Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метризация топологических пространств
.pdf
2.14 Задание топологии набором шаров 21
2.14 Задание топологии набором шаров
Если (X, d) – метрическое пространство, то совокупность шаров
β = {S(a, r) : a ∈ X, r > o}, где S(a, r) = {x ∈ X : d(x, a) < r}
[ образующих базу топологии ] удовлетворяют следующим свойствам шаров:
S1 x ∈ S(a, r) =⇒ S(x, ε) ⊂ S(a, r) : ∃ε > o.
S2 S(a, r1) ⊂ S(a, r2) : ∀a ∈ X, o < r16 r2.
S3 x 6= y =⇒ S(x, ε) ∩ S(y, δ) = ∅ : ∃ε > o и ∃ δ > o
( свойство отделимости ).
S
S4
В общем случае часто удобно задавать топологию в множестве X с помощью
набора β его частей, удовлетворяющего S1 – S4. В этом случае элементы
набора β удобно называть шарами, а сам набор играет роль базы топологии.
S(a, r) = X.
(a,r)
Можно S2 и S4 объединить в виде более сильного требования:
S2, S4 S(a, r) ↑ X при : r ↑ ∞, ∀ a ∈ X.
Комментарий 1. Или (для мультитопологий):
β = Sα(a, r) : a ∈ X, r > o, α ∈ A.
Комментарий 2. Дополнительные свойства шаров, выполнимые для некоторого пространства:
S(a, r) = a + S(o, r), [ если S(a, r) = {x : d(x − a) < r} ];
λS(a, r) = S(a, λr), [ если d(λx) = λd(x) : ∀λ > o ].
2.15 Классы линейных функционалов
Пусть (X, D) – МНП (или ММП, т. е. D – мультиквазинорма);
f – линейные функционалы;
X∗= X
X
X
X
∗(1)
∗(2)
∗(3)
∗(4)
– класс непрерывных линейных функционалов;
= { f — лин. ф – л, ∃ Q ∃ c > o ∀x : |f (x)| 6 c · Q(x) };
= { f — лин. ф – л, ∀Q ∃ c > o ∀x : |f(x)| 6 c · Q(x) };
= { f — лин. ф – л, ∃ c ∀ Q ∀x : |f (x)| 6 c · Q(x) }.
22 Глава 2 Распределения в сепарабельном ЛМП
∗(1)
X
Положим X
Тогда X
∗
= { f — лин. ф – л, ∃c > o ∀x : |f(x)| 6 c · Q(x) }.
Q
[
∗(2)
=
∗
X
, X
Q
Q
Отметим, что если Q1≺ Q2( т. е. Q1(x) 6 Q2(x) : ∀ x ), то X
=
S
X
Q′≺Q
При Q ↑"X
∗(3)
X
= { f — лин. ф – л, ∀ d ∈ D ∃ c > o : |f (x)| 6 c · d(x) }.
∗
Q
Определим топологии τ1, ..., τ4в пространствах X
⊃ X
#
∗
, значит X
′
Q
∗(2)
∗(3)
⊃ X
\
=
∗(3)
∗
X
Q
Q
∗
↑ X
Q
⊃ X
.
∗(2)
∗(4)
.
∗(1)
, ..., X
∗(4)
τ1соответствует сходимости fn→ f ⇐⇒ fn(x) → f(x) : ∀x;
τ2задаётся полунормой k f k2= infQsup
{x:Q(x)61}
|f(x)|;
τ3задаётся разделяющим семейством полунорм
k f kQ= sup
τ4задаётся нормой k f k4= supQsup
Комментарий 1. Ясно, что X
гиями τ1, τ2, τ3; также как X
|f(x)| [ Q ⊂ D c #Q < ∞ ];
Q(x)61
|f(x)|.
Q(x)61
∗(4)
∗(3)
можно снабдить более слабыми тополо-
более слабыми τ1или τ2, а X
∗(2)
более слабой
(чем τ2) топологией τ1.
∗
Q
1
⊂ X
∗
.
Q
2
:
Проверим, что f 7→k f k2есть полунорма. Очевидно, k λf k2= |λ| k f k2.
Пусть k f k2= o. ∀ε > o ∃Qε: o > sup
|f(x)| − ε, т. е. |f (x)| 6 ε при Qε6 1
Q(x)61
и значит f(x) = o : ∀x { Qεне зависит от ε }.
Проверим неравенство треугольника. ∀ε > o получаем:
k f k2> |f (x)| − ε, при Qf(x) 6 1;
k g k2> |g(x)| − ε, при Qg(x) 6 1;
k f k2+ k g k2> |f (x) + g(x)| − 2ε, при Q(x) = (Qf(x) ∨ Qg(x)) 6 1.
Это даёт
k f k2+ k g k2> sup
> infQsup
|(f + g)(x)| − 2ε
Q(x)61
|(f + g)(x)| − 2ε =k f + g k2−2ε.
Q(x)61
2.16 Непрерывность линейного функционала 23
a
o
Комментарий 2. Если |f(x)| 6 c при Q(x) 6 1, то |f (x)| 6 c · Q(x) : ∀x.
Действительно, пусть Q(x) 6= o. Выберем λ > o, чтобы Q(λx) = λQ(x) = 1.
Тогда |f(λx)| 6 c и значит |f (x)| 6 c·
Тогда Q(λx) = λQ(x) 6 1: ∀λ > o и значит |f( λx)| 6 c, т. е. |f (x)| 6
1
= c·Q(x). Пусть теперь Q(x) = o.
λ
c
λ
∀λ > o.
Это даёт f (x) = o и опять |f(x)| 6 c·Q(x).
2.16 Непрерывность линейного функционала
Предложение. X
∗(1)
(X, D) непрерывен тогда и только тогда, когда
для некоторого числа c > o и некоторой полунормы x 7→ Q(x).
Доказательство. Требуется лишь проверить выполнимость такого неравенства для непрерывного линейного функционала, так как обратное утверждение очевидно.
Если же линейный функционал f непрерывен, то ∀ε > o существует
окрестность U нуля такая, что |f (x)| < ε при x ∈ U. Так как U
есть объединение шаров, то существует шар SQ(a, r), содержащий точку o и
содержащийся в U .
∗(2)
= X
, т.е. линейный функционал f на МНП
|f(x)| 6 c · Q(x) : ∀x
:
Но тогда SQ(o, δ) ⊂ SQ(a, r) при δ = r − Q(o) > o.
Итак, |f(x)| < ε при x ∈ SQ(o, δ), т. е. при Q(x) < δ
или, полагая y =
1
· x, |f(y)| < c при Q(y) < 1, c =
δ
ε
.
δ
Это даёт |f (y)| < c · Q(y) : ∀y.
( Cм. Комментарий в конце Раздела 2.15, стр. 23 ).
Рис. 2.16
Шар SQ(a, r)
Комментарий. X
∗
def
= X
∗(1)
= X
∗(2)
.
Пример. Рассмотрим МНП (X, D), где D = {λ· k · k, λ > o}, k · k – норма
на X. Тогда
k f k2= inf
λ>o
λkxk61
sup
|f(x)|
λ k x k
= inf
λ>o
1
λ
sup
kyk61
|f(x)|
k x k
= o,
24 Глава 2 Распределения в сепарабельном ЛМП
λ>o
∗(2)
λkxk61
= X∗.
sup
|f(x)|
λ k x k
= +∞ : ∀f ∈ X
∗(4)
.
т. е. k f k2= o : ∀f ∈ X
k f k4= sup
Этот пример показывает, что семейство полунорм должно быть "масштабно согласовано". В частности, из набора {λd(x), λ > o} содержать
лишь один элемент. При этом "топология сходимости" (и значит τD) не изменяется и свойство отделимости сохраняется.
Глава 3
Слабая сходимость мер
3.1 Обозначения
(X, d) – польское пространство;
B(X) – σ–алгебра борелевских подмножеств множества X;
mes(X) – класс конечных мер на B(X);
C( X ) – класс непрерывных ограниченных функций на X.
Определение. Полное сепарабельное метрическое пространство называется польским пространством.
Z
µ(f) = (µ, f) =
f(x)µ(dx) : µ ∈ mes(X), f ∈ C(X ).
X
Определение. µ
Комментарий 1. µ
где Aµ– семейство множеств, граница которых имеет µ – меру нуль:
Предложение (критерий предкомпактности семейства мер). Для
слабой предкомпактности M ⊂ mes(X ) необходимы и достаточны:
1)
равномерная ограниченность: sup
для некоторого конечного числа c > o ];
слабо
−−−→ µ, если µn(f) → µ(f ) : ∀ f ∈ C(X).
n
слабо
−−−→ µ ⇐⇒ µn(A) → µ(A) : ∀A ∈ Aµ,
n
Aµ= {A ∈ B(X ) : µ(∂A) = o}, ∂A =
µ(X) < ∞ [ µ(X) 6 c : ∀µ ∈ M и
µ∈M
25
A ∩ Ac.
26 Глава 3 Слабая сходимость мер
2) равномерная плотность: ∀ ε > o ∃ компактное множество Kε⊂ X такое,
что sup
µ(X r Kε) 6 ε [ µ(X r Kε) 6 ε : ∀µ ∈ M ].
µ∈M
Комментарий 2. Условие 2) можно заменить на:
∀ε > o ∀ δ > o ∃ конечное множество E ⊂ X такое, что µ(X r S(E, δ)) 6 ε :
∀µ ∈ M ;
S(E, δ) = {x ∈ X : d(x, E) < δ}, где d(x, E) = inf
y∈E
d(x, y).
Комментарий 3. Если X – нормальное топологическое пространство, то
всякий непрерывный линейный функционал на C(X) имеет вид
Z
µ(f) =
f(x)µ(dx) : ∀f ∈ C(X ),
X
где µ – ограниченная регулярная конечно – аддитивная функция множеств
на алгебре, порожденной замкнутыми множествами.
( См. Дынкин Е.Б., Шабат Б.В., Юшкевич А.А. [8, стр. 283; 1976] ).
3.2 О существовании конечной меры
Предложение. Пусть
(µn)N⊂ mes(X), µ
слабо
−−−→ µ ∈ mes(X) ;
n
f – непрерывная (не обязательно ограниченная!) функция на X;
Z
|f(x)|µn(dx) < ∞ : ∀n; lim
X
r→∞
sup
n
Z
|f(x)|µn(dx) = o.
|f(x)|>r
R
Тогда µ(f ) =
f(x)µ(dx) существует и конечен; µn(f) → µ(f ).
X
3.3 Метрика Прохорова
для польского пространства
Определение. mes(X, d) – польское пространство. Метрика Прохорова:
d(λ, µ) = L(λ, µ) = inf{λ(A) 6 µ(Aε) + ε : ε > o, ∀A ∈ B(X)};
Aε= {x : d(x, A) < ε} = S(A, ε).
( См. Вахания Н.Н. [4, стр. 50; 1972] и [4, стр. 57];
Dudley U. [29, Пример 15 в; 2008]: различия метрик Леви и Прохорова ).
3.3 Метрика Прохорова для польского пространства 27
Теорема. Пусть (X, d) – польское пространство. Тогда (mes(X), L) – польское пространство и сходимость в нем эквивалентна слабой сходимости.
( См. обобщение этих утверждений: Вахания Н.Н., Тариеладзе В.И., Чобанян
С.А. [5, Вероятностные распределения в банаховых пространствах; 1985] ).
Глава 4
Виды сходимости
случайных элементов
4.1 Определения видов сходимости
Сходимость почти наверное. Обозначается п.н., с вер.1 (с вероятностью), P – п.н.,
Р(lim ξn= ξ) = 1.
Эта сходимость может быть определена для любого топологического пространства X (в котором принимают значения случайные элементы).
Сходимость по вероятности.
lim
Р (d (ξn, ξ) > ε) = o : ∀ε > o.
n→∞
Здесь требуется метризуемость топологического пространства X и, более
того, знание метрики d.
Слабая сходимость.
слабо
Р
−−−→ Рξ⇐⇒ Ef (ξn) → Ef (ξ) : ∀f ∈ C(x).
ξ
n
Такое определение годится для любого топологического пространства X.
Если же X – польское пространство, то эквивалентным определением является сходимость в метрике Леви – Прохорова: L (P
29
, Pξ) → o.
ξ
n
30 Глава 4 Виды сходимости случайных элементов
4.2 Сходимость по вероятности
и по полуметрике
Сходимость по вероятности равносильна сходимости по полуметрике:
w(ξ, η) = Eϕ(d(ξ, η)), где ϕ(x) =
x
1 + x
или 1 − e
−x
или . . .
Действительно, так как (x > ε) ⇐⇒ (ϕ(x) > ϕ(ε)) : ∀ε > o, то, полагая
n
E
= {d (ξn, ξ) > ε}, имеем:
ε
n
Р (E
) 6
ε
что даёт ξ
по вер.
−−−−→ ξ, если w (ξn, ξ) → o.
n
w (ξn, ξ) = Eϕ (d (ξn, ξ))1
что даёт w (ξn, ξ) → o, если ξ
Комментарий.
Если в полуметрическом пространстве (X, d) рассмотреть
Eϕ (d (ξn, ξ))
ϕ(ε)
n
+ 1
E
ε
по вер.
−−−−→ ξ.
n
=
(E
w (ξn, ξ)
c
n
)
ε
ϕ(ε)
6 Р (E
, (1)
n
) + ϕ(ε), (2)
ε
множество Xπклассов эквивалентных элементов [ x ∼ y ⇋ d(x, y) = o ],
то (Xπ, d) становится метрическим пространством.
Тем не менее, в полуметрическом пространстве (X, d) сохраняются поня-
тия фундаментальной последовательности, полноты, сепарабельности.
Положим var(X ) – множество случайных элементов со значениями в
(X, d) на вероятностном пространстве (Ω, Σ, P).
Теорема. Метрическое пространство (var(X), w) : полно, если (X, d)
полно; сепарабельно, если (X, d) и (Ω, Σ, Р) сепарабельны.
( См. Вахания Н.Н. [4, стр. 83; 1972] ).
Обоснование. Вероятностное пространство (Ω, Σ, Р) сепарабельно
по определению, если Σ – сепарабельно относительно полуметрики Р(A ∆ B), что
равносильно тому, что Σ порождается своим счетным подмножеством.
( См. Вахания Н.Н. [4, стр. 79; 1972] ).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]