Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метризация топологических пространств
.pdf
4.12 Слабая сходимость польского пространства 41
Таким образом, ∀ε > o ∀δ > o существует конечное множество A такое,
что µ(X r S(A, 2δ)) 6 µ(X r Kδ) 6 ε : ∀µ ∈ M.
Остаётся воспользоваться достаточным условием слабой предкомпактно-
сти из Комментария 2 Раздела 3.1 стр. 26.
Предложение 2. Пусть X – тихоновское пространство, для слабой пред-
компактности M ⊂ Rad(X) { Rad(X) — семейство радоновых мер } в
Rad(X) достаточно наличия плотности этого семейства, [ т. е. ∀ε > o
∃ компактное множество K такое, что µ(Kc) 6 ε : ∀µ ∈ M ].
( См. Вахания Н.Н. [4, стр. 51; 1972 ] ).
Возможно лучше обозначать R(X) для Rad(X).
4.12 Слабая сходимость польского пространства
Предложение. Для польского пространства (X, d) слабая сходимость
(вероятностных мер) и слабая сходимость типа 1 совпадают.
Доказательство. Требуется лишь проверить, что µn(f) → µ(f) : ∀ f ∈
C1(X) ⊂ C(X ) влечет µn(f) → µ(f ) : ∀f ∈ C (X).
Для этого убедимся, что выполнено достаточное условие слабой предкомпактности Предложения 1 из Раздела 4.11 стр. 40: Пусть ε > o и δ > o.
Выберем компактное множество K = Kεтак, чтобы µ(K ) > 1 − ε. Предположим, что
^
∃f ∈ C1(X) : (f = fεδ)
Тогда µ
δ
K
n
> µn(f) → µ(f ) > µ(K) > 1−ε или более точно [ выбирая
N = N(ε, δ), чтобы |µn(f) − µ(f)| < ε : ∀n > N ] µ
(1K6 f 6 1
n
Выбирая компактные множества K1, . . . , KN, чтобы µn(Kn) > 1 − 2ε
для n = 1, . . . , N, и полагая Kεδ= K1∪ . . . ∪ KN∪ K, получим
δ
µ
K
> µn(Kn) > 1 − 2ε : n = 1, . . . , N ;
εδ
δ
K
> µn(Kδ) > 1 − 2ε : n > N,
εδ
т. е. µ
X r K
n
n
µ
n
δ
6 ε : ∀n.
εδ
Это и есть достаточное условие слабой предкомпактности семейства мер:
{µ, µ1, µ2, . . .} = M. ( Cм. Предложение 1 Раздела 4.11 стр. 40 ).
). (1)
δ
K
δ
K
> 1−2ε : ∀n > N.
Осталось проверить существование функции f, удовлетворяющей (1). По-
ложим F = X r Kδ. Замкнутые множества K и F не пересекаются и, более
42 Глава 4 Виды сходимости случайных элементов
того, d(K, F ) > δ > o. Действительно, d(K, F ) = inf
d(x, y), но если x ∈ K
K×F
и y ∈ F, т.е. y∈Kδи x ∈ K, то d(x, y) > δ. Остаётся положить
f(x) =
d(x, F )
d(x, F ) + d(x, K)
: ∀x,
и воспользоваться неравенством ( Cм. Комментарий 2 Раздела 4.8 стр. 36)
|f(x) − f(y)| 6
d(x, y)
d(F, K)
1
6
· d(x, y) : ∀x, y. !
δ
Комментарий. Для обобщения этого Предложения полезно воспользоваться следующими утверждениями:
Предложение 2 из Раздела 4.11 стр. 41;
X – тихоновское пространство, (µα) – обобщенная последовательность
борелевских мер, µ : τ – гладкая (борелевская) мера и β – некоторая мультипликативная (замкнутая относительно конечных пересечений) база топологии пространства X.
( См. Вахания Н.Н. [4, Следствие 1 стр. 47; 1972] ).
Тогда
µα(U) → µ(U ) : ∀ U ∈ β =⇒ µ
слабо
−−−−→ µ.
α
Борелевская вероятностная мера µ в полном метрическом пространстве
X радонова ⇋ существует сепарабельная (борелевская) часть Y ⊂ X,
Y ∈ B(X) такая, что µ(Y ) = 1.
( См. Вахания Н.Н. [4, стр. 35; 1972] ).
Следствие. Приведем простое доказательство того, что: ξ
слабо
ξ
−−−−→ ξ для случая, когда (X, d) – польское пространство.
n
по вер.
−−−−−→ ξ ⇐⇒
n
( Cм. Теорему Раздела 4.3 стр. 31 ).
Следует показать, что Ef (ξn) → Ef(ξ) : ∀f ∈ C1(X). Положим Enε=
{d (ξn, ξ) > ε}. Т. к. |f(x) −f (y)| 6 c ·d(x, y) : ∀x, y и для некоторого числа
c > o, то
|Ef (ξn) − Ef (ξ)| 6 E |f (ξn) − f (ξ)|1
6 2 sup
|f(x)| · Р (Enε) + sup
x∈X
+ 1
E
E
nε
nε
|f(x) − f(y)|
d(x,y)6ε
c
6 const · Р (d (ξn, ξ) > ε) + c · ε.
4.13 Слабая сходимость для ММП 43
4.13 Слабая сходимость для ММП
Предложение. Пусть (X, D) – ММП. Тогда
по вер.
ξ
−−−−−→ c = const ⇐⇒ ξ
n
слабо типа 1
−−−−−−−−→ c .
n
Доказательство. Пусть d ∈ D, ε > o. Обоснование ⇒ . Объясняет След-
ствие 4.12 стр. 42. Обоснование ⇐ . {x ∈ X : d(x, c) > ε} = F6ε∋ c.
Положим
f6ε(x) =
d(x, c)
d(x, c) + d(x, F6ε)
: ∀x.
Отметим, что
{ f (x) > 1F(x) : ∀x }
⇐⇒|f(x) − f(y)| 6
d(x, y)
d(c, F)
1
6
d(x, y) [ т. е. f ∈ C1(X) ].
ε
Это даёт
Р {d (ξn, c) > ε} = Р {ξn∈ F} = E 1F(ξn) 6 Ef (ξn) → f (c) = o.
Следствие.
Если X – польское пространство, то
по вер.
ξ
−−−−−→ c = const ⇐⇒ ξ
n
слабо
−−−−→ c
n
(доказывает Предложение Раздела 4.12 стр. 41).
Комментарий ! Таким образом, если рассматривать сл.величины со значениями в ММП (X, D), а слабую сходимость определять как слабую сходимость типа 1, то
п.н.
−−−→ ξ ⇒ ξ
ξ
n
по вер.
−−−−→ c ⇐⇒ ξ
ξ
n
по вер.
−−−−−→ ξ ⇒ ξ
n
слабо
−−−→ c ( cм. стр. 43 );
n
слабо
−−−−→ ξ, ( cм. стр. 31, 42, 43, 33 );
n
для польского пространства указанная слабая сходимость совпадает с классической, ( cм. стр. 41 );
п.н.
ξ
−−→ ξ ⇐⇒ ηn= sup
n
i>n
d (ξi, ξ)
по вер. или слабо
−−−−−−−−−−→ o : ∀d
( cм. стр. 32 – 33 ; см. Раздел 4.19 Дополнение на стр. 47 – 49 ).
44 Глава 4 Виды сходимости случайных элементов
4.14 ММП с направленным
множеством полуметрик
Пусть (X, D) – ММП с направленным множеством D полуметрик:
Do– подмножество множества D такое, что Doразделяет точки X и
∀d ∈ D ∃doтакое, что d ≺ do.
Тогда x
D
−−→ x, т.е. d (xn, x) → o : ∀d ∈ D равносильно x
n
И значит топологии τDи τ
совпадают.
D
o
D
−−→ x.
n
o
Если к тому же Doне более, чем счётно, то (X, D) метризуемо.
4.15 Счетно – компактное ММП
Пусть (X, D) – ММП. (Конечное) множество A ⊂ X назовём (ε, d) – сетью
( здесь ε > o, d ∈ D ), если Sd(A, ε) = X ( т. е. ∀x ∈ X ∃a ∈ A : d(x, a) < ε).
Теорема. Для того, чтобы ММП (X, D) было счетно – компактным необ-
ходимо, а в случае, когда D счётно, то и достаточно, чтобы
o
(X, D) было полным;
1
2o∀ε > o и ∀d ∈ D существует конечная (ε, d) – сеть.
Необходимость. 1oЕсли (xn)N– фундаментальная последовательность
(т. е. d (xn, xm) → o при n, m → ∞ : ∀d ∈ D), не имеющая предельной точки
в X, то X не счетно – компактно. Таким образом необходимость полноты X
очевидна.
2oПусть ∃εo> o и ∃ do∈ D такие, что в X не существует конечная сеть
(εo, do). Выберем a1∈ X. Так как одноточечное множество A1= {a1} не
является (εo, do) – сетью, то найдется a1∈ X такое, что do(ao, A1) > εo.
Так как двухточечное множество A2= {a1, a2} не является (ε, do) –
сетью, то найдется a3∈ X такое, что do(a3, A2) > εoи так далее. Если
уже выбраны таким путём n точек a1, . . . , an, то так как множество An=
({a1, . . . , an} не является (εo, do) – сетью, то найдется a
do(a
, An) > ξo.
n+1
∈ X такое, что
n+1
Таким образом выбирается бесконечная последовательность (попарно –
различных) точек a1, a2, . . . , которая не имеет в X предельной точки в силу do(ai, aj) > εoпри i 6= j. Значит исходное предположение неверно, т. е.
∀ε > o и ∀ d ∈ D существует конечная (ε, d) – сеть.
4.16 Критерий слабой предкомпактности 45
Достаточность. Если D = (di)
X
n>1
−n
2
d(x, y) =
, то полагая
N
+
1 − e
−dn(x,y)
: ∀x, y ∈ X,
получим метрическое пространство (X, d) топологически эквивалентное исходному (X, D). В частности, (X, d) – полное пространство. Теперь достаточно убедиться, что метрическое пространство (X, d) вполне ограничено (т. е.
∀ε > o существует конечная ε – сеть). Тогда полное вполне ограниченное
метрическое пространство компактно ( и значит счётно – компактно).
Без ограничения общности можно считать, что d16 d26 . . . . Для ε > o
выберем N > 1 из условия
X
2−n= 2−N<
n>N
огда конечная
Т
2N
ε
, d
– сеть A является искомой.
N
Действительно, ∀x ∈ X ∃a ∈ A такое, что dN(x, a) <
N
X
[ 1 − e−x6 x : ∀x > o ] d(x, a) 6
dn(x, a) +
n=1
ε
.
2
ε
. Это даёт
2N
X
2−n< N ·
n>N
ε
2N
+
ε
2
= ε.
4.16 Критерий слабой предкомпактности
Теорема. Пусть (X, D) – полное сепарабельное ММП со счётным семей-
ством D. Тогда M ⊂ P(X) слабо предкомпактно, если и только если существует конечное множество A = A(ε, δ, d) ⊂ X : ∀ε > o ∀δ > o и ∀d ∈ D,
для которого
µSd(A, δ) > (1 − ε) : ∀µ ∈ M.
Доказательство (необходимость). ∀ε > o существует компактное мно-
жество K = Kεтакое, что µK > 1 − ε : ∀µ ∈ M (так как X – польское
пространство). ∀δ > o ∀ d ∈ D существует конечная (ε, d) – сеть A.
Это даёт Sd(A, δ) ⊃ K и значит µSd(A, δ) > µK > 1 − ε : ∀µ ∈ M.
T
S
Достаточность (способ 1). Kε=
m>1Tn>1
(A (ε · 2
d
m
ляется компактным множеством и µKε> 1 − ε : ∀µ ∈ M. Здесь
ε > o, D = {d1, d2, . . . } [ d16 d26 . . . – не обязательно ].
Достаточность ( способ 2). (Cм. доказательство достаточности в Разделе
−m−n
, 2−n, dm) , 2−n) zв-
46 Глава 4 Виды сходимости случайных элементов
4.15 стр. 45. Заменить ε на δ ). Sd(A, δ) ⊃ S
µS(A, δ) > µ S
d
N
A,
2N
δ
> 1 − ε : ∀ µ ∈ M. Остаётся воспользовать-
d
N
A,
δ
, A = A(ε, δ). Тогда
2N
ся тем, что Теорема верна для польского пространства (X, d). Или опять
построить Kεв явном виде
\
Kε=
S (A (ε · 2−n, 2−n) , 2−n).
n>1
4.17 Предкомпактность польского пространства
Следствие 1. Пусть (X, D) – польское пространство, D счётно.
Для слабой предкомпактности M ⊂ P(X) необходимо и достаточно, чтобы
∀d ∈ D ∀ ε > o ∀δ > o существовало компактное множество K = K(ε, δ, d)
такое, что
µSd(K, δ) > 1 − ε : ∀µ ∈ M.
Доказательство (необходимость). ∀ε > o существует компактное мно-
жество K = Kεтакое, что µK > 1 – ε : µ ∈ M. Но Sd(K, δ) ⊃ K : ∀ d ∈ D и
δ > o и значит
µSd(K, δ) > µK > 1 − ε : ∀µ ∈ M.
Доказательство (достаточность). Пусть A – конечная (δ, d) – cеть мно-
жества K, тогда Sd(A, δ) ⊃ K и значит Sd(A, 2δ) ⊃ Sd(K, δ).
( См. доказательство последнего включения в Разделе 4.11 стр. 40 ).
Это даёт
µSd(A, 2δ) > µSd(K, δ) > 1 − ε : ∀µ ∈ M.
В силу Теоремы Раздела 4.16 стр. 45 семейство мер M слабо предкомпактно.
Следствие 2. В условиях Теоремы Раздела 4.16 [ или Следствия 1 текущего Раздела ] слабая сходимость и слабая сходимость типа 1 совпадают.
Доказательство. Оно такое же как в Разделе 4.12 стр. 41, если эти выкладки проводить для ∀d ∈ D и воспользоваться Cледствием 1 текущего
Раздела 4.17.
Комментарий. Если ММП (X, D) является полным и сепарабельным со
счетным семейством D = {d1, d2, . . . }, d16 d26 . . . и значит (X, d) c d =
P
n>o
−n
2
1 − e
−d
n
есть польское пространство, то C1(X, D) и C1(X, d) не
обязательно совпадают.
4.18 Теорема Прохорова 47
4.18 Теорема Прохорова
Теорема. Пусть X – тихоновское пространство, M ⊂ R(X). Для слабой
предкомпактности (предкомпактности в слабой топологии) M в R(X) достаточно, а если X – полное метрическое пространство, то и необходимо,
чтобы семейство M было плотным [ ∀ε > o ∃ компактное подмножество
Kε(µKε> 1 − ε : ∀µ ∈ M ) ].
Здесь R(X) – множество радоновых мер ( cм. Вахания Н.Н. [4, стр. 51] ).
Относительно регулярных, радоновых мер и приближения |µ(fε) – µ(B)| < ε
для бэровских B непрерывными fε(o 6 fε6 1) ( cм. Вахания Н.Н. [4, стр. 42 –
45, 35] ).
В Теоремах Разделов 4.16 – 4.17 стр. 45 достаточная часть для любого
ММП (X, D) со счётным D ( любого метрического пространства: не обязательно полного и/или сепарабельного), а необходимая часть для любого
полного метрического пространства (не обязательно сепарабельного).
4.19 О сходимости случайных величин
Комментарий ! Это продолжение комментария Раздела 4.13 стр. 43 о
сходимости сл. величин почти наверное, по вероятности и слабо.
Рассматриваемые сл. величины принимают значения в ММП (X, D).
Последовательность сл. величин ξnфундаментальна:
почти наверное, если Plim
по вероятности, если ∀ ε > o lim
d (ξi, ξj) = o= 1 : ∀d ∈ D;
i,j→∞
P (d (ξi, ξj) > ε) = o : ∀d ∈ D.
i,j→∞
(εn) фундаментальна почти наверное означает:
= 1.
%
1
F
n
m
= o.
∀d и o < εm↓ o : P
Например, εm=
1
.
m
Или, полагая Fnd(ε) = Fn(ε) =
!
\
∀d : P
m>1[n>1
1
F
n
m
\
m>1[n>1
T
{d (ξi, ξj) > ε},
i>n
j>n
%
c
= 1 или P
\
(d (ξi, ξj) < εm)
i>n
j>n
!
[
m>1\n>1
48 Глава 4 Виды сходимости случайных элементов
Что равносильно
!
\
∀d ∀ε > o : P
Полагая ζn= sup
i>n
j>n
d (ξi, ξj) , имеем F
Fn(ε)%= o или lim
n>1
ε
⊂ {ζn> ε} ⊂ F
n
2
P (Fn(ε)) = o (1)
n→∞
ε
n
2
: ∀d, что
вместе с (1) приводит:
Предложение 1. Последовательность (ξn) – фундаментальная п.н. ⇔
по вер.
ζ
−−−−→ o.
n
Предложение 2. Если (ξn) — d – фундаментальная по вероятности, то суще-
ствует подпоследовательность ( ξ
) d – фундаментальная п.н. (Определение
n
k
d – фундаментальной последовательности см. в конце доказательства).
Более того, (ξ
) можно выбрать так, чтобы выполнялось приводимое
n
k
ниже условие (⋆).
Доказательство. Пусть d ∈ D. ∀k > 1 выберем nk> 1 так, чтобы
P d (ξi, ξj) > 2
−k
6 2−k: ∀i, j > nkи 1 6 n1< n2< . . . . (⋆)
В частности,
P d ξ
n
k+1
Покажем, что подпоследовательность (ξ
Ak=d ξ
Так как
, ξ
X
k>1
> 2
n
k
n
k+1
P (Ak) 6
−k
6 2−k: ∀k > 1.
) п.н. фундаментальная. Положим
n
k
, ξ
n
k
> 2
−k
.
X
2−k< ∞,
k>1
то по Лемме Бореля – Контели P(A) = o, где A = lim Ak=
\
P
k>m
Отметим, что d (x
d (xi, xj) 6 d (xi, x
d
ξ
n
k+1
, xi) < 2−i: ∀ i > m влечёт
i+1
) + . . . + d (x
i+1
, ξ
n
k
−k
< 2
→ 1 : m → ∞. (2)
, xj) < 2−i+ . . . + 2
j−1
−(j−1)
T
S
Ak, или
m>1
k>m
< 2 · 2−i,
при j > i > m.
4.19 О сходимости случайных величин 49
Значит
\
k>m
d
, ξ
ξ
n
n
1
k+
−k
< 2
k
\
j>i>m
\
i,j>m
\
i,j>m
d
d
d
ξ
ξ
n
ξ
n
⊂
⊂
⊂
, ξ
< 2 · 2−i6 2 · 2
n
n
j
i
, ξ
< 2 · 2
n
i
j
−m
−m
, ξ
< ε: 2 · 2−m< ε.
n
i
j
Что вместе с (2) приводит к
!
\
i,j>m
d
ξ
, ξ
n
n
i
j
P
Что равносильно (1) для Fm(ε) =
< ε
%
→ 1 : m → ∞, ∀d ∈ D.
S
i>m
j>m
d ξ
, ξ
n
> ε.
n
i
j
Определение. (ξn) — d – фундаментальна по вероятности, если
P (d (ξi, ξj) > ε) → o при i, j → ∞ : ∀ ε > o.
(ξn) — d – фундаментальна почти наверное, если d (ξi, ξj) → o при i, j → ∞.
Здесь d – фиксированная полуметрика из D.
Замечание к Предложению 2. Как и в случае (действительных) сл. величин сходимость почти наверное порождает топологию в пространстве сл.
элементов, которая неметризуема.
Если R – метрическое пространство, то xn→ x ⇐⇒ для любой подпоследовательности (x
такие, что x
Если же ξ
обязательно ξ
′′
→ x.
n
−−−−→ ξ, то выполнена "правая" часть утверждения, но не
n
−−→ ξ.
n
′
) ⊂ (xn) существуют подпоследовательности (x
n
по вер.
п.н.
′′
) ⊂ (x
n
n
Предложение 3.
п.н.
1oξ
−−→ ξ =⇒ (ξn) – фундаментальная почти наверное;
n
по вер.
2oξ
−−−−→ ξ =⇒ (ξn) – фундаментальная по вероятности.
n
Доказательство. 1oследует из
ζn= sup
d(ξi, ξj) 6 sup
i>n
j>n
[d(ξi, ξ) + d(ξ, ξj)] 6 2 sup
i>n
j>n
d(ξi, ξ) = 2ηn: ∀d ∈ D
i>n
′
)
50 Глава 4 Виды сходимости случайных элементов
( верное поточечно: ξn(ω) 6 2ηn(ω) : ∀ω ∈ Ω ).
2oP(d(ξi, ξj) > ε) 6 Pd(ξi, ξ) >
1
ε+ Pd(ξj, ξ) >
2
1
ε: ∀ d ∈ D.
2
4.20 Сходимость ряда
независимых случайных элементов
Независимость (набора) случайных элементов из некоторого набора определяется стандартным образом.
Чтобы говорить о сумме сл. элементов, следует предположить, что X –
ЛТП. В этом случае можно говорить о сходимости почти наверное, а чтобы
говорить о сходимости по вероятности частичных сумм сл. элементов достаточно предполагать, что { критерий сходимости по вероятности }:
(X, D) – ММП типа F , это значит по определению, X – ЛТП, топология
которого задаётся разделяющим семейством D инвариантных метрик.
Предложение 1. Пусть (X, D) – полное ММП типа F . Сумма независимых
сл. элементов (значения в X) сходится п.н. ⇐⇒ сходится по вероятности.
Комментарий. Если S1, S2, . . . – последовательность частичных сумм сл.
элементов, то независимы (по предположению) сл. элементы: S1, S2– S1,
S3– S2, . . . ; или ∀m, n, k(m > o, n > k > 1) (S
Мы же будем предполагать, что независимы сл. величины: [ d (S
d (S
) ] и d (S
k+m
n+m
− S
) : ∀m, n, k, d (m > o, n > k > 1, d ∈ D); или,
k+m
более общо,
1+m
, S
k+m
) и (S
n+m
– S
1+m
k+m
) , . . . ,
).
[ d (S
, Sm) , . . . , d (S
1+m
, Sm) ] и d(S
k+m
n+m
, S
k+m
) :
∀m, n, k, d (m > o, n > k > 1, d ∈ D) (∗)
где So– некоторый элемент из X.
В этом случае Предложение 1 имеет смысл и для ММП (X, D) [ X не обязательно линейное пространство: не обязательно допускать линейные операции в X ] и (Sn)N– некоторая последовательность сл. элементов.
Доказательство будем проводить именно для этого случая и, тем самым,
предположение о независимости выглядит в форме (∗).
Лемма 1 (лемма Леви для польского пространства). (X, D) – ММП;
So, S1, . . . , Sn— X – сл. эл.; ρ – полуметрика на X; ∀k (1 6 k 6 n) сл.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]