Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метризация топологических пространств
.pdf
Г.П. Климов, В.Ф. Матвеев
Метризация
топологических пространств
УЧЕБНИК
Издательство Московского Университета
2015
УДК 519.1; 515.1
ББК 22.152; 22.17
К 49
Рецензент
профессор, доктор физико-математических наук Ушаков В.Г.
(факультет ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова)
Климов Г.П., Матвеев В.Ф.
К 49 Метризация топологических пространств.
М.: Издательство Московского университета, 2015. – 224 с.
ISBN 978-5-19-011106-4
Предлагаемый учебник относится к областям: теория вероятностей и ма-
тематическая статистика, случайные процессы, топология.
Учебник содержит достаточно полное многообразие изучаемых (используемых) пространств: топологические, линейные, мультинормированные, локально выпуклые, счетно – нормированные, F – пространства. Представлены
определяемые на пространствах классы функционалов и случайных процессов, изложены методы метризации и сходимости при дополнительных условиях: линейности и/или выпуклости и/или рандомизации.
Приложение содержит краткий и полный учебный (справочный) курс
«Топологические пространства» в доступной для начинающих форме. Дополнительно рассмотрены специальные вероятностные конструкции, востребованные новыми моделями.
Изложение сопровождается обстоятельной библиографией, ссылками на
первоисточники основополагающих работ, разобранными примерами, постановками задач и проблем.
Книга предназначена студентам и аспирантам, а научным сотрудникам
может служить в качестве справочника.
Ключевые слова: теория вероятностей, случайный элемент, вероятностные меры, безгранично делимые распределения, каплинг (слияние) случайных процессов; топология, топологические пространства (локально–выпуклые, метрические,
польское со слабой сходимостью), мультинормированность, метризация, метрики и
полуметрики (Леви–Прохорова), сходимость (слабая, широкая); сепарабельность,
цилиндрические подмножества, цилиндры, нечеткие множества, нечеткая логика.
УДК 519.1; 515.1
ББК 22.152; 22.17
c
Г.П.Климов, 2015
c
В.Ф.Матвеев, 2015
c
Издательство
ISBN 978-5-19-011106-4 Московского университета, 2015
Оглавление
От редакции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
1 Локально выпуклые пространства 1
1.1 Линейное топологическое пространство . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Мультинормированное пространство . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Локально выпуклое пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Cчётно – нормированное пространство . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 F – пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.6 Теорема Хана – Банаха . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.7 Базис топологии сепарабельного МНП . . . . . . . . . . . . . . 4
1.8 Линейные непрерывные функционалы МНП . . . . . . . . . . . 6
1.9 Цилиндрические подмножества – цилиндры . . . . . . . . . . . 7
1.10 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.11 Пополнение ММП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Распределения в сепарабельном ЛМП 11
2.1 Начальные предположения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Случайные элементы в ТП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Случайные элементы в MП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Счетнозначное борелевское отображение . . . . . . . . . . . . . 12
2.5 Критерий существования случайного элемента . . . . . . . . . 13
2.6 Случайный элемент сепарабельного МНП . . . . . . . . . . . . 13
2.7 Распределение случайного элемента . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.8 Распределение суммы случайных элементов . . . . . . . . . . . 15
2.9 Симметричный случайный элемент . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.10 Компактный функционал на ЛТП . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.11 Квазинормированное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.12 (Сильно) сопряжённое пространство . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.13 Обозначения и используемые пространства . . . . . . . . . . . 20
2.14 Задание топологии набором шаров . . . . . . . . . . . . . . . . 21
iii
iv Оглавление
2.15 Классы линейных функционалов . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.16 Непрерывность линейного функционала . . . . . . . . . . . . . 23
3 Слабая сходимость мер 25
3.1 Обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 О существовании конечной меры . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 Метрика Прохорова для польского пространства . . . . . . . . 26
4 Виды сходимости случайных элементов 29
4.1 Определения видов сходимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2 Сходимость по вероятности и по полуметрике . . . . . . . . . . 30
4.3 Согласованность видов сходимости . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.4 Сходимость почти наверное . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.5 Лемма Бореля – Кантели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.6 Сепарабельность ЛТП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.7 Сходимость случайных элементов в ММП . . . . . . . . . . . . 33
4.8 Класс непрерывных функций ММП . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.9 Полуметрики, порожденные подмножеством . . . . . . . . . . . 36
4.10 Структура пространства C1b(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.11 О критерии слабой предкомпактности мер . . . . . . . . . . . . 40
4.12 Слабая сходимость польского пространства . . . . . . . . . . . 41
4.13 Слабая сходимость для ММП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.14 ММП с направленным множеством полуметрик . . . . . . . . . 44
4.15 Счетно – компактное ММП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.16 Критерий слабой предкомпактности . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.17 Предкомпактность польского пространства . . . . . . . . . . . 46
4.18 Теорема Прохорова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.19 О сходимости случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.20 Сходимость ряда независимых случайных элементов . . . . . . 50
5 Полуметрики Леви – Прохорова 53
5.1 Вероятностные меры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.2 Замкнутое семейство борелевских множеств . . . . . . . . . . . 54
5.3 Полуметрики, разделяющие множества . . . . . . . . . . . . . . 56
5.4 Обобщенные последовательности мер . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.5 Сходимость в топологии Леви – Прохорова . . . . . . . . . . . 60
5.6 Свойства вероятностных мер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.7 Мультипольское пространство (МПП) . . . . . . . . . . . . . . 62
5.8 Свойства метрики мультипольского пространства . . . . . . . . 63
5.9 Критерии сходимости случайных величин . . . . . . . . . . . . 66
Оглавление v
5.10 Свойства сверток вероятностных мер . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.11 Инвариантная по сдвигу полуметрика . . . . . . . . . . . . . . 68
5.12 Последовательности случайных элементов . . . . . . . . . . . . 69
5.13 Сходимость рядов случайных элементов . . . . . . . . . . . . . 70
5.14 Критерий слабой сходимости случайных элементов . . . . . . . 73
5.15 О теории σ – топологических пространств . . . . . . . . . . . . 73
5.16 Об определении случайного элемента . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.17 Случайный элемент топологического пространства . . . . . . . 79
5.18 Бэровский случайный элемент в ТП . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.19 Используемые пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.20 Измеримые по Dudley отображения . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.21 Интеграл в ЛТП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6 Безгранично делимые распределения 91
6.1 Метод анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.2 Используемые σ-алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.3 О конструкции продолжения меры . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.4 Почти наверное регулярная мера . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.5 О регулярности вероятностной меры . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.6 Линейный непрерывный функционал на произведении ЛТП . 95
6.7 Линейный непрерывный функционал на ЛВП . . . . . . . . . . 96
6.8 Вид линейного непрерывного функционала в ЛВП . . . . . . . 97
6.9 Линейный непрерывный функционал на ММП . . . . . . . . . 98
6.10 Условие регулярности вероятностной меры . . . . . . . . . . . . 98
6.11 Регулярность вероятностной борелевской меры . . . . . . . . . 103
6.12 Линейные непрерывные функционалы . . . . . . . . . . . . . . 107
6.13 Случайный элемент и математическое ожидание . . . . . . . . 108
6.14 Характеристический функционал . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.15 Свертка вероятностных мер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.16 Две базовые лемм ы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.17 Нормальное распределение на F(X ) ЛТП X . . . . . . . . . . 119
6.18 Ковариации банахова пространства . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Приложения
A Топологические пространства 131
A.1 Топология . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
A.2 Топологическое пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
A.3 Упорядочение топологий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
A.4 Подпространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
vi Оглавление
A.5 Окрестность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
A.6 Задание топологии на замкнутых множествах . . . . . . . . . . 133
A.7 Задание топологии операцией замыкания . . . . . . . . . . . . 133
A.8 Задание топологии в терминах сходимости . . . . . . . . . . . . 134
A.9 База топологии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
A.10 Аксиомы счетности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
A.11 Сепарабельность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
A.12 Полуметрическое пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
A.13 Аксиомы отделимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
A.14 Примеры топологических пространств . . . . . . . . . . . . . . 147
A.15 Функциональная отделимость множеств . . . . . . . . . . . . . 149
A.16 Вполне регулярное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
A.17 Характеризация нормального пространства . . . . . . . . . . . 156
A.18 Совершенно нормальные пространства . . . . . . . . . . . . . . 157
A.19 Метризация топологических пространств . . . . . . . . . . . . . 159
A.20 Отображения топологических пространств . . . . . . . . . . . . 159
A.21 Тихоновское произведение пространств . . . . . . . . . . . . . . 161
A.22 Компактное пространство, компакты . . . . . . . . . . . . . . . 163
A.23 Компактификация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
B Широкая сходимость 175
B.1 Предварительные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
B.1.1 Широкая сходимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
B.1.2 r – пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
B.1.3 Подпространства вполне решеточного пространства . . 177
B.2 Расширение полуаддитивного отображения . . . . . . . . . . . 177
B.2.1 Отображение подпространства Рисса . . . . . . . . . . . 177
B.2.2 Класс L+. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
B.2.3 Свойства класса L+. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
B.2.4 Определение класса L и отображения p : L → W . . . . 182
B.2.5 Теорема Беппо Леви . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
B.2.6 Теорема Лебега . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
B.2.7 Полнота пространства L . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
B.2.8 Широкая сходимость в L . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
B.3 Продолжение линейного отображения . . . . . . . . . . . . . . 186
B.4 Расширение полуаддитивного отображения . . . . . . . . . . . 188
B.5 Квазинормированные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . 190
Оглавление vii
C Нечеткие множества 192
C.1 Вводные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
C.2 Связь с теорией вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
C.3 Нечеткие множества, нечеткая логика . . . . . . . . . . . . . . 193
C.4 Пример: нечеткое суммирование (нечеткий интеграл) . . . . . 194
D Пересечение случайных последовательностей 196
E Каплинг слабо регенерирующих полей 201
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
Указатель обозначений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
Список сокращений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
От редакции
Широкое применение методов теории вероятностей и математической ста-
тистики за последние несколько десятков лет в различных областях естествознания, экономики и техники не нашло ещё адекватного отражения в учебной
и методической литературе. В частности, это относится к изложению основ
теории вероятностей на пространствах сложной структуры: метрических, топологических, группах и т.п. В ведущих университетах страны читаются основные и специальные курсы, посвящённые указанным направлениям. Поэтому большое значение имеет опубликование книги по теории вероятностей
и математической статистике, материал которой учитывает требуемый уровень математической подготовки студента и его запросы прикладного характера.
Учебник содержит следующие разделы: локально-выпуклые простран-
ства, случайные элементы в метрических и топологических пространствах,
распределение вероятностей случайных элементов, различные виды сходимости (наиболее полно излагаются свойства слабой сходимости в польском
пространстве), различные виды метрик и полуметрик (в частности, полуметрики Леви-Прохорова), сходимость рядов из случайных элементов. Отдельная глава посвящена теории безгранично делимых распределений в линейных топологических пространствах. В приложениях приведены основные
определения и результаты из теории топологических пространств.
Основные определения и теоремы иллюстрируются многочисленными при-
мерами, во многих главах приведены задачи для самостоятельного решения.
Надо отметить, что книга содержит изложение оригинальных результатов (в
том числе полученных авторами), которые можно найти только в журнальной литературе.
Книга Г.П. Климова и В.Ф. Матвеева обеспечивает учебно-методическим
материалом отдельные разделы расширенных курсов по теории вероятностей и случайным процессам, специальные курсы по распределениям вероятностей в метрических и топологических пространствах. Она может быть
использована как справочник по основным определениям и теоремам теории
линейных топологических пространств. Она будет ценным пополнением имеющейся литературы по теории вероятностей и математической статистике.
Предисловие
Книга содержит дополнительный материал для курсов: теория вероятностей и математическая статистика, случайные процессы и каплинг (слияние)
случайных процессов. Подобные курсы читались авторами неоднократно в
МГУ, ГУ ВШЭ, РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, РЭА им. Г.В. Плеханова, в университетах и научных центрах Парижа, Брюсселя, Хельсинки,
США.
Предъявляется многообразие топологических пространств: линейные,
мультинормированные, локально выпуклые, счетно – нормированные, F –
пространства. Представлены классы функционалов и случайных процессов,
определяемые на пространствах. Рассмотрены методы задания базиса топологии мультинормированных пространств, свойства непрерывности, линейности функционалов, пополнения пространств, цилиндрические подмножества. Изложена метризация топологических пространств при дополнительных условиях: линейности, (и/или) выпуклости, (и/или) рандомизации.
Поясняющие примеры, задачи и нерешенные проблемы, а также сводки моделей, методов и используемых обозначений формируют учебный контекст.
Глава 1 вводная. Она является необходимым фундаментом дальнейшего
изложения.
В главе 2 изучены свойства распределений случайных элементов, их сумм,
классов линейных функционалов, специальных методов задания топологии.
Глава 3 посвящена слабой сходимости мер на польском топологическом
пространстве с метрикой Леви - Прохорова.
В главе 4 приводятся результаты разностороннего исследования свойств
предельного поведения совокупностей случайных величин для различных
вероятностных пространств и видов сходимостей.
В главе 5 подробно рассматриваются свойства вероятностных моделей с
полуметрикой Леви - Прохорова.
В главе 6 многопланово исследуются особенности безгранично делимых
распределений.
В приложении А кратко и достаточно полно рассмотрена теория Топологических пространств в доступной для начинающих форме.
Приложения B, C, D и E для построения вероятностных моделей вводят
x Предисловие
новые специальные конструкции: широкая сходимость, нечёткие множества,
пересечения случайных последовательностей и каплинг (слияние) слабо регенерируемых полей.
Авторы выражают благодарность за внимательное прочтение рукописи
Ушакову Владимиру Георгиевичу и за кропотливую и эффективную работу над представлением книги редактору и корректору Громыко Владимиру
Ивановичу, обогатившего книгу мудростью TEX’a и LATEX’a. Особая признательность Матвеевой Алле Николаевне, ее помощь на всех этапах создания
книги — от написания до издания — невозможно переоценить.
Москва, прекрасный
август 2015 года.
Счастливые авторы.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]