Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метризация топологических пространств
.pdf
Приложение A 151
hB> o и B = {z : hB(z) > o}. Если теперь G ∈ τo, то G = g−1B для некоторого открытого множества B на прямой и непрерывной функции g : X → R1.
Полагая f = hB◦ g имеем
G = {x : g(x) ∈ B} = {x : hB(g(x)) > o} = {x : f (x) > o}.
При этом можно считать f > o, иначе вместо f возьмем f+= max(o, f ).
15.4.2 Множества A1и A2слабо функционально отделимы, если и толь-
ко если они отделимы непересекающимися окрестностями G1и G2из τo[ т. е.
A1⊂ G1, A2⊂ G2, G1∩ G2= ∅ ].
Действительно, следует лишь показать, что если A1и A2отделимы непересекающимися окрестностями G1и G2из τo, то A1и A2слабо функционально отделимы. Пусть G1= {x : f1(x) > o}, G2= {x : f2(x) > o}, где f
и f2непрерывные неотрицательные функции. Положим f = f1− f2. Тогда
G1= {x : f (x) > o}, G2= {x : f (x) > o}.
15.4.3 Семейство τoмультипликативно, т. е. если G1∈ τoи G2∈ τo, то
G1∩ G2∈ τo[ если G1= {x : f1(x) > o}, G2= {x : f2(x) > o}, то
G1∩G2= {x : f (x) > o}, где f(x) = f1(x)·f2(x) и, как выше, f1> o, f2> o ].
1
A.16 Вполне регулярное пространство
T1– пространство (X, τ) назовем вполне регулярным или тихоновским, если
для любого замкнутого множества F и любой точки a∈F существует непрерывная действительная функция f на X такая, что
Xf−→ [0, 1] : f = λx
Через C(X, τ) или C(X) обозначим класс непрерывных действительных
ограниченных функций на (X, τ ). Требование ограниченности функций не
уменьшает общность приводимых ниже рассуждений [ так как функция –
константа принадлежит классу C(X), а операции min и m a x над двумя функциями не выводят из этого класса ]. Более того, приводимые утверждения
сохраняются, если C(X ) заменить на класс Co(X) тех функций из C(X),
которые принимают значения из отрезка [0, 1].
0, x ∈ F;
∈ F .
1, x
152 Приложение A
16.1 Теорема. Для топологического пространства (X, τ ) следующие утвер-
ждения равносильны.
1oПространство (X, τ ) полуметризуемо [ т. е. существует полуметрическое
пространство (X, D) такое, что τ = τD, где – τDтопология на X, порождаемая разделяющим семейством D полуметрик на X ].
2oПространство (X, τ ) вполне регулярно.
3oСуществует такое семейство F ⊂ C (X, τ ), что
3o1 F разделяет точки пространства X [ т.е. для любых различных
точек a и b из X существует f ∈ F такое, что f(a) 6= f (b) ];
τ = τF, где τF– слабейшая [ минимальная ] из топологий, при
3o2
которых непрерывны все функции из F.
Доказательство.
1o=⇒ 2oПокажем, что полуметрическое пространство (X, D) вполне регу-
лярно. Топология τ = τDтакого пространства определяется предбазой,
состоящей из элементарных шаров Sd(a, r) = {x : d(a, x) < r} : d ∈
D, a ∈ X, r > o. Пространство (X, τ) является хаусдорфовым [ и, в част-
ности, T1– пространством ]. Действительно, если a и b – различные точки из X, то ∃d ∈ D такое, что d(a, b) = ε > o. Но тогда элементарные
шары Sd(a,
ε
) и Sd(b,
2
ε
) являются непересекающимися окрестностями
2
точек a и b.
Пусть F – замкнутое множество и точка a
ность точки a. Поэтому существует шар S = S
∈F. Тогда Fcесть окрест-
(a, r1) ∩ . . . ∩ S
d
1
(a, rn)
d
n
c центром в точке a, содержащийся в Fc; r = min(r1, . . . , rn) > o. Мож-
но считать r1= . . . = rn= r > o, а полагая ρ(x, y) = max
(16k6n)
dk(x, y),
представить S в виде S = {x : ρ(a, x) < r}.
i
Остается положить f(x) =h1 −
ρ(a,x)
+
r
. Тогда 0 6 V f 6 1, f(a) =
1, f = 0 вне S [ и, в частности, f = 0 на F ]; кроме того, функция f
непрерывна [ так как ρ есть полуметрика на X, непрерывная по каждому аргументу ].
2o=⇒ 3o1 Пусть F = C(X). F разделяет точки из X. Действительно, если
a 6= b, то для замкнутого множества F = {b} и точки a∈F выберем
f ∈ C(X) так, чтобы f (a) = 1, f = 0 на F, т.е. f (b) = 0. Это дает
f(a) 6= f (b).
Приложение A 153
2o=⇒ 3o2 Пусть F = C(X ). τ = τF. Действительно, всякая функция f ∈ F
является τF– непрерывной, поэтому τFсодержит класс τoмножеств
вида f−1U = {x : f(x) ∈ U}, где U – открытое множество на прямой.
Так как τo⊂ τ и τo– предбаза топологии τF, то τF⊂ τ.
Остается убедиться в том, что τ ⊂ τF. Достаточно проверить, если
a ∈ G ∈ τ, то существует открытое множество Ga∈ τF: a ∈ Ga⊂ G.
Это же следует из того, что F = Gc– замкнутое множество, a∈F и
поэтому ∃f ∈ C (X) такая, что f (a) = 1, f = 0 на F.
Это дает a ∈ Ga= {x : f (x) > o} ⊂ F
c
∈ τo⊂ τF.
a
3o=⇒ 1oДля f ∈ F определим полуметрику df, полагая df(x, y) = |f(x) −
f(y)|. Семейство полуметрик D = {df: f ∈ F} – разделяющее: если
df(a, b) = 0, то a = b [ так как F разделяет точки из X ].
Для полуметрического пространства (X, D) через τDобозначим топологию на X, порожденную семейством D. Покажем, что τ = τD.
Предбазой топологии τDслужит совокупность элементарных шаров
Sf(a, r) = {x : df(a, x) < r} = {x : |f (x) − f (a)| < r}.
Т. к. f – непрерывная функция, то Sf(a, r) – открытое множество и значит τDсостоит из открытых множеств, т.е. τD⊂ τ. Кроме того, τF⊂ τD,
т. к. функции из F являются τD– непрерывными [ |f (x) −f (a)| < ε при
x ∈ Sf(a, ε) ] и τF– минимальная из топологий, при которой все функ-
ции из F непрерывны.
16.2 Замечание. В случае вполне регулярного пространства (X, τ ) семей-
ство C(X) разделяет любые две различные точки. Более того, это семейство
разделяет n > 2 [ попарно ] различных точек a1, . . . , an. Действительно, для
точки a1и замкнутого множества F = {a2, . . . , an} = {a2}∪. . .∪{an} выберем
f1∈ C(X) так, чтобы f1(a1) = 1 и f = 0 на F, т. е. f1(aj) = 0 : ∀j 6= 1.
Аналогично для любого целого числа i = 1, . . . , n выберем fi∈ C(X) так,
чтобы fi(ai) = 1 и fi(aj) = 0 : ∀ j 6= i, т. е. fi(aj) = δij. Тогда функция
n
P
f =
kfkразделяет точки a1, . . . , an, так как f(ak) = k.
k=1
Аналогично проверяется, что семейство C (X) разделяет любые n (попарно) различные точки a1, . . . , anи замкнутое множество F, не содержащее эти
точки. [ Т. е. ∃f ∈ C(X) такая, что f(ak) = k для k = 1, . . . , n и f = 0 на F ].
154 Приложение A
16.3 Замечание. Каждому топологическому пространству (X, τ ) сопоста-
вим топологическое пространство (X, τc), где топология τcна X определяется
базой τoсоставленной из прообразов открытых множеств на прямой относительно функций из C(X ). [ Семейство τoдействительно является базой, так
как составлено из множеств U вида U = {x : f(x) > o}, где o 6 f ∈ C(X),
см. 15.4 ]. Ясно, что τc⊂ τ [ так как элементы указанной базы ∈ τ ]. Ока-
зывается, что T1– пространство (X, τ ) вполне регулярно, если и только если
τc= τ.
Действительно, пусть τc= τ, F – замкнутое множество и точка a
∈F. Так
как Fc= X r F ∈ τcи a ∈ Fc, то ∃g ∈ C(X) и открытое множество U на
прямой такие, что a ∈ g−1(U) ⊂ Fc. В частности, g(a) ∈ U и существует
ε > o такое, что (g(a) – ε, g(a) + ε) ⊂ U и значит {x : |g(x) – g(a)| < ε} ⊂ Fc.
Остается положить f(x) = ε−1[ ε – |g(x) – g(a)| ]+.
Это дает f(a) = 1, f = o на F, 0 6 V f 6 1.
Пусть теперь пространство (X, τ) вполне регулярно. Покажем, что τc= τ.
Если G ∈ τ и a ∈ G, то существует функция fa∈ C(X, τ) такая, что fa(x) = 1
при x = a, fa= 0 на F = Gc, 0 6 V fa6 1.
1
Тогда Ga= {x : |fa(x) − fa(a)| <
дает G =
S
Ga∈ τc. Таким образом τ ⊂ τcи значит τ = τc.
a∈G
} ⊂ {x : fa(x) > o} ⊂ G и Ga∈ τc. Это
2
Отметим, наконец, что в общем случае τo⊂ τc⊂ τ. При этом для T1–
пространства условие τc= τ характеризует полную регулярность простран-
ства; условие же τo= τ характеризует его совершенную нормальность, см.
ниже 18.
16.4 Замечание. Как уже отмечалось в случае вполне регулярного пространства в качестве F можно взять F = C(X, τ ).
Укажем еще примеры F. Для каждого открытого множества G и точки
a ∈ G существует непрерывная действительная функция f на X такая, что
o 6 V f 6 1, f(a) = 1, f = 0 вне G [ так как F = Gc– замкну тое множество
∈F ]. Одну из таких функций обозначим f
и a
a,G
.
Если теперь A – всюду плотное множество [ т. е. A = X ] и τo– некоторая
база топологии τ, то
F = {f
: a ∈ A, G ∈ τo}.
a,G
При этом пространство (X, τ ) полуметризуемо семейством D полуметрик
df(x, y) = |f(x) − f (y)| : f ∈ F.
16.5 Замечание. Семейство F непрерывных функций X → [0 , 1] назовем
расчленяющим [ топологическое пространство (X, τ ) ] или полной системой
Приложение A 155
функций Урысона, если для всякой точки a ∈ X и замкнутого множества
F ∋a существует f ∈ F такая, что f(a) = 1 и f = 0 на F.
К эквивалентным утверждениям 1o–3oТеоремы 16.1 можно добавить
4o(X, τ ) есть T1– пространство и существует полная система функций
Урысона [ Действительно, импликации 4o⇐⇒ 2oочевидны ].
16.6 Предложение. Пусть γ – бесконечная база тихоновского простран-
ства (X, τ). Тогда существует полная система F функций Урысона такая,
что card F = card γ [ т. е. F и γ равномощны. По определению card E есть
мощность (кардинал) множества E ].
Доказательство. Пару (V, W ) элементов базы γ назовем правильной, ес-
ли
V ⊂ W и замкнутые множества V и Wcфункционально отделимы, т. е.
существует непрерывная функция
f
(V,W )
X
−−−→ [0, 1] : f
(V,W )
=
0, на V ;
1, на Wc.
Пусть J – множество правильных пар и F = {fα: α ∈ J}. Тогда
card F = card J 6 card (γ ×γ) = (card γ)2= card γ.
[ Так как множество γ трансфинитно; αβ = max(α, β), если одно из чисел
α или β трансфинитно ].
Остается показать, что F расчленяет X. Докажем сначала, что ∀ W ∈ γ
и a ∈ W ∃(V, W ) ∈ J такие, что a ∈ V.
Действительно, для a и F = Wcвыберем непрерывную функцию f :
X → [−1, 1] так, чтобы f(a) = – 1, f = 1 на F. Для открытого множества
G = {x : f (x) < o} выберем V ∈ γ так, чтобы a ∈ V ⊂ G. Тогда a ∈ V и
V ⊂ G = {x : f (x) 6 o}. Остается положить f
= max(0, f ).
(V,W )
Если теперь F – замкнутое множество и a∈F, то выберем W ∈ γ так, чтобы a ∈ W ⊂ Fc. Далее для a и W выберем правильную пару (V, W ) так, что-
бы a ∈ V. Тогда функция f
∈ F разделяет a и F.
(V,W )
16.7 Замечание. Некоторое семейство F непрерывных функций X →
[0, 1] назовем регулярным, если ∀ a ∈ X и замкнутого множества F ∋ a
существует функция ϕ : X → [0, 1]nвида ϕ = (f1, . . . , fn), где fk∈ F ,
разделяющая a и F [ т. е., согласно замечанию 15.2, ϕ(a) /∈
ϕ(F ) ].
К эквиваленным утверждениям 1o– 4oможно добавить
156 Приложение A
5o(X, τ ) есть T1– пространство и существует регулярное семейство
функций. [ Действительно, 2o=⇒ 5o, так как в качестве F можно
взять C(X). Импликация же 5o=⇒ 2oследует из 15.2.2 ].
16.7.1 Пример. Если X = R1, то семейство F, состоящее из одной
функции
x 7→ φ(x) =
√
1
2π
Z
x
2
u
−
2
e
du,
−
∞
является регулярным [ φ – гомоморфизм R1на (0, 1) ].
16.7.2 Пример. При X = R1регулярным будет и семейство F из двух
функций: f1(x) = sin 2πφ(x), f2(x) = cos 2πφ(x).
[ x 7→ (f1(x), f2(x)) – есть гомеоморфизм между R1и окружностью с выколотой точкой ]. В данном случае существует замкнутое множество F и
точка a
∈F, которые не разделяются ни f1, ни f2в отдельности. Но функ-
ция x 7→ ϕ(x) = {f1(x), f2(x)} разделяет произвольное замкнутое множество
F ⊂ R1и точку a∈F.
A.17 Характеризация
нормального пространства
Для T1– пространства следующие условия эквивалентны:
17.1 Любые непересекающиеся замкнутые множества F1и F2отделимы
непересекающимися открытыми множествами G1⊃ F1и G2⊃ F2[ т. е. исходное пространство является нормальным ].
17.2 Для любых непересекающихся замкнутых множеств F1и F2существу-
ет непрерывная действительная функция f [ функция Урысона ]
0 6 V f 6 1 : f =
17.3 Любая непрерывная действительная функция, заданная на любом замкнутом множестве, допускает непрерывное продолжение на все пространство с сохранением верхней и нижней граней.
0, на F1;
1, на F2.
Приложение A 157
17.1 =⇒ 17.2 (для T1– пространства) Представляет собой Лемму Урысона
( см. Александров П.С. [1, стр. 172; 1977] или Понтрягин Л.С. [21, стр.
77; 1976] ).
17.2 =⇒ 17.3 Теорема Титце – Урысона.
17.3 =⇒ 17.1 Получается просто. Действительно, пусть F1и F2– непересекающиеся замкнутые множества; определим функцию F = F1+ F
ϕ
−→
2
[0, 1], полагая ϕ = 0 на F1и ϕ = 1 на F2. Так как ϕ – непрерывная
функция на F, то в силу 17.3 она допускает непрерывное продолжение f такое, что 0 6 V f 6 1, f = ϕ на F. Осталось положить
G1=x : f(x) <
1
, G2=x : f(x) ≥
2
1
.
2
Замечание. Условие 17.1 влечет условие:
17.4 ∀n > 2 (попарно) непересекающихся замкнутых множеств F1, . . . , F
существуют (попарно) непересекающиеся открытые множества
G1, . . . , Gnтакие, что G1⊃ F1, . . . , Gn⊃ Fn.
Замечание. Условие 17.2 влечет условие:
17.5 ∀n (попарно) непересекающихся замкнутых множеств F1, . . . , Fnсу-
ществует непрерывная действительная функция f такая, что f = k на Fk,
1, n [ Действительно, для двух непересекающихся замкнутых множеств
k =
S
Fiи
ную функцию fiтакую, чтобы 0 6 V fi6 1, fi= 1 на Fiи fi= 0 на
Тогда функция
Fj: i ∈ {1, . . . , n} выберем согласно 17.2 непрерывную действитель-
j6=i
n
P
kfkявляется искомой ].
k=1
S
Fj.
j6=i
n
A.18 Совершенно нормальные пространства
Для T1– пространства следующие условия равносильны.
18.1 Для любых непересекающихся замкнутых множеств F1и F2суще-
ствует непрерывная действительная функция
f =
0, на F1;
1, на F2;
∈ (0, 1), на F
S
F2.
1
158 Приложение A
18.2 Для любого замкнутого множества F и точки a∈F существует непре-
рывная действительная функция
f = λx
x = a, 1;
x ∈ F ⇐ 0.
18.3 Для любого открытого множества G существует непрерывная дей-
ствительная функция f такая, что G = {x : f (x) > o}.
18.4 Пространство является нормальным и любое открытое множество является множеством типа Fσ[ т. е. представляется в виде объединения счетного числа замкнутых множеств ].
Определение. T1– пространство, удовлетворяющее любому из условий
18.1 – 18.4, называют совершенно нормальным.
Доказательство.
18.1 =⇒ 18.2 Так как в T1– пространстве всякое одноточечное множество
замкнуто, то в 18.1 можно выбрать F1= F, F2= {a}.
18.2 =⇒ 18.3 Если G = X, то можно считать f = 1. Если G 6= X, то пусть
α ∈ G, F = Gc. Функцию f выберем согласно 18.2. Тогда x
∈F ⇐⇒
f(x) > o, т. е. G = {x : f (x) > o}.
18.3 =⇒ 18.1 Пусть F1и F2– непересекающиеся замкнутые множества. Со-
гласно 18.3 для открытого множества F
ствительную функцию fiтак, чтобы F
c
выберем непрерывную дей-
i
c
= {x : fi(x) > o}. Можно счи-
i
тать fi(x) > o : ∀x [ иначе вместо fiвозьмем max(0, fi) ]. Можно
считать fi(x) 6 1 : ∀x [ иначе вместо fiвозьмем min(1, fi) ].
f
Итак, fi(x) = o при x ∈ Fiи o < fi(x) < 1 при x
∈Fi. Положим f =
f1+f
1
2
0, на F1;
f =
8.3 =⇒ 18.4 Так как 18.3 =⇒ 18.1, то исходное пространство нормально.
1
Но любое открытое множество G является множеством типа Fσ. Действительно, согласно 18.3 G = {x : f (x) > o} =
1, на F2;
∈ (0, 1), на F
S
F2.
1
S
n>1
x : f(x) >
1
.
n
,
Приложение A 159
18.4 =⇒ 18.3 Пусть открытое множество G =
Fn: Fn– замкнутые
n>1
множества. Т. к. исходное пространство нормально, то для непересекающихся замкнутых множеств F = Gcи Fnвыберем функцию Урысона
S
0 6 V fn6 1 : fn=
0, на F ;
1, на Fn.
P
Положим f =
2−nfn. Функция f является непрерывной, f (x) > o на
n>1
G и f = 0 на F, т. е. при x∈G. Следовательно, G = {x : f (x) > o}.
A.19 Метризация топологических пространств
Топологическое пространство (X, τ) метризуемо, если существует метрика ρ
на X такая, что τ = τρ, где τρ– топология на X, cоставленная из открытых
множеств метрического пространства (X, ρ).
19.1 Теорема. Регулярное пространство со счетной базой метризуемо.
Этот результат следует из метризационной теоремы Урысона (нормальное
пространство со счетной базой метризуемо) и теоремы Тихонова (регулярное
пространство со счетной базой нормально).
19.2 Замечание.
Совсем просто доказать, что вполне регулярное пространство со счетной базой метризуемо, если воспользоваться тем, что вполне регулярное пространство полуметризуемо ( см. Теорему 16.1 ). Действительно,
если полуметрическое пространство {X, D} имеет счетную базу, то оно имеет
счетную базу, составленную из шаров. Поэтому существует счетное семейство
Do= {d1, d2, . . . } ⊂ D полуметрик на X, порождающее ту же топологию на
X, что и D. Или, что то же самое,:
d(xn, x) → o : ∀d ∈ Do⇐⇒ d(xn, x) → o : ∀d ∈ D.
Остается положить
ρ(x, y) =
X
k>1
dk(x, y)
−k
2
1 + dk(x, y)
.
A.20 Отображения топологических пространств
20.1 Биекция одного топологического пространства в другое, при которой
открытые множества одного пространства переходят в открытые множества
160 Приложение A
другого, называется топологическим или гомеоморфным отображением. Два
топологических пространства считаются (топологически) эквивалентными
или гомеоморфными, если существует топологическое отображение одного
пространства в другое. Топология, как математическая дисциплина, изучает лишь топологические свойства топологических пространств, т. е. свойства,
сохраняющиеся при топологических отображениях. В частности, с точки зрения топологии гомеоморфные пространства считаются неразличимыми.
20.2 Отображение Xf−→ Y одного топологического пространства X в дру-
гое Y называется непрерывным в точке a, если для любой окрестности B
точки b = f(a) су щ ествует окрестность A точки a, такая что x ∈ A влечет
f(x) ∈ B. Отображение, непрерывное в каждой точке X, называется просто
непрерывным.
Отображение непрерывно, если и только если прообраз всякого открытого
множества является открытым множеством. При этом открытые множества
можно заменить на замкнутые.
Отображение Xf−→ Y является топологическим, если и только если оно
биективно и взаимно непрерывно (т. е. непрерывны f и f−1).
20.3 Отображение называется открытым, если оно открытые множества
переводит в открытые. Аналогично определяется замкнутое отображение.
f
формулы f
помощью следующего утверждения:
S
A
α
α
S
=
f(Aα) : Aα⊂ X, а замкнутость проверяется с
α
20.3.1 Непрерывная сюрьекция Xf−→ Y замкнута, если и только ес-
ли для любого множества B ⊂ Y и любой окрестности U множества f−1B
существует окрестность V множества B такая, что f−1V ⊂ U.
[ Действительно, искомая окрестность V = Y – f F, где F = X r U ]. С
другой стороны, если отображение f не является замкнутым, то для некоторого замкнутого множества F ⊂ X существует точка y ∈
fF r fF. Тогда
для окрестности U = X r F множества f−1(y) выберем окрестность V точки
y так, чтобы f−1V ⊂ U. Это дает V ∩ fF = ∅ и значит y /∈ fF .
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]