Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Стратегии решения математических задач различные подходы к типовым задачам

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2316 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Глава 7. Организация данных

151

Теперь рассмотрим треугольник ABC содной внутренней линией AD. Унас получилось два новых треугольника ABD иADC.

Рис. 7.3

Добавим еще одну внутреннюю линию BE иподсчитаем все новые треугольники, имеющие сторону BE.

Рис. 7.4

Такимже образом добавим линию CF иопять подсчитаем новые треугольники, имеющие сторону CF.

152

Стратегии решения математических задач

Рис. 7.5

Представим полученные результаты втабличной форме.

Рисунок

7.2 0 ABC

7.3 AD ABD, ADC

7.4 BGE ABG, BGD, AGE, BEC, ABE

7.5 CKHF FBH, AFC, BHC, AFK, KDC, AKC, FBC, HKG, EHC

Добавленная

линия

Вновь образованные треугольники

Общее количество перечисленных выше треугольни-

ков равно 17.

ЗАДАЧА 7.3

Дана последовательность

. Найдите положительное целое число n, при кото-

, …,

ром произведение первых n членов последовательности превышает 100 000.

Глава 7. Организация данных

153

Обычный подход

Вэтом случае обычно прибегают кметоду проб иошибок иначинают добавлять члены впоследовательность иперемножать ихдотех пор, пока произведение непревысит 100 000. Такой подход трудоемок, иего точно нельзя назвать изящным.

Образцовое решение

Напишем сначала произведение первых n членов данной последовательности, что вопределенном смысле будет организацией ипредставлением наших данных вболее удобной форме:



1234 1234

11 11 11 11 11 11 22

10 10 10 10 10 10 1 .0

uuuu}u

}



«Превышает 100 000» означает, что нам нужно число, большее, чем 10

n (n + 1)

> 5,

или n (n+1) > 110. Когда n ≤ 10, мы получаем

, аэто происходит, только когда

n (n+1) ≤ 110. Таким образом, наименьшее целое значение n, при котором выполняется условие задачи, равно 11.

ЗАДАЧА 7.4

Джером открыл свое первое предприятие попрокату каяков. Запрокат он берет почасовую оплату. Каякам присваиваются идентификационные номера, накаждом из них стоят три цифры. Первая цифра— это номер предприятия, аименно 1. Номера укаяков немогут повторяться, атри цифры должны располагаться ввозрастающем порядке. Ноль использовать нельзя. Вскоре Джером обнаружил, что использовал все возможные сочетания, которые

154

Стратегии решения математических задач

удовлетворяют условиям. Какое максимальное количество каяков может быть уДжерома?

Обычный подход

Самый распространенный подход— выписывание всех возможных трехзначных чисел, удовлетворяющих условиям задачи. Нокак узнать, всели эти числа учтены? Существуетли метод, обеспечивающий гарантированное решение? Обычный подход явно несамый эффективный!

Образцовое решение

Представим наши данные втабличной форме:

Первая

цифра

1 2 От3 до9 7

1 3 От4 до9 6

1 4 От5 до9 5

1 5 От6 до9 4

1 6 От7 до9 3

1 7 От8 до9 2

18 9 1

Вторая

цифра

Третья цифра

Количество

комбинаций

Джером может иметь неболее чем 7+6+5+4+

+3+2+1=28 каяков.

ЗАДАЧА 7.5

Фермер везет яблоки на рынок. Яблоки уложены вшесть ящиков. Весы напункте взвешивания могут принять зараз

Глава 7. Организация данных

155

только пять ящиков. Нам дают результаты шести взвешиваний:

Ящик B+ящик C+ящик D+ящик E+

+ящик F=200 фунтов;

Ящик A+ящик C+ящик D+ящик E+

+ящик F=220 фунтов;

Ящик A+ящик B+ящик D+ящик E+

+ящик F=240 фунтов;

Ящик A+ящик B+ящик C+ящик E+

+ящик F=260 фунтов;

Ящик A+ящик B+ящик C+ящик D+

+ящик F=280 фунтов;

Ящик A+ящик B+ящик C+ящик D+

+ящик E=300 фунтов.

Сколько фунтов яблок вкаждом ящике?

Обычный подход

Эту задачу можно решить алгебраически, составив шесть уравнений сшестью неизвестными:

B+C+D+E+F=200; A+C+D+E+F=220; A+B+D+E+F=240; A+B+C+E+F=260;

A+B+C+D+F=280;

A+B+C+D+E=300.

Решение шести уравнений довольно трудоемко, поэтому попробуем поискать другой подход кэтой задаче.

156

Стратегии решения математических задач

Образцовое решение

Спомощью нашей стратегии организации данных можно упростить решение задачи исделать его изящным. Начнем спредставления данных втабличной форме:

Взве-

шивание

Ящик A Ящик B Ящик C Ящик D Ящик E Ящик F Всего

1 – B C D E F 200

2 A – C D E F 220

3AB–DEF240

4 A B C – E F 260

5 A B C D – F 280

6 A B C D E – 300

Мы опять получили довольно громоздкий набор уравнений, номожно посмотреть наних сдругой точки зрения иорганизовать данные вертикально, просуммировав колонки ввертикальном направлении:

5A+5B+5C+5D+5E+5F=1500.

Разделив обе стороны уравнения на5, мы получаем:

A+B+C+D+E+F=300.

Однако шестое взвешивание втаблице показывает, что A+B+C+D+E=300 фунтам. Следовательно, ящик F должен весить 0 фунтов. Обратимся затем кпятому взвешиванию, которое показывает, что A+B+C+D+F=280 фунтам. Однако мы уже знаем, что F= 0, азначит A+B+C+D=280.

Вернемся к шестому взвешиванию — A + B + C + +D+E=300, вычтем изнего последнее уравнение иполучим E=20 фунтов.

Глава 7. Организация данных

157

Изчетвертого взвешивания следует, что A+B+C+ +E+F=260. Подставив вэто уравнение уже известные значения F иE, мы получим A+B+C+20+0=260, или A+B+C=240. Подставляя это значение впятое взвешивание, находим D=40.

Если вычесть уравнение третьего взвешивания изуравнения четвертого взвешивания, то, зная, что F=0, мы получаем:

A+B+D+E+F=240 A+B+C+E+F=260

C–D=20.

Поскольку D=40, мы получаем C=60.

Подставим известные значения вуравнение первого взвешивания: B+C+D+E+F=200=B+60+40+ +20+0. Таким образом, B=80.

Поступив аналогичным образом суравнением второго взвешивания, получим A=100.

Использование табличной формы сделало данные более понятными ипозволило решить задачу путем логических рассуждений.

ЗАДАЧА 7.6

Даны трехзначные числа, которые составлены исключительно изнечетных цифр. Чему равна сумма всех этих чисел?

Обычный подход

Обычно при решении задачи такого типа начинают составлять список нечетных чисел втом или ином порядке, апотом долго складывают их.

158

Образцовое решение

Стратегии решения математических задач

Главное здесь— организовать числа логичным образом. Например, наш список может выглядеть так: 111+113+115+ +117+119+133+135+137+139+…+511+513+ +515+517+519+…+991+993+995+997+999. Поскольку всего пять цифр могут находиться вкаждом изтрех разрядов, существует 5×5×5= 125 возможных чисел. Если подойти кделу организованно, томожно складывать эти числа парами: первое ипоследнее, второе и предпоследнее ит. д. Сумма каждой изэтих пар равна1110. Вна-

шем списке пар

чисел составляет

125

чисел. Таким образом, сумма этих

125

× 1110 = 69375.

Данные можно организовать по-другому итакже получить довольно изящное решение. Мы уже определили, что сложить нужно 125 целых чисел, каждое изкоторых состоит изтрех цифр, азначит всего нам необходимо принять вовнимание 375 цифр. Понятно, что каждое изпяти нечетных цифр— 1, 3, 5, 7 и9— встречается 75 раз, т. е. 25 раз вкаждом разряде (вразряде сотен, десятков иединиц). Это можно представить ввиде формулы следующим образом:

25 [100 (1+3+5+7+9)+10 (1+3+5+7+9) +

+ 1 (1+3+5+7+9)]=25×25×(100+10+1)=

=69 375.

Вкаждом изприведенных примеров организации данных решение задачи становится значительно более изящным, чем вслучае использования лобового метода.

Глава 7. Организация данных

159

ЗАДАЧА 7.7

Допустим, унас есть 11 линий, лежащих водной плоскости, при этом три линии проходят через точкуP, атри линии имеют общую точкуQ. Никакие другие три линии, кроме этих, непересекаются. Чему равно минимальное количество точек пересечения этих 11 линий при таких условиях?

Обычный подход

Чаще всего эту задачу пытаются решить методом проб иошибок, нодовольно большое количество линий (11) делает такой подход проб лематичным. Таким образом, должен быть какой-то другой, более эффективный способ решения подобной задачи.

Образцовое решение

Чтобы решить такую задачу, нужно организовать линии логичным образом. Начнем спостроения трех линий, пересекающихся вточке P, как показано нарис.7.6.

Рис. 7.6

160

Стратегии решения математических задач

Повторим эту процедуру сточкой Q, построив линии l

|| l4 иl2|| l5, как показано нарис.7.7.

Рис. 7.7

Затем проведем шесть оставшихся линий параллельно линии l

. Это показано нарис.7.8. Каждая изэтих линий

добавляет три новые точки пересечения.

Рис. 7.8

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2316 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]