Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Стратегии решения математических задач различные подходы к типовым задачам

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 234 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Глава 1. Логическое рассуждение

два числа изданного ряда, которые имеют разность 5, это 6 и1. Сучетом такого ограничения уравнение N– M=5 имеет единственное решение, где M=1, аN=6. Таким образом, втретий раз выпала цифра 6.

ЗАДАЧА 1.4

Имеется треугольник, периметр которого численно равен его площади. Чему равен радиус вписанной втреугольник окружности?

Обычный подход

Обычно при решении этой задачи строят чертеж, как показано нарис.1.1, иподбирают значения впопытке найти ответ. При таком подходе нужно быть готовым кразочарованиям.

Рис. 1.1

Образцовое решение

Стратегии решения математических задач

Для решения этой задачи необходимо немного логики иследование поставленным условиям. Начнем стреугольника ABC, периметр которого равен p=AB+BC+CA. Обозначим символом O центр вписанной окружности срадиусом r. Площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников AOB, BOC иCOA соснованиями AB, BC иCA, соответственно, ивысотой r. Это дает нам следующее уравнение:

лощадь ABC rAB rBC rC



'  

111 222

rAB BC CA rp





Поскольку периметр треугольника численно равен его

площади, мы получаем:

ЗАДАЧА 1.5

1 2

и2.

rp p r

В США президентов выбирают каждые четыре года вгоды, кратные4. Некоторые изэтих лет являются также квадратами целых чисел. Сколько президентских выборов между 1788 и2016годами пришлось нагоды, которые являются квадратами простых чисел? Вкаких годах они проводились?

Обычный подход

Один изпутей решения этой задачи— перебор всех четырехлетних периодов между 1788 и2016г. Поскольку 1788 делится на4, тоэто будет первый год президентских выборов врассматриваемом диапазоне. Таким образом, можно составить перечень этих лет (1788, 1792, 1796, …, 2012,

Глава 1. Логическое рассуждение

2016), азатем извлечь квадратный корень изкаждого для определения тех лет, которые являются квадратами целых чисел. Калькулятор, конечно, облегчит задачу, нопроцесс решения все равно будет долгим инудным!

Образцовое решение

Это отличный пример применения стратегии логического рассуждения. Прежде всего, кратным 4 может быть только четный год, поэтому можно отбросить все нечетные годы. Помимо этого, квадратные корни изэтих лет должны лежать винтервале от40 до50, поскольку:

=1600 (дозаданного диапазона);

=1764 (дозаданного диапазона);

=1936;

=2116 (после заданного диапазона).

Впределах заданного диапазона находится только 1936г. Таким образом, 1936— это единственный год президентских выборов, который является квадратом целого числа.

ЗАДАЧА 1.6

Джимми подбрасывает одновременно две монетки. Он делает это дотех пор, пока хотябы наодной монетке невыпадет орел (О). Наэтом игра заканчивается. Какова вероятность того, что впоследнем подбрасывании орел выпадет наобеих монетках?

Обычный подход

Первая реакция— это взять две монетки ипосмотреть, какими будут результаты после большого числа подбрасываний.

Стратегии решения математических задач

Вместе стем, как ивбольшинстве вероятностных экспериментов, пространство выборок чаще всего оказывается слишком маленьким, чтобы предсказать результат сприемлемой точностью.

Образцовое решение

Обратимся кстратегии логического рассуждения. При выполнении этого эксперимента все предыдущие подбрасывания монеток неимеют значения. Значение имеет только одно подбрасывание, врезультате которого выпадает орел(О). Поэтому ограничимся анализом только этого последнего подбрасывания. Возможными являются четыре варианта:

ОО ОР РО РР.

Втрех изэтих четырех вариантов выпадает как минимум один орел. Орел невыпадает только водном варианте— его можно отбросить. Единственный вариант сдвумя ор-

лами— это ОО. Таким образом, вероятность составляет

1 3

ЗАДАЧА 1.7

Уодних пород свиней рождаются поросята сдвумя завитками нахвостах, у других пород— стремя завитками. Фермер поручает своим детям подсчитать, сколько свиней находится всвинарнике. Дети, одержимые математикой, сообщают ему, что количества свиней сдвумя завитками истремя завитками выражаются простыми числами, аобщее количество завитков нахвостах равно 40. Сколько свиней всвинарнике фермера?

Глава 1. Логическое рассуждение

Обычный подход

Если взять за x количество свиней сдвумя завитками нахвостах, азаy— количество свиней стремя завитками, томы получаем уравнение 2x+3y=40. Это одно уравнение сдвумя неизвестными. Числа здесь сравнительно невелики, поэтому можно попробовать найти ответ путем подстановки различных значений x иy. Вместе стем, поскольку известно, что x иy простые числа, выбор ограничивается следующими величинами: 19, 17, 13, 11, 7, 5, 3 и2. Влюбом случае процесс решения довольно длителен, скучен игромоздок.

Образцовое решение

Если взять за x количество свиней сдвумя завитками нахвостах, аза y — количество свиней стремя завитками, то2x+3y = 40, как мы уже говорили. Однако наэтот раз пойдем дальше ипроанализируем полученное уравнение, опираясь налогику. Поскольку и40, и2x– четные числа, четным числом должен быть иy, иначе сумма (40) небудет четной. Поскольку y — простое число, он должен быть равен 2 (это единственное четное простое число), а3y должно равняться 6. Теперь решим уравнение для x:

2x+6=40,

2x=34,

x=17.

Уфермера всвинарнике 17+2, или 19 свиней.

ЗАДАЧА 1.8

Стратегии решения математических задач

Число называют «специальным», если оно делится насумму составляющих его цифр. Какое изследующих чисел удовлетворяет этому условию?

11, 111, 1111, 11111, 111111, 1111111, 11111111, 111111111.

Обычный подход

Обычно мы подсчитываем сумму цифр вкаждом числе иделим число наэту сумму. Например, 11 должно делиться на1+1, или на2. Нооно неделится на2, поэтому 11 неявляется специальным числом. Если действовать таким образом, тонам придется решить восемь небольших задачек.

Образцовое решение

Хотя описанный выше подход вконечном итоге позволяет решить задачу, воспользуемся логическим рассуждением для поиска более изящного решения. Прежде всего, очевидно, что все приведенные числа являются нечетными, поскольку ниодно изних неоканчивается на2, 4, 6, 8 и0. Четное количество единиц даст нам четную сумму. Это позволяет отбросить числа счетной суммой единиц: 11, 1111, 111111 и11111111. Помимо этого, число 11111 неделится на5, поскольку оно неоканчивается на0 или 5.

Если проверить число 1111111, тоокажется, что оно неделится на7. Врезультате унас остаются всего два числа. Число 111 делится на3, т. е. насумму входящих внего цифр (3×37). Аналогичным образом число 111111111 делится на9 (т. е. 9×12345 679). Таким образом, 111 и111111111 являются двумя «специальными» числами вприведенном числовом ряду.

Глава 1. Логическое рассуждение

ЗАДАЧА 1.9

Наименьшее число, которое делится напервые девять целых чисел, равно 2520. Какое наименьшее число будет делиться напервые 13 целых чисел?

Обычный подход

Проще всего найти все множители для первых 13 целых чисел иперемножить их. Это, правда, потребует много времени иутомительных вычислений. Незабывайте, что множители нельзя повторять (например, множитель 8 недопустим, поскольку 4 и2 уже использовались). Так или иначе, данный метод позволяет вконечном итоге получить правильный ответ, если, конечно, все сделать тщательно ибез ошибок.

Образцовое решение

Теперь попробуем порассуждать. Очевидно, что множители от1 до9 (первые девять целых чисел) уже использовались для получения произведения, равного 2520. Следовательно, нам нужно рассмотреть только целые числа 10, 11, 12 и13, поскольку число 2520, задействующее предыдущие целые числа, уже известно. Множители 10 (5×2) и12 (4×3) уже использовались. Однако 11 и13— это простые числа, которые делятся только сами насебя ина1. Таким образом, умножив 2520×11×13, мы определяем, что наименьшее число, которое делится напервые 13 целых чисел, равно 360 360.

ЗАДАЧА 1.10

Ал, Барбара, Кэрол и Дэн сдают экзамен по математике. Вцелом они правильно ответили на67 вопросов,

Стратегии решения математических задач

иукаждого изних есть как минимум один правильный ответ. Ал дал больше всего правильных ответов. Барбара иКэрол дали всумме 43 правильных ответа. Сколько правильных ответов дал Дэн?

Обычный подход

Обычно делают предположение для каждого участника экзамена, проверяют, ненарушаютсяли условия задачи, исмотрят, даютли предположения всумме 67. Такой подход может дать правильный ответ, однако все очень зависит отудачности предположений.

Образцовое решение

Применим нашу стратегию логического рассуждения. Поскольку Барбара иКэрол вместе дали 43 правильных ответа, уодной изних таких ответов должно быть, как минимум, 22, аудругой— 21. Так как Ал оказался впереди всех, тосучетом предыдущих предположений вотношении Барбары иКэрол унего должно быть, как минимум, 23 правильных ответа. Если допустить, что уАла 23 правильных ответа, уБарбары— 22, ауКэрол— 21, товсумме уних будет 23+22 + 21=66 правильных ответов. Это означает, что Дэн правильно ответил только наодин вопрос. Поскольку увсех есть как минимум один правильный ответ, результат 1 для Дэна правилен.

ЗАДАЧА 1.11

Лайза, которая едет навелосипеде помосту, соединя ющему

точки A иB, иуже преодолела

его длины, слышит, что

Глава 1. Логическое рассуждение

сзади приближается поезд, движущийся со скоростью 60км / ч. Она прикидывает расстояния ирешает, что впри- тык сможет избежать столкновения, если поедет влюбую сторону (кточкеA или точкеB) максимально быстро. Какова ее максимальная скорость?

Обычный подход

Поскольку длина моста неизвестна, зададим ее произвольно, выбрав какое-нибудь удобное (хотя, может быть, инереалистичное) число, скажем, 8км. Если Лайза поедет назад, кначалу моста (точка A), соскоростью y км / ч, тоона

преодолеет 3км за

часа. Заэто время поезд пройдет x км

отточкиA. Данный отрезок времени можно представить, как

. Это дает нам уравнение:

3=x

y 60

, или xy=180.

Если Лайза поедет кточке B, тоаналогичным образом

мы получим уравнение

5=x+8 y 60

, или xy+8y=300.

Объединив эти два уравнения, мы получим 8y=300–

–180=120, аследовательно, y=15.

Таким образом, максимальная скорость Лайзы равна

15км / ч.

Образцовое решение

Стратегия логического рассуждения дает более изящное решение. Раз Лайза впритык успевает доехать долюбого конца моста, будем считать, что она едет вперед кточкеB. Ктому моменту, когда поезд подойдет кточкеA, она пре-

одолеет еще

пути, т. е. всего

длины). Теперь ей нужно проехать оставшуюся

длины моста (или

3 4

моста

его

Стратегии решения математических задач

затоже самое время, которое требуется поезду, чтобы преодолеть полную длину моста. Таким образом, ее скорость

равна

ЗАДАЧА 1.12

скорости поезда, т. е. 15км / ч.

Если S=1!+2!+3!+4!+5!+…+98!+99!, токакая цифра вчисле S будет находиться вразряде единиц?

Напомним, что символ n! означает 1× 2 × 3×4× …×(n– 1)×n.

Обычный подход

Как правило, при решении такой задачи возникает желание определить значение каждого факториала, азатем сложить полученные значения иполучить S.Помимо того, что это скуч- ное занятие, оно еще чревато арифметическими ошибками.

Образцовое решение

Если проанализировать числовой ряд, составляющийS, иупростить его, томы получим следующее:

S=1!+2!+3!+4!+5!+…+98!+99! S=1+2+2×3+2×3×4+2×3×4×5+…

+98!+99! S=1+2+6+24+10k, где k— натуральное число.

Мы представили члены числового ряда, начиная с5!, как 10k, поскольку 5! предполагает наличие множителя

10. Любое число, кратное 5!, будет кратно 10. Так как 6! кратно 5!, а7! кратно 6!, тофакториал любого n, превышающего5, будет кратен 10. Таким образом, вразряде единиц будет находиться 0.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 234 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]