Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метризация топологических пространств
.pdf
Приложение A 141
Это следует из того, что открытое множество G1∩G2есть объединение некоторых элементов из Σ. Обратно, пусть семейство Σ множеств, покрывающих
все X, обладает указанным свойством. Тогда семейство τ всех множеств,
представимых в виде объединения некоторых элементов из Σ, является топологией на X; при этом Σ – есть база этой топологии.
9.3 Если Σ – база, то Σx= {U : x ∈ U ∈ Σ} есть база в точке x. Обратно,
S
Σ =
Σxесть база, если Σxесть база в точке x.
x∈X
9.4 Приведем некоторые способы задания базы (топологии).
9.4.1 Пусть (X, d) – метрическое пространство (с метрикой d), S
{y ∈ X : d(x, y) < ε} – шар радиуса ε > o с центром в точке x.
Тогда Σ =S
: x ∈ X; n = 1, 2, . . .– база (выполнено свойство 9.2).
x,(1/n)
9.4.2 Метрика d : X ×X → [ o, ∞ ] удовлетворяет условиям:
1) d(x, x) = o;
2) d(x, y) + d(y, z) > d(x, z);
3) d(x, y) = d(y, x);
4) d(x, y) = o =⇒ x = y : ∀x, y, z ∈ X.
Если условия 3) - 4) не выполняются, то совокупность шаров S
равно образует базу. Это вытекает из следующего свойства шаров:
r > o, y ∈ S
=⇒ ∃ε > o : S
x,r
y,ε
⊂ S
x,r
.
[ Действительно, пусть o < ε 6 r − do: do= d(x, y), тогда
z ∈ S
=⇒ d(y, z) < ε =⇒ d(x, z) 6 d( x, y) + d(y, z) < do+ε 6 r =⇒ z ∈ S
y,ε
Из этого свойства шаров следует 9.2, так как
x,(
=
x,ε
1
все
)
n
].
x,r
x1,r
1
∩ S
x ∈ S
для некоторых ε1> o и ε2> o =⇒ S
Отметим, что если выполнены условия 1) - 2), то топология, определяемая
базой Σ =nS
o
1
, не меняется, если d заменить на ρ, где ρ(x, y) = d(x, y) +
x,
n
x2,r
=⇒ S
2
x,ε
x,ε
1
⊂ S
⊂ S
x1,r
x
1,r1
и S
1
∩ S
x
⊂ S
x,ε
2,r2
x2,r
2
2
для ε = min(ε1, ε2).
d(y, x) [ но для ρ уже выполняются условия 1) - 3) ].
142 Приложение A
9.4.3 Замечание. Более того, достаточно, чтобы
d(x, z) 6 ϕ(d(x, y), d(y, z)) : ∀ x, y, z ∈ X,
где числовая функция ϕ : [0, ∞)2→ [0, ∞) удовлетворяет ϕ(do, o) = do:
∀do∈ [0, ∞) и непрерывна в точке o по второму аргументу.
Действительно, в этом случае выполнено свойство шаров, см. 9. 4.2. В
самом деле, так как do= d(x, y) < r и ϕ(do, u) → ϕ(do, o) = doпри u ↓ o, то
∃ ε > o такое, что ϕ(do, u) < r при o 6 u < ε. Но тогда
z ∈ S
=⇒ u = d(y, z) < ε =⇒ d(x, y) 6 ϕ(d(x, y),
y,ε
d(y, z) = ϕ(do, u) < r =⇒ z ∈ S
x,r
.
A.10 Аксиомы счетности
10.1 Первая аксиома счетности. Для каждой точки существует конечная или счетная база в этой точке.
10.2 Вторая аксиома счетности. Существует база, состоящая не более,
чем из счетного числа элементов.
Естественно, что из второй аксиомы счетности следует первая. Всякое
метрическое пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности: базой
в точке служит совокупность открытых шаров с центром в этой точке и с
1
1
,
радиусами 1,
, . . . .
2
3
A.11 Сепарабельность
Множество A называется всюду плотным в топологическом пространстве
(X, τ ), если
Топологическое пространство называется сепарабельным, если оно содержит счетное всюду плотное множество. Достаточным условием сепарабельности топологического пространства является наличие счетной базы. Действительно, пусть Σ = {Gn} счетная база. Выберем в каждом из элементов
Gnэтой базы по одной точке xn. Тогда счетное множество A = {xn} – всюду
плотно. В самом деле, множество X r A является открытым и не пересекается с A, а поэтому не содержит элементов базы Σ, т.е. является пустым. Это
дает A = X.
Для метрических пространств требования сепарабельности и существования счетной базы совпадают.
A = X.
Приложение A 143
Для доказательства этого утверждения следует лишь проверить, что из
сепарабельности метрического пространства вытекает сущ ествование счетной базы. Если A = {xn} – счетное всюду плотное множество, a Gnm– шар
с центром в xnи радиуса
1
, то такой базой является Σ = {Gnm}.
m
Что же касается связи первой аксиомы счетности и сепарабельности, то
явной связи здесь нет. Топологическое пространство с первой аксиомой счетности не обязательно сепарабельно (например, всякое метрическое несепарабельное пространство или несчетное дискретное топологическое пространство). Сепарабельное пространство не обязательно является пространством с
первой аксиомой счетности (существует топологическое пространство, состоящее из счетного числа точек, для которого не выполняется первая аксиома
счетности).
A.12 Полуметрическое пространство
Пусть X – некоторое множество. Отображение d : X × X → R1называется
полуметрикой или полурасстоянием на X, если:
1od(x, x) = o;
2od(x, y) = d(y, x);
3od(x, y) + d(y, z) > d(x, z).
Отметим, что d(x, y) > o [ например, если в 3oположить z = x ] и что
d(x, y) = o не влечет x = y.
Семейство D = {d} полуметрик на X называют разделяющим (точки
множества X), если d(x, y) = o : ∀d ∈ D лишь при x = y.
Дуплет (X, D) называют полуметрическим пространством ; здесь X –
непустое множество, D – разделяющее семейство полуметрик на X.
Сходимость в (X, D) естественно определить следующим образом: xn→ x,
если d(xn, y) → o : ∀d ∈ D.
Введем на X топологию τ. Элементарным шаром с центром в точке x ∈ X
(радиуса r) назовем множество вида Sd(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) < r}, где
d ∈ D. Шаром в точке x ∈ X назовем пересечение конечного числа элементарных шаров с центром в x. Множество, представимое в виде объединения
некоторых шаров, назовем открытым. Тогда совокупность τ открытых множеств и есть топология на X.
При этом семейство Σ шаров является базой. [ Так как Σ покрывает X и,
кроме того, если S1и S2– шары и x ∈ S
T
S2, то существует шар S такой,
1
144 Приложение A
что x ∈ S ⊂ S
S2. Действительно, S
1
числа элементарных шаров, каждый из которых содержит точку x. Но если
x ∈ Sd(a, r), то Sd(x, ε) ⊂ Sd(a, r) , где ε = r – d( a, x) > o. Поэтому S
T
T
S2есть пересечение конечного
1
T
S
1
содержит шap S с центром в x, ср. 9.2 ].
12.1 Предложение.
n
τ
−→ x.
Здесь x
xn→ x ⇐⇒ x
τ
−→ x означает сходимость в топологии τ, (т. е. x ∈ U ∈ τ =⇒
n
xn∈ U : ∀n > N для некоторого N).
Доказательство.
1) Пусть xn→ x, U – окрестность точки x. Выберем шар S = S
. . . ∩ S
существует N такое, что dk(xn, x) < r = min(r1, . . . , rn) : ∀n > N и
k = 1, . . . , m; т. е. xn∈ S ⊂ U : n > N. Это означает x
2) Пусть теперь x
(x, rm) такой, что x ∈ S ⊂ U. Так как max
d
m
τ
−→ x и d ∈ D. ∀ε > o ∃N такое, что xn∈ U = Sd(x, ε)
n
dk(xn, x) → o, то
16k6m
τ
−→ x.
n
(x, r1) ∩
d
1
при n > N, т. е. d(xn, x) < ε при n > N. Это дает d( xn, x) → o : ∀d ∈ D,
т. е. xn→ x.
2
Отметим, что сходимость xn→ x удовлетворяет основным свойствам схо-
димости 8.1.1 – 8.1.4 (и также 8.3.1 – 8.3.4). Согласно обратной Теореме 8.4
τ
эта сходимость порождает топологию τDтакую, что xn→ x ⇐⇒ x
−→ x.
n
D
При этом τDсостоит из дополнений ко всем замкнутым множествам, а множество E считается замкнутым, если E =
E, где E состоит из тех точек
x ∈ X, для которых xn→ x для некоторых {xn} ⊂ E.
12.2 Предложение.
τD= τ.
Это следует из того, что x
n
логий τ1и τ2на X выполнено x
τ
D
−→ x ⇐⇒ x
τ
1
−→ x ⇐⇒ x
n
τ
−→ x [ Еcли для двух топо-
n
τ
2
−→ x, то τ1= τ2, так как
n
совпадают множества предельных точек, соответствующих этим топологиям, а значит совпадают и соответствующие семейства замкну тых (и затем
открытых) множеств ].
Отметим, наконец, что мы нигде не пользовались свойством разделяемо-
сти семейства D полуметрик (т.е., что d(x, y) = o : ∀d ∈ D влечет x = y).
Приложение A 145
Замечание. Пусть E некоторое непустое семейство множеств. Через τEобо-
значим наименьшую топологию, содержащую E. Базой такой топологии служит семейство всевозможных конечных пересечений множеств из E. В этой
связи используется следующее определение. Семейство множеств называется
предбазой топологии τ, если семейство всевозможных конечных пересечений
множеств из E образует базу топологии τ. Предыдущее рассуждение показывает, что произвольное непустое семейство E множеств является предбазой
топологии τ E. В частности, для полуметрического пространства совокупность E всех элементарных шаров является предбазой топологии τ (и можно
было сразу же топологию τ определить в виде τ = τ E).
A.13 Аксиомы отделимости
Аксиома To(Нулевая аксиома отделимости или аксиома Колмогорова). Для любой пары различных точек существует открытое множество,
содержащее лишь одну из этих точек.
Аксиома T1(Первая аксиома отделимости). Для любой пары различных точек существуют окрестности каждой из них, не содержащие другую
точку (сами же окрестности могут иметь непустое пересечение).
Аксиома T2(Вторая аксиома отделимости или аксиома Хаусдорфа). Любые две различные точки имеют непересекающиеся окрестности.
Аксиома T3(Третья аксиома отделимости). Любая точка и любое
замкнутое множество, не содержащее эту точку, имеют непересекающиеся
окрестности. При этом всякое открытое множество, содержащее некоторое
замкнутое множество, называется окрестностью этого замкнутого множества.
Аксиома T4(Четвертая аксиома отделимости или (аксиома нормальности). Любые два непересекающихся замкнутых множества имеют
непересекающиеся окрестности.
Топологическое пространство с k – ой аксиомой отделимости называется
Tk– пространством: k ∈ {0, 1, 2, 3, 4}.
To– пространство называют еще пространством Колмогорова (предложив-
шим нулевую аксиому отделимости).
146 Приложение A
T2– пространство называют еще хаусдорфовым или отделимым простран-
ством.
T3– пространство с третьей аксиомой отделимости называют регулярным.
T4– пространство с четвертой аксиомой отделимости называют нормаль-
ным.
Отметим, что в определении регулярного и нормального пространств требуется, прежде всего, чтобы они были T1– пространствами. Дело в том, что
(см. Замечание 2) Аксиома T1равносильна тому, что каждое одноточечное
множество является замкнутым. Тем самым, в определении регулярного и
нормального пространств в качестве замкнутых множеств фигурируют и одноточечные. В частности, нормальное пространство регулярно, а регулярное
пространство хаусдорфово.
T
0
13
.1 Замечание (к аксиоме To). Скажем, что топология τ разделяет точки
T
1
A.1. Отделимости T0− T
Рис.
T
2
T
3
4
T
4
x и y, если существует открытое множество, содержащее лишь одну из этих
точек. Иначе точки x и y назовем слипшимися.
Отношение "точки x и y являются слипшимися" – есть отношение эквивалентности: формально x ∼ y, если x ∈ U ∈ τ ⇐⇒ y ∈ U ∈ τ. Поэтому всё X
разбивается на классы эквивалентных точек (на куски слипшихся точек). Если˜X есть совокупность таких классов, а ˜τ – топология на˜X, индуцированная
топологией τ на X [ множеству U ∈ τ сопоставляется˜U = {K ∈˜X : K ⊂ U }
и тогда ˜τ = {˜U} ], то топологическое пространство (˜X, ˜τ ) уже является To–
пространством.
[ Действительно, пусть K1и K2– различные классы из˜U. Покажем, что
существует˜U ∈ ˜τ такое, что˜U содержит лишь один из этих классов.
Предположим, что это не так, т.е. K1∈˜U ∈ ˜τ ⇐⇒ K2∈˜U ∈ ˜τ . Выбирая
x ∈ K1и y ∈ K2, для произвольной окрестности U точки x, имеем U ⊃ K1.
По определению˜U = {K ∈˜X : K ⊂ U } и значит K1∈˜U, что влечет K2∈˜U,
Приложение A 147
т. е. K2⊂ U и, следовательно, y ∈ U. Таким образом, x ∈ U ∈ τ =⇒ y ∈ U ∈ τ.
Аналогично y ∈ U ∈ τ =⇒ x ∈ U ∈ τ и значит x ∼ y, что влечет K1= K2].
В этой связи будем говорить, что топологическое пространство (X; τ ) и
отношение эквивалентности ∼ между его точками порождает топологическое пространство (˜X; ˜τ ), где (˜X – семейство классов эквивалентных точек,
˜τ = {˜U : U ∈ τ }, U 7→˜U = {K ∈˜X : K ⊂ U }.
Это определение корректно в том смысле, что ˜τ есть действительно то-
пология на˜X.
13.2 Замечание (к аксиоме T1). Аксиома выполняется, если и только если
любое одноточечное (состоящее из одной точки) множество замкнуто.
Действительно, из аксиомы T1следует, что дополнение к одноточечному множеству есть объединение окрестностей всех других точек, непересекающихся с данной точкой, т.е. является открытым множеством, а значит
одноточечное множество замкнуто.
Обратно, если одноточечное множество замкнуто и точки x и y различны,
то {x}cи {y}cявляются окрестностями точек y и x, соответственно.
13.3 Замечание (к аксиоме T2). Топологическое пространство является
хаусдорфовым, если и только если не существует направленности (в этом
пространстве), сходящейся к двум различным точкам ( См. Kelley John: [31,
стр. 98;1956] ).
13.4 Замечание ( к аксиоме T3).
Аксиома T3эквивалентна аксиоме T
∗
3
для всякой точки a и любой ее окрестности U существует окрестность V этой
точки такая, что V ⊂ U.
Действительно, пусть пространство (X, τ ) удовлетворяет аксиоме T3и a ∈
U ∈ τ. Для F = Ucи a
∈F выберем непересекающиеся окрестности V и
W соответственно точки a и замкнутого множества F. Тогда V – искомая
окрестность точки a, так как V ⊂ Wcи значит V ⊂ Wc= Wc⊂ Fc= U.
Обратно, пусть выполнена аксиома T
Для окрестности U = Fcточки a выберем окрестность V, чтобы
∗
, F – замкнутое множество и a∈F.
3
V ⊂ U.
Полагая W = Vc, имеем a ∈ V, F = Uc⊂ Vc= W, V ∩ W = V ∩ Vc= ∅.
A.14 Примеры топологических пространств
14.1 Пример (топологического пространства, не являющегося To–
пространством). Положим X = {a, b}, τ = {∅, X }. В данном случае
:
148 Приложение A
окрестность любой точки является окрестностью и другой точки. Такое топологическое пространство назовем слипшимся двоеточием. Вообще топологическое пространство (X, τ ) с числом точек, большим единицы, и с тривиальной топологией τ = {∅, X} не является To– пространством.
14.2 Пример (To– пространства, не являющегося T1– пространством). Положим X = {a, b}, τ = {∅, {a}, X}. Такое топологическое про-
странство назовем связным двоеточием. Вообще, если (X, τ ) есть T1– пространство, a ∈ X, Σa= {U : a ∈ U ∈ τ } – база в точке a, то τa= {∅}∪Σaесть
топология на X. При этом (X, τa) есть To– пространство, не являющееся T
– пространством.
14.3 Пример (T1– пространства, не являющегося хаусдорфовым).
Пусть X – бесконечное множество, τ – семейство, состоящее из пустого множества и всех подмножеств множества X, дополнения которых до X состоят
из конечного множества элементов. Тогда (X, τ ) – топологическое пространство. Если a и b – различные элементы из X, то X r {a} есть окрестность
точки b, не содержащая точку a, и X r {b} есть окрестность точки a, не
содержащая точку b. Следовательно, ( X, τ ) есть T1– пространство.
Кроме того, любые две окрестности точек a и b, соответственно, имеют
непустое пересечение (иначе одна из окрестностей содержится в дополнении
другой и значит состоит из конечного числа элементов).
Аналогично если X – несчетное множество, τ – семейство, состоящее из
пустого множества и всех подмножеств множества X, дополнения которых
до X состоят из конечного или счетного числа элементов, то (X, τ) есть T1–
пространство, не являющееся хаусдорфовым.
1
14.4 Пример (хаусдорфова пространства, не являющегося регулярным). Пусть X = Rm, xo∈ X и последовательность S = {x1, x2, . . .} схо-
дится к xo. Определим топологию τ на X, считая окрестности точки x 6= x
те же, что и в эвклидовом пространстве Rm; окрестности же точки xoполучаются из обычных окрестностей вычитанием точек последовательности S.
Тогда τ есть топология на X. При этом топологическое пространство (X, τ)
хаусдорфово, но точка xoи замкнутое (!) множество S не отделимы.
Пример 14.5 (регулярного пространства, не являющегося нормаль-
ным). ( Cм. Александров П.С. [1, стр. 168; 1977] ).
o
Приложение A 149
14.6 Пример (нормального пространства). Всякое метрическое пространство нормально. Действительно, если F1и F2– непересекающиеся замкнутые множества метрического пространства X с метрикой d, то dx=
d(x, F2) > o : ∀x ∈ F1, dy= d(y, F1) > o : ∀y ∈ F2, и множества
G1=
[
x∈F
Sx,
1
dx
2
, G2=
[
y∈F
Sy,
2
dy
2
являются непересекающимися окрестностями множеств F1и F2. Здесь, как
обычно, S(x, ε) – открытый шар с центром в точке x радиуса ε > o.
A.15 Функциональная отделимость множеств
В топологическом пространстве X обычным образом вводится понятие непрерывности числовой функции. Функция f : X → R1называется непрерывной
в точке a ∈ X, если для всякого ε > o существует окрестность U точки a
такая, что |f(x) − f (a)| < ε при X ∈ U. Функция непрерывная в каждой
точке называется просто непрерывной. Оказывается, что числовая функция
на топологическом пространстве непрерывна, если и только если прообраз
открытого множества (на прямой) является открытым множеством (топологического пространства). То же самое верно, если открытые множества
заменить замкнутыми. Обычно, интерес представляют топологические пространства, которым соответствует достаточно богатая коллекция непрерывных числовых функций на них; например, если для любой пары различных
топологических пространств существует непрерывная функция на этом пространстве, принимающая разные значения в этих точках. В этой связи введем
следующее
15.1 Определение. Два множества A1и A2топологического простран-
ства X назовем функционально отделимыми, если существует непрерывная
функция:
Xf−→ [0, 1] : f =
0, на A1;
1, на A2.
15.2 Замечание. Скажем, что непрерывная функция Xf−→ Rnразделя-
ет множества A1и A2пространства, если замыкания множеств f (A1) и
f(A2) в Rnне пересекаются. Приводимые утверждения сохраняются, если
используются лишь непрерывные функции X → [0, 1]n. Оказывается:
150 Приложение A
15.2.1 Множества A1и A2функционально отделимы, если и только если
множества A1и A2разделяются некоторой непрерывной функцией X → R
при некотором n > 1.
Это вытекает из следующего утверждения:
15.2.2 Пусть непрерывная функция Xf−→ Rnразделяет множества
A1и A2. Тогда существует непрерывная функция R
g
n
−→ [0, 1] такая, что
h = g(0), f = 0 на A1и = 1 на A2.
Действительно, так как
жества в Rn, то существуют открытые множества G1и G2в Rnтакие, что
fA1⊂ G1, fA2⊂ G2и G
fA1и fA2– непересекающиеся замкнутые мно-
T
G2= ∅ [ для проверки можно воспользовать-
1
ся тем, что Rn– совершенно нормальное пространство, см. ниже ]. Выберем
теперь непрерывную функцию
g
n
R
−→ [0, 1] : g =
0, на G1;
1, на
G2.
Тогда функция h = g ◦ f является искомой.
15.3 Определение. Два множества A1и A2топологического пространства
X назовем слабо функционально отделимыми, если существует непрерывная
функция Xf−→ Rnмножеств и непересекающиеся открытые множества B1и
B2на прямой такие, что
n
A1⊂ f−1B1, A2⊂ f−1B2.
Тем самым, A1и A2отделяются непересекающимися окрестностями
[ порожденными некоторой непрерывной действительной функцией f ].
15.4 Замечание. Обозначим через τoсемейство прообразов открытых
множеств на прямой относительно непрерывных функций X → R1. Можно
считать, что
15.4.1 τoсостоит из открытых множеств вида W = {x : f(x) > o}, где
f – некоторая непрерывная неотрицательная функция.
Действительно, воспользуемся утверждением: для всякого открытого мно-
h
B
жества B на прямой существует непрерывная функция R
1
−→ R1такая, что
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]