Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метризация топологических пространств
.pdf
Глава 2
Распределения в сепарабельном
ЛМП
Распределения в СНП
2.1 Начальные предположения
Случайные элементы, рассматриваемые ниже, принимают свои значения в
СНП. Иногда будут даваться определения и утверждения для случая, когда случайные элементы принимают значения в более общих пространствах:
ЛТП, ЛВП = МНП, ММП, метрическом пространстве, возможно с инвариантной метрикой (в частности, в F – пространстве).
2.2 Случайные элементы в ТП
Как правило, будем считать, что задано полное вероятностное пространство
(Ω, Σ, P). Под случайным элементом со значениями в топологическом пространстве X, понимается всякое измеримое отображение (Ω, Σ) → [X, B(X)].
Иногда, чтобы подчеркнуть (выделить) пространство X, в котором принимает значение сл. элемент, будем говорить о X – случайном элементе. В
частности, R1– случайный элемент будем называть случайной величиной.
Определение. ξ
ноль, такое, что ξn(ω) → ξ(ω): ∀ ω ∈ (Ω rN). ( Здесь ξ, ξnне обязательно
случайные элементы ).
п.н.
−−→ ξ означает, что существует событие N вероятности
n
11
12 Глава 2 Распределения в сепарабельном ЛМП
2.3 Случайные элементы в MП
Предложение. Если сл. элементы ξ
п.н.
−−→ ξ и X – метрическое про-
n
странство с метрикой d, то ξ является случайным элементом.
Доказательство. Если ξn(ω) → ξ(ω): ∀ ω и F – замкнутое множество, то
o
1
. (∗)
m
(ξ ∈ F) =
\
m>1
[
N>1\n>N
n
ξn∈ SF,
Если же ξn(ω) → ξ(ω): ∀ω ∈ (ΩrN ), P (N ) = o, и полагая ηn(ω) = ξn(ω),
η(ω) = ξ(ω) на (ΩrN) и ηn(ω) = η(ω) = xoна N, xo– фиксированный
элемент X, то (в силу полноты базового вероятностного пространства) ηn–
случайный элемент, и так как ηn(ω) → η(ω): ∀ ω, то η – случайный элемент
и значит (снова в силу полноты вероятностного пространства и (ξ 6= η) ⊂ N )
ξ – случайный элемент.
Комментарий. Если X – ММП с мультиметрикой D = {d}, то аналогом
формулы (∗) служит
( ξ ∈ F ) =
\
d∈D
\
m>1
[
N>1\n>N
n
ξn∈ S
d
F,
m
o
1
.
Когда D счётно, множество ξ−1F = {ω : ξ(ω) ∈ F } является событием,
но в этом случае и X метризуемо.
2.4 Счетнозначное борелевское отображение
Лемма. Пусть (X, d) – сепарабельное метрическое пространство. ∀n > 1
существует счётнозначное борелевское отображение
1
Tn: X → X такое, что d(Tn(x), x) 6
Доказательство. Пусть счетное множество A = {am} ⊂ X плотно в X.
Положим
Sm= Sam,
1
, A1= S1, A
2n
m+1
= S
m+1
: ∀ x.
n
c
. . . S
1
c
: m > 1.
m
S
2.5 Критерий существования случайного элемента 13
m
x
1
2n
m
a
x
m
A
Тогда X =SSm=PAm. Некоторые из множеств A1, A2, . . . могут
быть пустыми.
Если Am6= ∅, то выбирая элемент xm∈ A
m
и полагая Tn(x) = xm: ∀x ∈ Am⊂ Sm, имеем
1
1
d(Tn(x), x) 6 d(xm, am) + d(am, x) 6
2n
+
2n
=
1
.
n
Рис. 2.4
Множество A
m
Остаётся заметить, что { x : Tn(x) = xm} = Amесть борелевское множество.
2.5 Критерий сущес твования
случайного элемента
Утверждение. Пусть (X) – сепарабельное метрическое пространство.
Отображение ξ : Ω → X является случайным элементом, если и только если
ξ является пределом некоторой равномерно сходящейся последовательности
счетнозначных случайных элементов ξn.
Воспользуемся предыдущей Леммой и положим ξn= Tn(ξ): ξn– счётнозначный случайный элемент и d(ξn(ω), ξ(ω)) 6
1
: ∀ω.
n
2.6 Случайный элемент сепарабельного МНП
Предложение. Пусть (X, D) сепарабельное МНП со счётной мультимет-
рикой D. Тогда отображение ξ : Ω → X является случайным элементoм, если
и только если f (ξ) является сл. величиной для любого линейного непрерывного функционала f.
Доказательство. Требуется лишь проверить, что ξ является случайным
элементом, если f (ξ) – сл.величина ∀f ∈ X∗.
В силу Леммы Раздела 1.8 замыкание всякого шара S = SQ(o, r) представляется в виде
\
¯
S =
fn(x) = supnfn(x) : x ∈ X, fn(x) 6 r
n>1
14 Глава 2 Распределения в сепарабельном ЛМП
для некоторой последовательности {fn} ⊂ X∗. В частности,
\
{ξ ∈ S} =
сть событие для всякого шара S ∋ o, так как
е
{fn(ξn) 6 r}
n>1
[
SQ(o, r) =
о и {ξ ∈ S} есть тоже событие для всякого шара S ∋ o, а значит и для
т
n>1
S
o, r −
Q
1
,
n
любого шара S вида SQ(a, r) : a ∈ X, r > o, Q ⊂ D, при #Q < ∞. А так
как мультиметрика D счётна, то B(X) = $(X ) ( cм. Комментарий к 1.9.
Раздела 1.9 стр. 7 ) и значит (ξ ∈ B) ∈ Σ: ∀B ∈ B(X).
Комментарий. Предложение удобно формулировать для сепарабельного
линейного метрического пространства. При этом под линейным метрическим
пространством понимается линейное пространство, снабжённое инвариантной метрикой, относительно которой непрерывны операции сложения (в X)
и умножения на число.
2.7 Распределение случайного элемента
Определение случайного элемента.
B(X) ∋ A 7→ Pξ(A)
называется X – распределением случайного элемента ξ.
Вероятность
= P {ξ ∈ A} = P (ξ−1A)
Определение x а ра ктеристической функции. Характеристической
функцией (или функционалом) сл. элемента ξ (или распределения µ = Pξ)
называется отображение
Z
X∗∋ f 7−→ bµ(f) =
if(x)
e
µ(dx) ∈ C, иначе, bµ(f) = Ee
X
if(ξ)
.
Комментарий. Ясно, что:
1) по распределению µ однозначно определяется характеристическая
функция bµ на X∗;
2.8 Распределение суммы случайных элементов 15
2) по bµ (в случае сепарабельного линейного метрического пространства)
определяются конечномерные распределения (f1(ξ), . . . , fn(ξ)): ∀n > 1.
{ Относительно функционалов f1, f2, . . . ∈ X∗};
3) которые, в свою очередь, определяют вероятностную меру µ на X
[ например, µ(S(o, r)) = lim
P (f1(ξ) 6 r, . . . , fn(ξ) 6 r) : r > o ].
n→∞
Возникает вопрос о характеризации характеристической функции.
В случае X = Rnхарактеристическая функция определяется свойством
положительной определённости.
Кроме того, появляется возможность сводить вопрос относительно сл. элемента к аналогичному вопросу относительно сл. величины [ линейных непрерывных функционалов от случайных элементов ].
2.8 Распределение суммы случайных элементов
Предложение. Пусть ξ и η – независимые случайные элементы на
ЛТП X , тогда
P
(A) =
ξ+η
Z
Pξ(A − y)Pη(dy) =
X
Z
Pη(A − x)Pξ(dx) : A ∈ B(X).
X
Доказательство. Оно использует теорему Фубини:
B = {(x, y) ∈ (X ×X ) : x + y ∈ A};
1) определение P
X×X, X ×X ∋ (x, y)g7−→ x+y ∈ X, имеем P
, согласно которому, полагая Ω ∋ ωf7−→ [ ξ(ω), η(ω) ] ∈
ξ+η
(A) = P f
ξ+η
−1
g−1A=
P f−1B, B = g−1A ∈ B(X) ⊗ B(X ): A ∈ B(x);
2) равенство P (f−1B) = (Pξ⊗ Pη) (B), B ∈ B(X ) ⊗ B(X );
3) где
Z
Pξ⊗ Pη)(B) =
Z
=
1B(x, y)(Pξ⊗ Pη)(d(x, y))
X×X
Pξ(A − y)Pη(dy) =
X
Z
Pη(A − x)Pξ(dx).
X
Комментарий. Операция свёртки любых двух конечных мер µ1и µ
на ЛТП X определяется аналогично, в виде меры µ1∗ µ2:
µ1∗ µ2(A) =
Z
µ1(A − y)µ2(dy) =
X
Z
µ2(A − x)µ1(dx) : A ∈ B(X).
X
2
16 Глава 2 Распределения в сепарабельном ЛМП
2.9 Симметричный случайный элемент
Определение. Случайный элемент ξ на ЛТП X называется симмет-
ричным, если Pξ= P−ξ, т.е. Pξ(A) = Pξ(−A) : A ∈ B(X).
Аналогично, (конечная) мера µ на ЛТП X называется симметричной, если
µ(A) = µ(−A): ∀A ∈ B(X).
Разность ξ − η независимых одинаково распределённых сл. элементoв
ξ и η является симметричным сл. элементом. Это следует из следующего
утверждения:
Лемма. Пусть µ – (конечная) мера на ЛТП X , µ−(A) = µ(−A) : A ∈ B(X),
µ△= µ−∗ µ. Тогда µ△– симметричная мера.
Доказательство. Для A ∈ B(x) (используя формулу замены переменной
интегрирования) имеем:
µ△(A) =
=
Z
µ(A − y)µ−(dy) =
X
Z
µ−(−A − y)µ(dy) = (µ−∗ µ)(−A) = µ△(−A).
X
Z
µ(A + y)µ(dy)
X
2.10 Компактный функционал на ЛТП
Определение. Функционал, определяемый на ЛТП, назовём компактным
или вполне непрерывным (по аналогии с соответствующим понятием для операторов), если он всякое ограниченное множество переводит в ограниченное
(и значит предкомпактное).
При этом подмножество E ЛТП X называется ограниченным
всякой окрестности U нуля существует число λ > o такое, что λU ⊃ E.
Предложение. (См. Комментарий ниже). Линейный функционал f, опре-
делённый на ЛТП X, непрерывен, если и только если он компактен.
Доказательство.
1) Пусть f – непрерывен и E – ограниченное множество.
Для окрестности нуля U = Uε= f−1(−ε, ε) : ε = 1 существует число
λo> o : λoU ⊃ E. Это даёт
x ∈ E ⇁
1
x ∈ U ⇁
λ
o
f
1
x
6 1 ⇁ |f (x)| 6 λo.
λ
o
, если для
2.11 Квазинормированное пространство 17
2) Пусть f – компактный линейный функционал. Покажем, что ∀ε > o,
существует окрестность нуля Uε, что |f(x)| < ε: x ∈ Uε. Предположим,
что существует ограниченная окрестность нуля W. Тогда |f (x)| <
c = const на W и значит |f(x)| < ε на
ε
· W = Uε.
c
Комментарий ! Предположение верно, при условии, что существует ограниченная окрестность нуля.
2.11 Квазинормированное пространство
Определение квазинормы. Квазинормой, определённой на линейном пространстве X, назовём функцию d : X → [ o, ∞ ) такую, что d(−x) = d(x),
d(x + y) 6 d(x) + d(y), d(x) = o ⇋ x = o.
Эти условия определяют инвариантную относительно сдвига метрику
X2∋ (x, y) 7→ d(x, y) = d(x − y) ∈ R
1
.
+
Линейное пространство, снабжённое квазиметрикой, назовём квазинормированным (квазибанаховым в случае полноты, что совпадает с F – пространством).
Задача. Найдём условия, при которых топологическая ограниченность множества ( см. предыдущий Раздел 2.10 ) равносильна ограниченности по квазинорме.
1) Отметим сначала топологически (топология порождается квазинормой d):
ограниченноe множество E ограничено по квазинорме.
Действительно, рассматривая шар Sr= {x ∈ X : d(x) < r}, r = 1, как
окрестность нуля, имеем для некоторого числа λo> o : λoSr⊃ E.
Комментарий. d(nx) 6 nd(x) даeт x ∈ Sr⇁ nx ∈ Snrили nSr⊂ Snr.
[ x ∈ nSr⇁
т. е.
nSr⊂ Snr
x
∈ Sr⇁ d(x) = dn ·
n
x
n
6 nd
x
< nr ⇁ x ∈ Snr],
n
18 Глава 2 Распределения в сепарабельном ЛМП
Утверждение. Предполагая функции [ o, ∞ ) ∋ λ 7→ d(λx) неубыва-
ющими (∀ x) и, полагая n = [ λo] + 1, имеем
x ∈ E ⇁ x = λoy, y ∈ Sr⇁ d(λoy) 6 d(ny) 6 nd(y) < nr,
т. е. d ограничено на E числом nr.
Без предположения имеем λoSr⊃ E, и тем более nSr⊃ E для целого
числа n > λo. Но тогда E ⊂ Snr, т. е. d ограничено на E числом nr.
2) Пусть теперь E ограничено по квазинорме d, т.е. E ⊂ Srдля некоторого
r > o. Выясним, при каких условиях E топологически ограничено.
Пусть U – произвольная окрестность нуля. Существует шар Sε(ε > o)
такой, что Sε⊂ U . Существует ли число λ > o такое, что λSε⊃ Sr?
Искомые условия: для любых двух шаров Sεи Sr, Sε⊂ Sr, существует
число λ > o такое, что
λSε⊃ Sr⊃ S
ε
[ можно считать r = mε, r 6 mε. ] Последнее требование означает:
∀r > ε > o ∃n > o : d
x
< ε при d(x) < r (∗)
n
Итак:
топологически ограниченное множество ограничено по квазинорме;
всякое ограниченное по квазинорме множество является топологически
ограниченным тогда и только тогда, когда выполнено вышеу казанное требование (∗).
2.12 (Сильно) сопряжённое пространство
Обозначения. Пусть (X, d) – квазинормированное пространство. Сово-
купность всех линейных функционалов f : X → R1, удовлетворяющих
условию: |f (x)| 6 Cfd(x) : ∀ x ∈ X, обозначим через X#= X
1
Определим функцию d#: X#→ R
d#(f) = inf
{|f(x)| 6 C ·d(x) : ∀ x } = su p
C>o
, полагая
+
x6=o
|f(x)|
d(x)
Функция d#удовлетворяет всем условиям нормы.
#
.
d
.
2.12 (Сильно) сопряжённое пространство 19
Определения. Множество X#, снабжённое нормой d#, называется
(сильно) сопряжённым (к (X, d)) пространством. Чаще используется обо-
значение: d#(f) =k f k.
Пространство X∗линейных непрерывных функционалов, определённых
на X, снабжённое топологией слабой сходимости [ fn→ f ⇌ fn(x) →
f(x) : ∀x ] называется ( слабо ) сопряженным пространством.
Отметим, что для X#и X∗, как для множеств, верно: X#⊂ X∗.
Аналогично определяется (сильно) сопряжённое пространство (X#, D#)
к МНП (X, D), как совокупность линейных функционалов f : X → R
таких, что
d#(f) = sup
{x: d(x)6=o}
|f(x)|
< ∞ : ∀d ∈ D.
d(x)
Здесь D#= {d#: d ∈ D} – совокупность полунорм на X#[ даже если
d – квазиполунормы: d(−x) = d(x); d(x + y) 6 d(x) + d(y); d(o) = o ],
разделяющих элементы из X#: если d#(f) = o для любой d#, т. e.
f(x) = o для d ∈ D, если d(x) 6= o =⇒ [ o 6= x ∈ X ⇁ существует d ∈ D
такое, что d(x) > o, и значит f(x) = o ] =⇒ f (x) = o : ∀x.
Комментарий 1. Если ∀d ∈ D требовать d#(f) 6 Cf< ∞ вместо
d#(f) < ∞, то семейство X⋆таких линейных функционалов естественно
называть равномерно сопряжённым пространством: X⋆⊂ X#⊂ X∗.
Функция d⋆: X⋆→ R
1
, определяемая равенством
+
d⋆(f) = sup
d∈D
sup
{x:d(x)>o}
|f(x)|
d(x)
,
удовлетворяет всем свойствам нормы. Таким образом, (X⋆, d⋆) – нормированное пространство (даже если d – квазинормы).
1
Комментарий 2. Квазинормированное пространство не обязательно локально выпукло ( т.к. шары, составляющие базис топологии, не обязаны быть
выпуклыми [ для невыпуклых квазинорм ] ).
Предложение. (Сильно) сопряжённое пространство
X#, D
#
, по
отношению к линейному пространству X с разделяющим семейством
D квазиполунорм, является полным мультинормированным с мультинор-
мой D#, a (X⋆, d⋆) — полным норм ированным пространством.
Доказательство. Оно такое же, как доказательство соответствующего результата для сопряжённого нормированного пространства.
20 Глава 2 Распределения в сепарабельном ЛМП
( Cм. Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. [11, том 2, стр.58; 1988]; Колмогоров
А.Н., Фомин С.В. [17, том 1, стр. 183; 1976] ).
2.13 Обозначения и используемые пространства
f(X, d) – Линейное пространство, снабженное квазинормой (инвари-
антной метрикой). В случае полноты пространство называют
пространством Фреше (F – пространством).
cf(X, d) дополнительно предполагается
sf(X, d) — полнота
scf(X, d) и/или сепарабельность
f(X, D) – Линейное пространство, снабженное (разделяющим семей-
ством) мультиквазинормой (семейством полуквазинорм)
cf(X, D) дополнительно предполагается
sf(X, D) — полнота
scf(X, D) и/или сепарабельность
То же – Вместо (мульти)квазинормы используется (мульти)норма
[ ЛВП = МНП ]
Буквы являются следующими сокращениями:
f – F rechet; c – complet; s – separate; cf можно заменить на F ; d – квазинорма; D – мультиквазинорма (разделяющее семейство полуквазинорм).
Комментарий. С другой стороны, важное для создания теории распределений в ЛТП равенство ( cм. Раздел 1.8, Лемма, стр. 6 ):
[
∀r > o ∀x : SQ(o, r) =
справедливо для МНП (X, D) сепарабельных.
Также, если ограничиться счетно – нормированными пространствами и использовать указанное равенство, можно ограничиться пространствами:
сепарабельное пространство Фреше;
полное сепарабельное счетно – нормированное пространство
[ или счетно – банахово пространство, или σ – банахово пространство ];
полное сепарабельное МНП [ или мультибанахово пространство ].
{ fn(x) 6 r } при k fn(x) k 6 Q(x)
n>1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]