Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метризация топологических пространств
.pdf
Приложение A 171
его называют александровской компактификацией ].
Из этого утверждения следует, что хаусдорфово локально компактное
пространство, не являющееся компактом, есть открытое множество некоторого компакта [ например, X = X r {ω}, где {ω} – одноточечный нарост
александровской компактификации; при этом {ω} – замкнутое множество,
как всякое одноточечное множество хаусдорфова пространства ]. В частности, хаусдорфово локально компактное пространство вполне регулярно [ как
подпространство компакта являющегося даже нормальным пространством,
см. Теорему 22.9 ]. Верно, конечно, и обратное утверждение о том, что всякое
открытое подмножество компакта является локально компактным пространством.
Указанная александровская компактификацияαX строится из X добавлением некоторой точки ω [ так называемой бесконечно удаленной точки;
конечно, ω
∈X ]. При этом топологияατ наαX составлена из открытых множеств пространства X и множеств вида {ω} ∪ Ac, где A – компактное
подмножество пространства X [ последние подмножества {ω}∪ Acобразуют
систему окрестностей точки ω ].
Отметим, что первым предложил рассматривать компактное расширение
А.Н.Тихонов. Ему же принадлежит приведенное Определение 23.1.
( См. Тихонов А.Н. [23, стр. 544 – 561; 1929] ).
23.4 Основное [характеристическое ] свойство стоун – чеховской компак-
тификации состоит в том, что:
23.4.1 Любое непрерывное отображение Xf−→ C тихоновского про-
странства X в компакт C может быть продолжено до непрерывного отоб-
f
ражения:βX
−→ C [ так как X,βX и C можно считать подпространствами
тихоновского куба ].
В частности, пространство C(X ) непрерывных ограниченных действительных функций на тихоновском пространстве X порождает класс C(βX)
непрерывных действительных функций на компактеβX ⊃ X, являющихся
непрерывными продолжениями функций из C(X) [ что является удобным
приемом в некоторых вопросах функционального анализа ].
Кроме того, из Утверждения 23.4.1 следует, что:
23.4.2 Любое непрерывное отображение Xf−→ Y тихоновских прост-
ранств может быть продолжено до непрерывного отображенияβXf−→βY их
стоун–чеховских компактификаций [Действительно, отображение f в силу
172 Приложение A
Y ⊂βY порождает отображение Xf−→βY, которое согласно 23.4.1 может
быть продолжено до непрерывного отображенияβXf−→βY ].
23.5 Замечание. Приведем еще одно [ характеристическое ] свойство стоун – чеховской компактификации.
23.5.1 Если X – нормальное пространство, F1и F2– произвольные
непересекающиеся замкнутые множества, то замыкание их образов вβX тоже не пересекаются [ это свойство в слу чае нормального пространства X
является характеризующим стоун – чеховское расширение ]
[ Действительно, если непрерывное отображение Xf−→ [0, 1] отделяет F
и F2, принимая значение 0 на F1и значение 1 на F2, то непрерывное продол-
жениеβXf−→ [0, 1], существующее согласно 23.4.1, отделяет замыкания F1и
F2множеств F1и F2, вβX, принимая значение 0 на F1и значение 1 на F2].
23.5.2 Если X – тихоновское пространство и точка a не содержится
в замкнутом множестве F, то точка a не содержится и в замыкании FβX
множества F вβX.
[Доказывается аналогично.] Приведем другое доказательство. Всякое открытое множество G1в X (как в подпространстве пространства Q =βX)
имеет вид G1= G ∩X, где G – открытое множество в Q. Выберем открытое
множество G в Q так, чтобы a ∈ G и F находилось вне G (такое G существует,
иначе в X всякая окрестность G1точки a пересекается с F, и значит a ∈ F).
Возьмем далее непрерывную функцию Qg−→ [0, 1] так, чтобы g(a) = 1 и g = 0
вне G. Положим
o
1
V =nx : g(x) <
, W =nx : g(x) <
2
Теперь F ⊂ W влечет FQ⊂ WQ=x : g(x) 6
1
⊂ V и т. к. a∈V, то a∈FQ.
4
o
1
.
4
1
23.6 Докажем утверждение 23.2.1.
Если (f, Y ) – компактификация тихоновского пространства X, то, т.к.
компакт гомеоморфен некоторой части тихоновского куба IW[см. Теоремы
22.9 и 22.12], можно с самого начала считать Y подпространством куба IW.
Теперь следующая Теорема конкретизирует Утверждение 23.2.1.
Приложение A 173
Теорема. Пусть
1) T – топологическое вложение [ т. е. гомеоморфизм на образ ] вполне
регулярного пространства X в тихоновский куб Q =
Q
Iα: Iα= [0, 1];
α∈J
2) F = {fα= Pα◦ T : α ∈ J}, где Pα– проекция Q на Iα.
Тогда F – регулярное семейство функций.
Доказательство. Функции fαнепрерывны, так как непрерывны функции
Pαи T . Пусть теперь F – замкнутое множество пространства X и a ∈ F. Сле-
дует показать, что для некоторого конечного множества {α1, . . . , αn} ⊂ J
выполнено
ϕ(a) /∈ ϕ(F ), где ϕ(x) = {f
(x), . . . , f
α
1
(x)} ∈ [0, 1]n: x ∈ X.
α
n
Так как X ∼ T (X) ⊂ Q, то можно считать, что X ⊂ Q и T – тождественное преобразование. Через FQобозначим замыкание F в Q. Согласно
Замечанию 23.5.2 a
∈ FQ. Но тогда существуют непересекающиеся открытые
[ в Q ] множества U и V такие, что a ∈ U, F ⊂ V ; при этом U можно
считать цилиндром [ так как семейство цилиндров образует базу ].
Обозначим через PMU = U
M = {α1, . . . , αn} и PM– проекция Q на I
× . . . × U
α
1
основание цилиндра U; здесь
α
n
α
1
× . . . I
= [0, 1]n= In.
α
n
Так как PMU и PMV не пересекаются и являются открытыми множествами в In[ отображение PMоткрыто ], то PMa /∈ PMFQ⊃ PMF .
Полагая ϕ = PMна X ⊂ Q, получим ϕ(a) /∈ ϕ(F). Остается учесть, что
fα= Pαна X и ϕ = (f
α
1
, . . . f
).
α
n
23.7 Компактификации (f, Y ) и (g, Z) топологического пространства X
называют эквивалентными, если существует такой гомеоморфизм Yϕ−→ Z,
что g = ϕ ◦ f [ и симметрично f = ϕ−1◦ g ].
На множестве компактификаций топологического пространства X рассмотрим отношение ≺, полагая (g, Z) ≺ (f, Y ), если g = ϕ◦f для некоторого
непрерывного отображения Yϕ−→ Z.
Если (g, Z ) ≺ (f, Y ) и (f, Y ) ≺ (g, Z), то компактификации (f, Y ) и (g, Z )
эквивалентны. Действительно, так как g = ϕ◦f и f = ψ ◦g для некоторых
непрерывных отображений Yϕ−→ Z и Zψ−→ Y, то g = (ϕ◦ψ)◦g и f = (ψ◦ϕ)◦f.
Если теперь f (X) = Yoи g(X) = Zo, то ψ ◦ ϕ = 1Yна Yoи ϕ ◦ ψ = 1
на Zo, но Yoи Zoвсюду плотны в Y и Z соответственно; следовательно,
Z
174 Приложение A
ψ ◦ ϕ = 1Yи ϕ ◦ ψ = 1Z[ непрерывные отображения в хаусдорфово
пространство совпадают, если они совпадают на всюду плотном множестве ].
Таким образом, непрерывное отображение ϕ биективно и обратное ϕ−1= ψ
непрерывно, т. е. ϕ – гомеоморфизм.
Так как отношение ≺ транзитивно, то теперь на множестве классов эквивалентных компактификаций оно превращается в [ частичный ] порядок.
Оказывается, что:
23.7.1 Cтоун – чеховская компактификацияβX является максимальным компактным расширением вполне регулярного пространства X [ в смысле отношения ≺ ].
Это утверждение непосредственно следует из Теорем 22.9, 22.12, 23.6 и
определения стоун – чеховской компактификации.
Приложение B
Широкая сходимость
B.1 Предварительные сведения
B.1.1 Широкая сходимость
Произвольное множество E называется L – пространством (это понятие вве-
дено М.Фреше, см. Frechet M. [30, стр. 215 – 310; 1948]), если в нем выделен
некоторый класс последовательностей (называемых сходящимися), причем
каждой последовательности x1, x2, . . . этого класса поставлен в соответствие
некоторый элемент x = lim
выполняются следующие условия:
n→∞xn
( пишется также xn→ x ). Таким образом,
1oесли xn→ x и 1 6 n1< n2< . . . , то x
2oесли xn= x : ∀n, то xn→ x.
Если к тому же выполняется условие:
3oесли последовательность {xn} не сходится к x, то она содержит подпо-
следовательность {x
сходится к x, тогда E называется L∗– пространством (см., например,
Куратовский, Топология, том 1 § 20, [19] ).
Структура L – пространства в множестве E естественным образом порождает
структуру L∗– пространства в множестве E. А именно, пусть E есть L –
пространство.
1
Всегда считаем 1 6 n1< n2< . . . Включение {mk} ⊂ {nk} служит сокращением
теоретико – множественной записи {mk|k = 1, . . .} ⊂ {nk|k = 1, . . .}.
}1, никакая подпоследовательность которой не
n
k
175
n
k
→ x;
176 Приложение B
Определение 1. Последовательность {xn} широко сходится к x
ш
−→ x, или пишем xш= lim xn,
x
n
если из всякой её подпоследовательности можно извлечь подпоследовательность, сходящуюся к x.
Ясно, что при широкой сходимости E есть L∗– пространство.
Пример. Пусть (Ω, F, P ) — вероятностное пространство, E – простран-
ство классов совпадающих п.н. действительных сл. величин; ξ 6 η, если
ξ(w) 6 η(w) п.н. Тогда E — вполне решетчатое пространство; естественная
сходимость в E есть сходимость п.н., а отвечающая ей ш ирокая сходимость
совпадает со сходимостью по вероятности.
Определение 2. Если в множестве E введены два вида сходимости1−→
и2−→, в каждой из которых E есть L – пространство, то будем говорить
сходимость2−→ шире сходимости1−→, когда:
a) x
1
−→ x влечет x
n
b) если x
2
−→ x, то существует подпоследовательность x
n
2
−→ x (т. е. вторая сходимость слабее первой);
n
n
k
1
−→ x (т. е.
вторая сходимость сильнее широкой сходимости, отвечающей первой
сходимости).
Замечание 1. Пусть E – вполне решеточное пространство (т. е. пространство Рисса, в котором всякая мажорированная последовательность имеет
верхнюю грань). В этом случае широкая сходимость, отвечающая естественной (т. е. порядковой) сходимости в E, согласована с операциями пространства Рисса. То есть:
ш
x
−→ x, λn→ λ влечет λnx
n
x
n
ш
−→ x, y
ш
−→ y влечет xn+ y
n
ш
−→ λx;
n
n
ш
−→ x + y;
sup(xn, yn)ш−→ sup(x, y), inf(xn, yn)ш−→ inf(x, y);
ш
x
−→ x влечет x
n
ш
+
−→ x+, x
n
ш
−
−→ x−, |xn|ш−→ |x|.
n
Приложение B 177
ш
(k)
n
k
(k)
n
ш
−→ o.
−→ o) :
Замечание 2. Пусть E есть R – пространство. Если ∀ k > 1(x
n → ∞, то ∃{nk} : ряд sup
(k)
x
сходится и, в частности, x
n
k
k
( Действительно, существуют такие подпоследовательности
(k)
что x
→ o : m → ∞; тогда w
(k)
n
m
∃{Nk} : ряд Σw
⊃
(1)
n
m
k
сходится. Осталось положить nk= n
N
k
(2)
n
m
⊃ . . . ⊃n
k
= sup
N
m>N
(k)
⊃ . . . ,
m
(k)
x
↓ o : N ↑ ∞ и значит
(k)
n
m
(k)
и заметить, что
N
k
1 6 n1< n2< . . . ).
B.1.2 r – пространство
Определение. Векторное пространство E называется r — пространством,
когда в нем введена структура L∗– пространства, согласованная со структурой векторного пространства (т. е. xn→ x и λn→ λ влечет λnxn→ λx;
xn→ x, yn→ y влечет xn+ yn→ x + y), и при этом, если ∀k > 1(x
k
n → ∞, то ∃{nk} : x
n
k
→ o.
Ясно, R — пространство при широкой сходимости есть r — пространство.
k
→ o) :
n
B.1.3 Подпространства
вполне решеточного пространства
Определение. Векторное подпространство H вполне решеточного пространства F называется подпространством Рисса пространства F, если h ∈ H
влечет
h+∈ H (тогда h–, |h| ∈ H; sup(h1, h2), inf(h1, h2) ∈ H : h1, h2∈ H).
Определение. Подпространство Рисса L вполне решеточного пространства F называется вполне решеточным подпространством пространства F,
если
ϕn∈ L и ϕn6 ϕ ∈ L при некотором ϕ ∈ L и всех n > 1 влечет sup
ϕn∈ L.
n>1
B.2 Расширение полуаддитивного отображения
B.2.1 Отображение подпространства Рисса
Пусть H — подпространство Рисса вполне решеточного пространства F;
W — R – пространство; Hp−→ W такое отображение, что:
178 Приложение B
(p1) p(h) = p(|h|);
(p2) 0 6 h16 h2влечет p(h1) 6 p(h2);
(p3) p(h1+ h2) 6 p(h1) + p(h2);
(p4) hn↓ o влечет p(hn) ↓ o;
(p5) hn↑ и последовательность {p(hn)} мажорировано влечет hn↑ f ∈ F и
sup
p(hm– hn) → o : n → ∞.
m>n
Свойства 1.
1o|p(h1) − p(h2)| 6 p(h1− h2);
2op(h) > 0;
3op(h) = 0 ↔ h = 0;
4op(λh) 6 np(h) : ∀n > |λ|;
5op h
+
1
− h
+
6 p(h1− h2);
2
6op(|h1| − |h2|) 6 p(h1− h2);
7opsup
16i6n
h
(1)
i
− sup
16i6n
n
6
P
i=1
ph
(1)
i
(2)
h
i
− h
(2)
i
.
Доказательство.
1o|p(h1) 6 p(h2)+ p(h1−h2), т. е. p( h1)−p(h2) 6 p(h1h2). Аналогично, p(h2)−
p(h1) 6 p(h2− h1) = p(h1− h2). Значит |p(h1) − p(h2)| 6 p(h1− h2).
2oСледует из 1o, если положить h1= h, h2= 0.
3oЕсли hn= 0, то в силу (p4) p(0) = p(hn) ↓ o, т. е. p(0) = 0. Обратно, пусть
p(h) = 0. Тогда при hn= n|h| из (p5) получаем p(hn) 6 np(h) = 0 ⇁
hn↑ f ∈ F и, в частности, |h| 6
1
f : n > 1, откуда h = 0.
n
4op(λh) = p(|λ||h|) 6 p(n|h|) 6 np(|h|) = np(h).
5o, 6oСледуют из неравенств
+
h
1
− h
+
6 |h1− h2| и ||h1| − |h2| | 6 |h1− h2|,
2
соответственно.
Приложение B 179
7oВытекает из неравенств
sup h
(1)
− sup h
i
(2)
i
6 sup
(1)
h
i
− h
(2)
i
6
X
(1)
h
i
− h
(2)
i
.
( Например,
sup h
(1)
− sup h
i
(2)
= suph
i
6 sup
h
(1)
i
(1)
i
− sup h
(2)
− h
i
(2)
6 suph
i
).
(1)
i
− h
(2)
i
B.2.2 Класс L
+
Пусть для f ∈ F существует последовательность {hn} элементов из H такая,
что hn↑ f и p(hn) 6 w для некоторого w ∈ W и ∀n > 1.
Класс таких элементов f ∈ F обозначим через L+.
Положим L = {(f1− f2)|f1, f2∈ L+}. Если ϕ = f1– f2, где f1, f2∈ L+и
,
(1)
h
n
нии элементов f1и f2соответственно, то положим p(ϕ) = lim
(2)
h
– последовательности элементов из H, участвующих в определе-
n
ph
n→∞
(1)
n
– h
(2)
n
Проверим корректность определения p(ϕ).
− h
(2)
существует, так как
n
− h
(2)
m
6 sup
m>n
− p h
p h
(1)
m
(1)
n
(1)
m
− h
− h
(1)
n
(2)
n
(1)
n
− h
+ sup
(2)
n
6 sup
m>n
m>n
p h
p h
(2)
m
(1)
m
− h
−
(2)
− h
m
(2)
→ o : n → ∞,
n
o
фундаментальна в W и, в си-
(1)
h
n
− h
(2)
n
sup
m>n
(1)
n
p h
a) lim ph
т. е. последовательностьnph
лу полноты пространства W, сходится.
22
)) → o
n
(1)
n
},
b) p(ϕ) не зависит от выбора элементов f1, f2и последовательностей {h
(2)
h
с требуемыми свойствами. Т.е., если: h
n
{1, 2}, j ∈ {1, 2}; h
f21− f22, тогда lim p (h
ij
↑ fij: n ↑ ∞; p (h
n
11
12
− h
n
) = lim p (h
n
ij
) 6 wij: ∀n > 1; ϕ = f11− f12=
n
21
n
Для этого достаточно показать, что p ((h
11
или, что тоже, p ((h
22
+ h
n
n
) − (h
12
21
+ h
n
)) → o.
n
− h
11
n
ij
∈ H : n > 1, i ∈
n
22
) .
n
− h
12
n
) − (h
21
n
− h
Положив
21
12
2
22
11
1
h
n
= h
+ h
n
n
, h
n
= h
n
, f1= f11+ f22, f2= f12+ f21,
+ h
n
.
180 Приложение B
w1= w11+ w22, w2= w12+ w21, получим, что требуется доказать
1
p (h
n
− h
2
) → o : h
n
1
↑ f1, h
n
2
↑ f2, p(h
n
1
) 6 w1, p(h
n
2
) 6 w2, f1= f2.
n
Доказательство этого факта получается применением (p4) и (p5).
Действительно, положим hn= h
2
– h
n
и hm= (h
n
1
1
− h
m
n
) + (h
2
2
− h
m
) :
n
1
m > n.
Имеем |hn| = |(h
1
− f1) − (h
n
2
− f2) | 6 (f1− h
n
1
) + (f2h
n
2
) = lim
n
n→∞
hm.
Так как inf(|hn|, hm) ↑ |hn| : m ↑ ∞
lim hm= f1− h
+
1
n
f2− h
>
2
=
n
f1– h
f1− h
1
n
то в силу (p4)
p(hn) = lim
6 sup
m>n
Тем самым p(h
B.2.3 Свойства класса L
p(inf(|hn|, hm)6 lim
m→∞
1
p(h
1
n
1
− h
m
) + sup
n
m>n
2
− h
) → o и значит p(ϕ) определено корректно.
n
p h
+
m→∞
2
− h
m
Отметим прежде всего следующие свойства.
1oH ⊂ L+.
2of и g ∈ L+влечет f + g ∈ L+.
3of ∈ L+, λ > 0 ⇁ λf ∈ L+.
−
+
1
n
f2– h
f2− h
2
n
2
n
– h
2
n
1
h
n
p(hm)
2
→ o : n → ∞ (в силу (p5)).
n
=
hn|,
4of и g ∈ L+⇁ sup(f, g) ∈ L+.
5oЕсли f ∈ L+и {hn} – последовательность элементов из H, участвующая
в определении f, т. е. hn↑ f и p(hn) 6 w для некоторого w ∈ W и ∀n,
то p(f − hn) → o.
6oОтображение p : L → W удовлетворяет аксиомам (p1) – (p3) ( с заменой
H на L ) и L есть подпространство Рисса пространства F.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]