Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метризация топологических пространств
.pdf
6.13 Случайный элемент и математическое ожидание 111
Задача. (Предполагается исходное вероятностное пространство полным)
Проверить, что ξ ∈ P(X) и Ef (ξn) → Ef(ξ) : ∀f ∈ X∗.
Решение. Пусть f ∈ X∗, ηn= f(ξn), η = f (ξ).
Заметим, что E|ηn| < ∞, E|ηn− ηm| → o : n, m → ∞, η
−−−→ η.
n
k
п.н.
В силу полноты пространства L1случайных величин с конечным первым
моментом и нормой kηk = E|η| имеем η ∈ L1и Eηn→ Eη. Для ξ ∈ P(X)
остаётся заметить, что выбор f из X∗был произвольным, а также проверить
,
что ∃ w ∈ X такое, что f(wn) → f(w) : ∀f ∈ X∗, wn= Eξn.
Действительно,
f(wn) = Ef(ξn), |f (wi) − f (wj)| = |Ef(ξi) − Ef (ξj)| 6 E|f(ξi) − f (ξj)|.
Следовательно, последовательность (f (wn)) фундаментальная ∀f ∈ X∗. Остаётся воспользоваться слабой полнотой пространства X.
Следствие. Пусть
1oP(X) ∋ ξ
п.н.
−−−→ ξ;
n
2o∀f ∈ X∗последовательность чисел E|f(ξi) − f (ξj)| → o : i, j → ∞;
3oX – слабо полно.
Тогда
1oξ ∈ P(X);
2olim Eξn= E lim ξn.
Здесь lim Eξn= Eξ – слабый предел, lim ξ
n
п.н.
= ξ.
Комментарий. Здесь не используется предположение 2oиз (L2) (Лемма 2).
При этом доказательство (L2) переносится на этот случай с упрощением: не
требуется рассматривать подпоследовательности.
(L3) Теорема Лебега. Пусть
1oX – слабо полно;
2oP(X) ∋ ξ
п.н.
−−→ ξ;
n
3o∀f : f ∈ X∗выполнено |f (ξn)| 6 const(f) ·η, где случайная величина
η интегрируема (Eη < ∞).
112 Глава 6 Безгранично делимые распределения
Тогда
1oξ ∈ P(X);
2olim Eξn= E lim ξn, где lim Eξn= Eξ – слабый предел. lim ξ
n
п.н.
= ξ.
Доказательство. ∀f ∈ X∗имеем:
1of(ξn)
п.н.
−−→ f (ξ);
2o|f(ξn)| 6 const(f) · η : Eη < ∞.
Согласно теореме Лебега f (ξ) ∈ L1и Ef (ξ) = lim Ef (ξn).
Кроме того, если f (wn) = Ef(ξn) : wn= Eξn, то (f (wn))
– фундамен-
N
+
тальная последовательность: ∀f ∈ X∗. А в силу слабой полноты X найдется
w ∈ X : f (wn) → f(w). Поэтому
f(wn) → f(w) = Ef (ξ) ← Ef(ξn) : ∀ f ∈ X∗, т.е. w = Eξ и ξ ∈ P(X ).
слабо
[ w
−→ w = Eξ = E lim ξn]
n
Po(X) подпространство пространства P(X).
Предположение: X – слабо полно.
Po(X) – класс измеримых отображений ξ : (Ω, Σ) → [ X, F(X) ]. Они явля-
ются либо счетнозначными
ξ =
X
xk1
: Ak∈ F(X), AiAj= ∅ : i 6= j,
A
k
X
|f(xk)|P(Ak) < ∞ : ∀f ∈ X∗,
(∗)
либо пределом равномерно сходящейся последовательности таких
отображений.
Пусть ξ функция вида (∗). Положим
wn=
X
xkP(Ak), ξn=
16k6n
X
16k6n
xk1
.
A
k
R
Тогда [ согласно определению P(X) ] wn=
X
f(wn) =
=
f(xk)P(Ak) =
16k6n
Z
f ◦ ξn(ω)P(dω) : ∀f ∈ X∗.
Ω
ξn(ω)P(dω). Действительно,
Ω
Z
X
f ◦ ξn(ω)P(dω)
A
16k6n
k
6.13 Случайный элемент и математическое ожидание 113
В частности, wn∈ P(X). Далее, ∀f ∈ X∗числовая последовательность
∞
(f(wn))
фундаментальная последовательность [ в силу
N
+
∞ ], поэтому (в силу слабой полноты X ) ∃w ∈ X : w
∞
согласно
f(w) =
y
P
|f(xk)|P(Ak) < ∞ ] ∀f ∈ X
k=1
n
X
f(wn) =
X
f(xk)P(Ak) =
k=1
X
f(xk)P(Ak) =
k>1
k>1
∗
Z
f ◦ ξn(ω)P(dω),
Ω
Z
f ◦ ξ(ω)P(dω) =
A
k
P
|f(xk)|P(Ak) <
k=1
слабо
−−−→ w. Итак, [ опять
n
Z
f ◦ ξ(ω)P(dω).
Ω
Значит
f(w) =
Z
f ◦ ξ(ω)P(dω),
Ω
Z
|f ◦ ξ(ω)|P(dω) =
Ω
X
|f(xk)|P (Ak) < ∞.
Т. е. ξ ∈ P(X) и w = Eξ.
Если же ξn→ ξ равномерно (по ω), ξn– сл. элементы вида (∗), wn= Eξn, то
последовательность чисел f (wn) фундаментальна: ∀f ∈ X∗, n > 1. Действи-
тельно,
|f(wm) − f (wn)| 6
Z
|f(ξm(ω) − ξn(ω)|P(dω).
Ω
Непрерывность f в точке o ∈ X означает, что ∀ε > 0 ∃ окрестность U точки
o такая, что |f(x)| < ε : x ∈ U. В данном случае равномерная сходимость
ξn→ ξ влечет ∀ окрестности точки o ∈ X, что
∃nU> 1 ξm(ω) − ξn(ω) ∈ U: ∀n, m > nU.
Поэтому
|f(wm) − f (wn)| 6
Z
ε · P(dω) = ε : n, m > nU.
Ω
В силу полноты X в слабой топологии (в топологии слабой сходимости) существует w ∈ X такое, что f(wn) → f(w) : ∀f ∈ X∗. Тогда
f(w) = lim f(wn) = lim
Z
f (ξn(ω)) P(dω) =
Ω
Z
f(ξ(ω))P(dω),
Ω
т. к. f(ξn) → f(ξ) равномерно по ω), [ |f(ξn(ω))−f (ξ(ω))| 6 |f (ξn(ω) − ξ(ω)) | <
ε : n > nV, т. е. ξn(ω) − ξ(ω) ∈ V ]. Поэтому ξ ∈ P(X) и w = Eξ.
Итак,
Po(X) ⊂ P(X)
114 Глава 6 Безгранично делимые распределения
Комментарий. Относительно выбора окрестностей ”W − W ⊂ U” в лю-
бом ЛТП (cм., например, Колмогоров А.Н., Фомин С.В. [17, стр. 168; 1976]),
[ откуда, в частности, следует, что любое ЛТП регулярно ].
Задача 1. Рассмотрим линейное ММП (X, (di)I) и предположим, что измеримое отображение ξ : (Ω, Σ) → [ X, F(X ) ] таково, что kJξ ∈ P(XJ) : J ⊂
I, #J < ∞. Учитывая представление f ∈ X∗в виде f = fJ◦ kJ, fJ∈ X∗[ и
значит Ef (ξ) = EfJ(kJξ) = fJ(wJ), wJ∈ XJ], проверить справедливость
включения ξ ∈ P(X ).
Пример (интеграл Бохнера). Рассмотреть случаи:
1) X – банахово пространство (см. Вахания Н.Н., Тариеладзе В.И., Чобанян С.А. [5, Предложение 3.2 стр. 100; 1985]);
2) Ekξk < ∞ ( в этом случае интеграл Pettis‘а называют интегралом
Бохнера ).
Задача 2. Сравнить с достаточными условиями существования интеграла
Pettis‘а, изложенными в Вахания Н.Н., Тариеладзе В.И., Чобанян С.А. [5,
Гл.2 §3, стр. 98 – 107; 1985].
Задача 3. Дать (по аналогии с вышеизложенным) понятие условного математического ожидания (по Pettis‘у) ( для сравнения cм. Вахания Н.Н.,
Тариеладзе В.И., Чобанян С.А. [5, стр. 107 – 109; 1985] ). Для определения
полумартингала (требуется частичная упорядоченность !). Воспользоваться
материалом: "Интегрирование в векторных пространствах".
6.14 Характеристический функционал
Пусть X – линейное топологическое пространство.
Определение. Характеристическим функционалом вероятностной меры µ
на F(X) называют функционал bµ : X∗→ C, определяемый равенством
Z
bµ( f ) =
Комментарий. Иногда характеристический функционал называют преобразованием Фурье – Стильтьеса (или преобразованием Фурье), а в случае
X = Rn— характеристической функцией.
if(x)
e
µ(dx) : f ∈ X∗.
X
6.14 Характеристический функционал 115
Определение. Если ξ : (Ω, Σ) → [ X, F(X) ] – случайный элемент, то
характеристическим функционалом ϕξслучайного элемента ξ называют характеристический функционал распределения Pξ, т. е.
ϕξ(f) = Ee
if◦ξ
: f ∈ X∗.
Теорема. Вероятностная мера µ на F(X) однозначно определяется харак-
теристическим функционалом bµ этой меры, т. е. две вероятностные меры на
F(X) с одним и тем же характеристическим функционалом совпадают.
( Тем самым, µ 7→ bµ – биекция. )
Доказательство. Используется эта же теорема для случая X = Rn, n > 1.
1oДля n ∈ N+и f1, . . . , fn∈ X∗рассмотрим отображение
X ∋ x 7→ F(x) = (f1(x), . . . , fn(x)) ∈ Rn.
Ясно, что отображение F : (X, F(X)) → (Rn, B (Rn)) измеримо.
[ Действительно, пусть
n
E =
n
Y
Bi, Bi∈ B R
i=1
o
1
⊂ B (Rn) ,
тогда σE = B (Rn) . Значит
F (x) = σF−1E = F−1σE = F−1B(Rn) ].
2oОпределим вероятностную меру µnна B(Rn), полагая: µn= µ ◦ F−1,
характеристическую функцию bµn: Rn→ C и
Z
bµn(+) =
i(t,y)
e
n
R
µn(dy).
3oДля f = t1f1+ · ·· + tnfn= (t, F ) : t = (t1, . . . , tn) ∈ Rnиз формулы
замены переменных имеем
Z
i(t,y)
e
n
R
F (µ)(dy) = bµn(t) :
bµ(f ) =
Z
X
i(t,F (x))
e
µ(dx) =
F (µ) = µ ◦ F−1= µn.
Так как задан характеристический функционал bµ, то определена ха-
рактеристическая функция bµnмеры µn. Но по bµnмера µnопределяется
однозначно.
116 Глава 6 Безгранично делимые распределения
4oВ силу произвольного выбора n > 1 и f1, . . . , fnиз X∗вероятностная
мера µ однозначно определяется по bµ на алгебре цилиндрических мно-
жеств вида
F−1B = {x ∈ X : F (x) = (f1(x), . . . , fn(x))} :
B ∈ B(Rn), т.к. µ(F−1B) = µn(B).
Значит µ однозначно определяется по bµ на минимальной σ – алгебре, со-
держащей такие множества, т.е. на F(X).
6.15 Свертка вероятностных мер
Определение свертки вероятностных мер.
n
Y
F
X
i=1
n
Y
=
i
F(Xi)).
i=1
Для определения свертки мер µ1и µ2, определенных на F( X ) в виде
(µ1∗ µ2)(A) =Z1A(x + y)µ1(dx)µ2(dy) =Zµ1(A − y)µ2(dy)
=Zµ2(A − x)µ1(dy) : A ∈ F( X ), X– ЛТП,
достаточно, чтобы отображение (x, y) 7→ 1A(x + y) было измерим ым как
отображение [ X2, F(X)2]7→ [ R1, B(R1) ], т. к. в этом случае можно ис-
пользовать теорему Фубини. Это же равносильно тому, что
{(x, y) : 1A(x + y) = 1} = {(x, y) : x + y ∈ A} = a−1A : ∈ F(X)2,
где a : (x, y) 7→ a(x, y) = x + y есть отображение X27→ X.
Итак, для корректного определения свертки двух вероятностных мер, за-
данных на F(X), достаточна измеримость отображения
a : [X2, F(X)2] → [X, F(X) ] , a(x, y) = x + y.
Ниже будет показано:
1oF(X)2= F(X2) [ Лемма 1 ], [ достаточно F(X )2⊃ F(X2) ];
2oa : [ X2, F(X)2] → [ X, F(X) ] изм ерим о [ Лемма 2 ].
6.15 Свертка вероятностных мер 117
Лемма 1. F(X)2= F(X2) ( См. Раздел 6.18 [7 ]9стр. 129 ).
Доказательство.
1oПроверим, что h ∈ X2∗имеет вид h(x, y) = f(x) + g(y) : f, g ∈ X∗.
Достаточно положить h(x, 0) = f (x), h(0, y) = g(y) [ h(x1+y1, x2+y2) =
h(x1, x2) + h(y1, y2) =⇒ h(x, y) = h(x + 0, 0 + y) = h(x, 0) + h(0, y)].
2oДля c ∈ R1и h ∈ (X2)∗имеем
A = h−1(−∞, c ] = {(x, y) : h(x, y) = f (x) + g(y) 6 c}
n
=
X
(x, y) :
m∈Z
m
6 f(x) <
n
m + 1
, f (x) + g(y) 6 co: ∀ n > 1.
n
Полагая
Anm=(x, y) :
m
6 f(x) <
n
m + 1
n
, g(y) 6 c −
m
n
: m ∈ Z,
n ∈ N+,
P
имеем A ⊂ An=
T
An, то проверим лишь A ⊃TAn=
Anmи An↓ A. [ Действительно, так как A ⊂
m
TnP
Anm= R. Пусть
m
X
(x, y) ∈ R ⇁ (x, y) ∈
⇁ ∀n > 1 ∃m ∈ Z : f (x) <
⇁ f(x) + g(y) < c +
Anm: ∀ n > 1 ⇁ ∀n > 1 ∃m ∈ Z : (x, y) ∈ A
m
m + 1
, g(y) 6 c −
n
1
: ∀ n > 1 ⇁ f (x) + g(y) 6 n
n
m
n
nm
⇁ (x, y) ∈ A ].
Так как Anm∈ F(X )2, то A ∈ F(X)2. Таким образом, если E =
{h−1( 0, c ] : h ∈ (X2)∗, c ∈ R1}, то E ⊂ F(X)2. Но σE = F(X2),
значит F(X2) ⊂ F(X )2.
3oПусть A – класс подмножеств множества X2вида
A = {(x, y) : f(x) ∈ B1, g(y) ∈ B2} : f, g ∈ X∗, B1, B2∈ B(R1).
Положим h1(x, y) = f (x), h2(x, y) = g(y) : ∀x, y ∈ X. Тогда h1и h2–
линейные непрерывные функционалы на X2и A = h
1
−1
B
T
h
1
∈ F(X2). Таким образом A ⊂ F(X2), но σA = F(X )2. Тем самым
F(X)2⊂ F(X2).
−1
B2:
2
118 Глава 6 Безгранично делимые распределения
Лемма 2. Отображение [X2, F(X2)]a−→ [X, F(X)], a(x, y) = (x+y) является
измеримым.
Доказательство. Так как f ◦ a ∈ (X2)∗: ∀f ∈ X∗[ (f ◦ a)(x, y) = f(x) +
f(y) ], то a−1(f−1B) = (f ◦ a)−1B : ∈ F(X2) ∀B ∈ B(R1).
Таким образом, если E = { f−1B : f ∈ X∗, B ∈ B(R1) }, то a−1E ⊂ F(X2).
Значит a−1F(X) = a−1σE = σ(a−1E) ⊂ F(X2).
Следствие. ∀A ∈ F(X) отображение X2∋ (x, y) 7→ 1A(x + y) ∈ R
является F(X2) измеримым. Действительно,
{(x, y) : 1A(x + y) = 1} = {(x, y) : x + y ∈ A} = a−1A ∈ F(X2) = F(X )2.
6.16 Две базовые леммы
Пусть опять [ X, (di)I] – линейное ММП.
Лемма 1.
1oЕсли µ – вероятностная мера на F(X), то kJ(µ) – вероятностная мера
на F(XJ).
2oЕсли µ1и µ2– вероятностные мера на F(X), то kJ(µ1∗ µ2) =
kJ(µ1) ∗ kJ(µ2) – вероятностная м ера на F(XJ).
Доказательство. 1oТак как k
−1
µ ◦ k
(корректно ) определена на F(XJ).
J
Что касается последнего включения, то см. стр. 10 7 или следующие рас-
суждения.
Пусть E =g−1B : g ∈ X
Кроме того, для f = g ◦ kJимеем
−1
F(XJ) ⊂ F(X) [ см. ниже ], то kJ(µ) =
J
∗
, B ∈ B R
J
1
, тогда σE = F(XJ).
1
−1
(g−1B) = f−1B ∈ F(X) ⇁ k
k
J
⇁ k
−1
F(XJ) = k
J
−1
J
−1
σE = σ(k
J
E ⊂ F(X)
−1
E) ⊂ F(X).
J
2oОтметим сначала, что согласно Раздела 6.15 указанные свертки определены корректно. Для A ∈ F(XJ) имеем
Z
kJ(µ1∗ µ2)(A) = (µ1∗ µ2)(k
−1
J
A) =
−1
µ
k
A − xµ2(dx).
1
X
J
6.17 Нормальное распределение на F(X) ЛТП X 119
Проверим, что
−1
(A − kJ(x)
J
−1
A ⇋ kJ(a) ∈ A
J
).
a − x ∈ k
−1
A − x = k
k
J
−1
A − x ⇋ a ∈ k
J
⇋ kJ(a − x) = kJ(a) − kJ(x) ∈ A − kJ(x)
−1
⇋ a − x ∈ k
(A − kJ(x)).
J
Это дает
kJ(µ1∗ µ2)(A) =
Z
−1
µ
k
(A − kJ(x))µ2(dx) =
1
X
J
Z
kJ(µ1)(A − kJ(x))µ2(dx).
X
Или согласно теореме Фубини ( имея в виду kJ(X) = XJ)
Z
kJ(µ1∗ µ2)(A) =
kJ(µ1)(A − y)kJ(µ2)(dy) = kJ(µ1) ∗ kJ(µ2)(A).
X
J
Лемма 2. Пусть µ1и µ2вероятностные меры на F(X) и kJ(µ1) = kJ(µ2)
на F(XJ) : ∀ J ⊂ I с #J < ∞ ; тогда µ1= µ2.
Другими словами, вероятностная мера µ на F(X) по {kJ(µ1)}Jвосста-
навливается однозначно.
Доказательство. Утверждение следует из Предложения на стр. 107
−1
k
F(XJ) = FJ(X), Fo(X) =
J
[
FJ(X) – алгебра, F(X) = σFo(X).
J
6.17 Нормальное распределение
на F(X) ЛТП X
Определение. Распределение N на F( X ) называется нормальным, если
∃a ∈ X такое, что ∀f ∈ X∗распределение ( вероятностная мера) f(N) =
N◦f−1на B(R1) является нормальным со средним f(a) и дисперсией, которую
обозначим D(f ).
Cлучайный элемент ξ : (Ω, Σ, P) → (X, F(X)) называется нормальным,
если его распределение Pξ= P ◦ ξ−1является нормальным. Характеристический функционалbN нормального распределения N имеет вид
b
N(f) = Ee
if(ξ)
=
Z
if(x)
e
N(dx) = expif(a) −
X
1
D(f): f ∈ X∗.
2
120 Глава 6 Безгранично делимые распределения
Из определения N им еем ∀f ∈ X∗:
D(f) =
f(a) =
Z
(y − f(a))2f(N)(dy) =
1
R
Z
yf (N)(dy) =
1
R
Z
(f(x) − f(a))2N(dx) =
X
Z
f(x)N(dx);
X
Z
f2(x − a)N(dx).
X
А если ξ – нормальный случайный элемент ( случайный элемент с нормальным распределением), то
f(a) = Ef (ξ) и D(f ) = varf (ξ) : ∀f ∈ X∗.
В частности, согласно определению математического ожидания по Pettis (cм.
Раздел 6.13 стр. 109), a = Eξ. Тогда
b
N(f) = Ee
if(ξ)
= expif(Eξ) −
Ковариация вероятностной меры. Через S обозначим X∗× X
1
varf(ξ): f ∈ X∗.
2
∗
−→ R
S
ξ
неотрицательно-определенную билинейную форму
S(f, g) = E(f(ξ − a) · g(ξ − a)) = cov(f (ξ), g(ξ)).
[ Этот функционал определен корректно, так как
S2(f, g) 6 S(f, f ) · S(g, g), S(f, f) = D(f ) < ∞ ].
Таким образом, D(f) – квадратичная (неотрицательно определенная) форма
(порожденная и порождающая через D(f + g) . . . ) из билинейной (неотрицательно определенной) формы S(f, g).
Определение ковариции. Функционал Sξ: X∗×X∗→ R1называется ковариацией вероятностной меры (распределения) Pξ[ на F(X ) ] или случайного
элемента ξ.
6.18 Ковариации банахова пространства
( См. Вахания Н.Н., Тариеладзе В.И., Чобанян С.А. [5, стр. 139,...; 1985] )
1
Комментарии (о ковариациях линейного топологического пространства).
[ 1 ] Если X – линейное топологическое пространство, то пространство X
′
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]