситуации, которая иногда помогает очень изящно решить проблему. Допустим, вас просят протестировать новый продукт, скажем, хозяйственное мыло. Вам необходимо испытать его вочень холодной ив очень горячей воде, т. е. рассмотреть две экстремальные ситуации, чтобы получить значимый результат. Если оно хорошо работает при экстремальных температурах, тодолжно вести себя также ипри промежуточных температурах.

Бывает, что использование экстремумов для решения

задачи противоречит здравому смыслу. Например, когда

106

Стратегии решения математических задач

возникает вопрос, что лучше, бежать под дождем, чтобы добраться източки Авточку В, или двигаться медленно, мы вспоминаем, что при быстрой езде наавтомобиле под дождем ветровое стекло заливает водой, апри более медленном движении потоки воды нетакие сильные. Так что лучше, бежать вовремя дождя или нет? Анализ экстремальных ситуаций показывает, что очень медленное движение увеличивает время, которое мы находимся под дождем, аэкстремально медленное движение, скажем, снулевой скоростью, приведет ктому, что вы промокнете донитки. Таким образом, чем быстрее мы будем двигаться, тем меньше намокнем. Вот так экстремумы помогают решать задачи.

Рассмотрим задачу, где стратегия анализа экстремумов

помогает найти решение.

В40 почтовых ящиков вместном почтовом отделении каждое утро кладут письма. Однажды почтальон разложил поэтим ящикам 121 письмо. Закончив работу, он обнаружил, что водном ящике больше писем, чем влюбом другом. Какое наименьшее количество писем может находиться вэтом ящике?

Поскольку взадаче требуется найти наименьшее количество писем вящике, мы можем рассмотреть следующую экстремальную ситуацию. Распределим письма равномерно. Предположим, что вовсех ящиках находится одинаковое количество писем. Это экстремальная ситуа ция, противоположностью которой является ситуация, когда все письма лежат водном ящике. При равномерном распределении вкаждый ящик попадает 3 письма— 120: 40=3. Добавление дополнительного письма водин изящиков доведет количество писем внем до4— это ибудет наибольшее

Глава 5. Анализ экстремальных ситуаций

107

число. Таким образом, наименьшее количество писем впочтовом ящике, которое превышает количество писем влюбом другом ящике, равно 4.

Чтобы попрактиковаться вприменении этого метода, рассмотрим еще одну задачу, наэтот раз состатистическим уклоном:

Кларисса написала 5 целых чисел. Как оказалось, ихмода

равна 12, амедианное значение— 14. Среднее арифме-

тическое (или просто среднее) этих чисел равно 16. Одно

изчисел больше медианного значения на5. Какие именно

числа написала Кларисса?

Воспользуемся стратегией анализа экстремальной ситуации. Поскольку мода равна 12, наихудший сценарий (наименьшее значение)— это два раза по12. Мы знаем также, что медиана, или среднее значение равно 14. Так как одно число больше медианы на5, оно составляет 14+5, или 19. Итак, нам известны следующие числа:

12, 12, 14, 19.

Среднее находится путем сложения всех пяти чисел иделения суммы на5. Поскольку среднее равно 16, тосумма всех чисел составляет 16×5=80. Найдем сумму уже известных чисел 12+12+14+19=57. Недостающее число должно быть равным 80–57=23. Таким образом, Кларисса написала следующие числа: 12, 12, 14, 19, 23. Обратите внимание, насколько важно было начать решение санализа экстремальной ситуации, который позволил определить, что числовой ряд включает всебя два числа 12.

При применении данной стратегии следует, однако, соблюдать осторожность. Анализируя экстремальную ситуацию, следите затем, чтобы неизменить переменную,

108

Стратегии решения математических задач

которая влияет надругие переменные, атакже неизменить сам характер задачи. Задачи, представленные вэтой главе, помогают понять, вкаких ситуациях можно использовать рассматриваемую стратегию.

ЗАДАЧА 5.1

Автомобиль едет пошоссе спостоянной скоростью 55км / ч. Водитель замечает другой автомобиль нарасстоянии

1 2

км

позади. Второй автомобиль обгоняет первый 1 минуту спустя. Скакой скоростью двигался второй автомобиль, если считать, что она была постоянной?

Обычный подход

Традиционное решение заключается в составлении таблицы «скорость×время=расстояние», как рекомендуют многие учебные пособия. Это делается следующим образом:

Скорость×время=расстояние

55 1



;

55 60

60 2 60

55 30 ;



85.

Второй автомобиль ехал соскоростью 85км / ч.

Глава 5. Анализ экстремальных ситуаций

109

Образцовое решение

Вкачестве альтернативы используем стратегию анализа экстремумов. Предположим, что первый автомобиль движется чрезвычайно медленно, т. е. соскоростью 0км / ч.

Вэтом случае второй автомобиль проедет

км заодну

минуту идогонит первый автомобиль. Таким образом, второй автомобиль должен двигаться соскоростью 30км / ч. Первый автомобиль движется соскоростью 0км / ч, авторой автомобиль— на30км / ч быстрее, чем первый. Если первый автомобиль будет иметь скорость 55км / ч, товторой— 85км / ч.

ЗАДАЧА 5.2

Даны два параллелограмма ABCD иAPQR сточкой P настороне BC иточкой D настороне RQ, как показано нарис.5.1. Если площадь параллелограмма ABCD 18, точему равна площадь параллелограмма APQR?

Рис. 5.1

Обычный подход

Эта задача нетакая ужпростая. Первая попытка решить ее заключается в поиске признаков конгруэнтности,

110

Стратегии решения математических задач

означающих равенство площадей. Этот метод недает результата. Более разумно, хотя инеслишком оригинально, провести линию PD, как показано нарис.5.2.

Рис. 5.2

Теперь можно показать, что площадь треугольника APD составляет половину площади каждого издвух параллелограммов, поскольку вэтот треугольник имеет общее основание собеими параллелограммами иодинаковую высоту. Хотя это разумный подход крешению довольно сложной задачи, существует более изящный способ ее решения.

Образцовое решение

Вусловиях задачи просто говорится, что точка P лежит настороне BC, нонеуказывается, где именно. Мы можем проанализировать экстремальную ситуацию. Можно, например, представить, что точка P совпадает с точкойB. Аналогичным образом можно представить, что точка D, лежащая настороне RQ, совпадает сточкойR. Врезультате такого изменения, которое определенно соответствует исходным условиям задачи, два параллелограмма оказываются наложенными друг надруга и,следовательно, имеющими одну итуже площадь. Таким образом, площадь параллелограмма APRQ равна 18.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2311 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]