Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Стратегии решения математических задач различные подходы к типовым задачам

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 235 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Глава 2

Распознавание

закономерности

Одной изчудесных сторон математики является возможность выявления закономерностей в решаемых задачах. Известный математик Уолтер Сойер как-то заметил, что математику вполне можно представить, как процесс поиска закономерностей. Одно изсамых распространенных применений математики— предсказание того, что происходит регулярным образом. Например, сколько пшеничных лепешек потребуется для трех человек? Адля четырех? Для 10 человек? Для n человек?

Умение распознавать закономерности очень важно для решения задач. Выявив закономерность врезультате анализа ряда конкретных примеров, вы можете обобщить ее ипревратить вболее широкое решение. Например, когда просят назвать следующие два числа вряду 1, 2, 3, 6, 11, 20, 37, __, __, мы должны проанализировать ряд, чтобы понять, естьли вчислах какая-либо закономерность. Вконце концов, если первые три члена это 1, 2, 3, торазве не4 должно идти заними? Авот инет! Мы замечаем, что каждый член после третьего представляет собой сумму трех предшествующих чисел. (Это последовательность типа Фибоначчи.) Иначе говоря, 1+2+3= 6, 2+3+6=11,

Стратегии решения математических задач

3+6+11=20 ит. д. Если продолжить ряд таким образом, тоследующими двумя числами будут 11+ 20+37=68 и20+37+68=125.

Даже маленькие дети пользуются закономерностями. Когда малыши начинают ходить вшколу, они учатся считать. Закономерности помогают им вести счет единицами, потом двойками, пятерками ит. д. Если задать второкласснику вопрос, какое число будет следующим вряду 3, 6, 9, 12, …, он спросит себя: «Сколько мне нужно прибавить ккаждому числу, чтобы получить следующее?» Это практически естественное использование стратегии поиска закономерности.

Большинство изнас широко пользуются закономерностями вповседневной жизни. Некоторые из этих «закономерностей» требуют мнемонического подхода. Слово «мнемонический» происходит отдревнегреческого слова mnemonikos, означавшего запоминающее устройство. Многие изнас знакомы смнемоническим правилом запоминания порядка цветов вспектре «Каждый Охотник Желает Знать, Где Сидит Фазан» (красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий, фиолетовый). Мы используем закономерности для запоминания кода замка шкафчика враздевалке спортивного зала, телефонного номера иномерного знака автомобиля. В поисках дома сопределенным номером мы почти интуитивно ожидаем увидеть нечетные номера наодной стороне улицы, ачетные надругой— простая, но очень ценная закономерность.

Закономерности широко используются полицией. Если происходит серия преступлений, тоследователь ищет стиль поведения преступников (modus operandi).

Врач обычно смотрит нахарактер поведения человека, чтобы определить его заболевание. Имея заплечами опыт

Глава 2. Распознавание закономерности

лечения болезней, он распознает закономерные проявления недуга.

Эффективность стратегии распознавания закономерностей видна яснее всего наконкретных примерах, особенно когда неочевидно, что эту стратегию можно использовать для решения данной задачи. Допустим, вас просят найти цифру вразряде единиц учисла, представленного как 13

. Наиболее очевидный подход— взять калькулятор ивозвести 13 в23-ю степень. Однако это сложная задача, даже если есть калькулятор, способный воспроизвести количество разрядов такого огромного числа. Вместо этого можно проанализировать результаты возведения числа 13 встепень впорядке возрастания показателя ипосмотреть, необразуютли последние цифры какую-либо закономерность, помогающую дать ответ.

131=13 135=371 293 132=169 136=4826 809 133=2197 137=62748 517 134=28 561 138=725731 721.

Похоже, при возведении числа 13 встепень последняя

цифра образует ряд:

3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, …

Изменения происходят спериодом 4. Таким образом,

число 13 и13

будет иметь туже цифру вразряде единиц, что

, т. е. 7.

Фактически эта задача высвечивает интересный вопрос вотношении закономерностей. Можноли утверждать, что при возведении всех чисел встепень цифра вразряде единиц изменяется циклически? Некоторые числа можно назвать сразу. Например, 5 влюбой степени будет иметь вконце 5 (5, 25, 125, 625, …). Такое свойство чисел очень

Стратегии решения математических задач

интересно иценно для решения задач путем распознавания закономерности. Попробуйте определить закономерность изменения цифры вразряде единиц при возведении встепень других чисел.

Следует, однако, предостеречь читателей. Иногда случается, что закономерность вродебы есть, ноневполне стабильная. Например, кажется, что любое нечетное число, начиная с3, можно представить, как сумму 2 втой или иной степени инечетного числа. При попытке проверить это практически оказывается, что данное «правило» выполняется вплоть дочисла 125. Как нистранно, нооно недействительно для следующего нечетного числа 127. Таким образом, применять стратегию распознавания закономерности для решения задач следует состорожностью. Впрочем, это всего лишь исключение, которое недолжно удерживать вас отиспользования данного метода.

3=2

+2

5=2

+3

7=2

+3

9=2

+5 11=2 13=2 15=2 17=2 19=2

+3

+5

+7

+13

+3

итак далее

51=2

+19

итак далее

125=2

+61 127 =? 129=2 131=2

+97

+3.

Глава 2. Распознавание закономерности

Перейдем теперь кзадачам, которые наиболее эффективно решаются путем распознавания закономерности, особенно когда такая закономерность неочевидна.

ЗАДАЧА 2.1

Какая цифра находится вразряде единиц учисла, где

—

это показатели степени?

Обычный подход

Ксожалению, находятся люди, которые полагают, что для определения значения этого числа нужно последовательно возвести основание встепень вплоть допоследнего показателя. Такой подход неможет быть успешным!

Образцовое решение

Попробуем выяснить, существуетли какая-то закономерность вчислах помере повышения показателя степени всоответствии сусловиями задачи. Помере повышения показателя основания 2 цифры вразряде единиц изменяются впоследовательности 2, 4, 8, 6.

=2

=4

=8

=16

=32

=64

=128

=256.

Стратегии решения математических задач

Результат натретьей ступени наших вычислений ниже кратен 4, алюбой результат возведения 2 встепень, кратный 4, дает число, укоторого вразряде единиц стоит 6.

=4

= 24=16

= 216=65 536

= 2

65536

= 115792089237316195 4235709850086879

0785326998466564056403945758400791

3129639936.

Таким образом, унашего числа вразряде единиц находится цифра 6.

ЗАДАЧА 2.2

Вкаждой приведенной ниже прямоугольной решетке содержится определенное количество точек. Сколько точек будет нарис.49?

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4

•• ••• •••• •••••

••• •••• •••••

•••• •••••

•••••

Обычный подход

Очевидный подход— это последовательное построение решеток вплоть дорис.49, вкотором можно подсчитать

Глава 2. Распознавание закономерности

точки. Это займет много времени ипотребует огромного терпения, неговоря уже околичестве бумаги. Вместе стем наверняка должен существовать более практичный подход крешению этой задачи.

Образцовое решение

Попробуем организовать данные ипоискать закономерность. Перенесем втаблицу то, что нам уже известно.

Номер

рисунка

132 6 243 12 354 20 465 30

Высота Ширина

Суммарное

количество точек

Ну вот изакономерность. Высота на2 больше номера рисунка, аширина на1 больше номера рисунка. Для рис.n мы получаем:

Номер

рисунка

132 6 243 12 354 20 465 30 *

nn+2 n+1 (n+2) (n+1)

Высота Ширина

•• •

Суммарное

количество точек

Таким образом, нарис.49 будет 51×50=2550 точек.

Стратегии решения математических задач

ЗАДАЧА 2.3

Круг можно разделить насемь частей спомощью трех прямых линий. Какое максимальное количество частей можно получить при делении круга спомощью семи прямых линий?

Обычный подход

Обычно при решении этой задачи берут круг ипроводят через него семь линий так, чтобы любые три изних непересекались, т. е. неимели общей точки. Если проделать такую операцию аккуратно, тоона должна привести кправильному ответу. Вместе стем определение максимально возможного количества частей может быть сложным.

Образцовое решение

При решении этой задачи интересно посмотреть, непроявитсяли какая закономерность при увеличении количества линий, делящих круг начасти, при условии, что никакие три изних недолжны иметь общей точки. Понятно, что одна линия делит круг всего надве части. Две линии позволяют разделить круг начетыре части. Втаблице ниже

Количество линий Количество частей Разница

411

Глава 2. Распознавание закономерности

показано количество частей, накоторые можно разделить круг спомощью заданного количества линий, ниодна тройка которых неимеет общей точки.

Закономерность, похоже, наблюдается вразнице, которая увеличивается каждый раз наединицу. Таким образом, протестировав следующий вариант, вкотором пять линий предположительно дают 16 частей, мы можем, повсей видимости, составить наоснове выявленной закономерности следующую таблицу.

Количество линий Количество частей Разница

411

516

622

729

Итак, спомощью семи линий можно разделить круг на29 частей.

ЗАДАЧА 2.4

Нам дают карту снаправлениями движения вдоль улиц, как показано нарис.2.1.

Стратегии решения математических задач

Рис. 2.1

Сколько существует маршрутов източки A вточкуL?

Обычный подход

Самый очевидный подход— просто подсчитать возможные маршруты. Иными словами, определять маршруты поодному зараз исуммировать результаты. Например, один маршрут— это A-B-C–D-E-F-G-H-I-J-K-L, другой— A-CD-E-G-K-L ит. д. Вместе стем, как вы видите, такой путь довольно громоздок, иктомуже при его использовании трудно избежать дублирования маршрутов. Авариантов здесь порядочно!

Образцовое решение

Воспользуемся стратегией поиска закономерности. Допустим, мы хотим попасть източкиA вточку B.Здесь имеется только один маршрут (A-B). Вточку C можно добраться източки A уже двумя путями (A-B-C иA-C). Из точкиA вточку D существуют три маршрута, аименно (A-B-D, A-C–D, A-B-C–D). Если продолжить подсчет таким образом, томы получим следующее количество маршрутов вкаждую точку вплоть доточки F.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 235 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]