Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метризация топологических пространств
.pdf
Приложение B 191
Теорема. Каждое квазинормированное пространство (E, p) имеет попол-
нение и это пополнение единственно с точностью до изоморфизма квазинормированных пространств, переводящего точки из E в себя.
Доказательство. Проводится в духе канторовского построения действительной прямой. При этом используется лишь то, что W есть r – пространство.
Пусть (E, p) – пополнение квазинормированного пространства (E, p). Обо-
значим черезeE+множество элементов изeE, являющихся p – пределами воз-
растающих последовательностей элементов из E. ТогдаeE ={eyn−ezn}|{eyn},
{ezn)} ∈eE
+
. При этом если E ∋ xn↑, x
p
−→ ex ( и тем самым ex ∈eE+), то
n
ex = sup
xn, где sup берется вeE.
n>1
Лемма 1. ( На основе идеи доказательства теоремы Беппо Леви ).
Пусть (eE, p) – пополнение квазинормированного пространства (E, p),eE ∋
exn↑ . Тогда существуютeE+∋ eyn↑ иeE+∋ ezn↑: exn= eyn− eznи ez
p
−→ ez ∈eE+.
n
Лемма 2. (О монотонной аппроксимации; иногда также полезная). Пусть
выполнены условия предыдущей Леммы 1. Тогда существуют xkm∈ E, m > k
такие, что:
xkm↑: m ↑ ∞ и sup
p(exm– xkm) → o : k ↑ ∞.
m>k
Определение 5. Квазинормированное пространство (E, p) называется вполне
квазинормированным, если в нем выполняется следующая аксиома:
(p4′) 0 6 xn↓ ⇁ последовательность {xn} p – фундаментальна.
Теорема. Пополнение (eE, p) вполне квазинормированного пространства
(E, p) является вполне квазинормированным пространством. При этом:
o
e
1
E есть R – пространство;
2op – сходимость вeE шире естественной (т. е. порядковой) сходимости вeE;
3oвыполняется Лемма Фату, т. е. 0 6 exn∈eE ⇁ p(lim
exn) 6 lim p(exn).
Приложение C
Нечеткие множества
C.1 Вводные замечания
Нечеткое (или размытое, расплывчатое, туманное, пушистое) множество –
понятие, введенное Лотфи Заде в 1965 году ( cм. [9, 1965]).
Л. Заде расширил классическое канторовское понятие множества, допустив, что характеристическая функция (функция принадлежности элемента
множеству) может принимать любые значения в интервале [0, 1], а не только
значения 0 или 1.
Определение. Под нечетким множеством A понимается совокупность
A = {(x, µA(x)) | x ∈ X},
где X – универсальное множество, а µA(x) – функция принадлежности (характеристическая функция), определяющая степень принадлежности эле-
мента x нечеткому множеству A.
Функция µA(x) принимает значения в некотором вполне упорядоченном
множестве M. Множество M называют множеством принадлежности, ча-
сто в качестве M выбирается отрезок [0, 1].
Если M = {0, 1}, то нечеткое множество может рассматриваться как
обычное, четкое множество.
C.2 Связь с теорией вероятностей
Теория нечетких множеств в определенном смысле сводится к теории случайных множеств и, тем самым , к теории вероятностей
192
.
Приложение C 193
Последовательность теорем, описывающих это понятие, можно н айти в
монографиях ( см. Заде Лотфи [9, 1965]; Конышева Л., Назаров Д. [18, 2011]
и Зак Ю. [10, 2013] ). Основная идея состоит в том, что значение функции
принадлежности µA(x) можно рассматривать как вероятность накрытия элемента x некоторым случайным м ножеством B.
Однако при практическом применении аппарат теории нечетких множеств обычно используется самостоятельно, выступая конкурентом к аппарату теории вероятностей
и прикладной статистики.
Категория нечеткости и связанные с ней модели и методы очень важны с
мировоззренческой точки зрения, поскольку с их появлением стало возможно
подвергать количественному анализу те явления, которые раньше либо могли
быть учтены только на качественном уровне, либо требовали использования
весьма грубых моделей.
C.3 Нечеткие множества, нечеткая логика
.o. Indicator Function (i.f.) – (стандартный) индикатор множества.
Пусть X – (базовое) множество; IA– (стандартный) индикатор (под)множества A ⊂ X, т. е. функция
IA(x) =
0, x /∈ A;
1, x ∈ A.
I
A
Отметим, что если известен индикатор X
−→ {0, 1} некоторого (под)мно-
жества A ⊂ X, то (под)множество востанавливается однозначно: A =
{x ∈ X : I(x) = 1}.
Отметим еще, если A ⊂ X и B ⊂ X, то:
A = B ⇐⇒ IA= IB, A ⊂ B ⇐⇒ IA(x) 6 IB(x), A ⊃ B ⇐⇒ IA(x) > IB(x),
I
(x) = min{IA(x), IB(x)}, I
A∩B
(x) = max{IA(x), IB(x)}, I
A∪B
c
(x) = 1 – IA(x),
A
где Ac= X – A (c от complement, дополнение).
Это позволяет ввести операции I1∩ I2, I1∪ I2, Icдля индикаторов I1, I2, I :
(I1∩I2)(x) = min{I1(x), I2(x)}, (I1∪I2)(x) = max{I1(x), I2(x)}, Ic(x) = 1 – I(x).
.1. Fuzzy Indicator (f.i.) – нечеткий индикатор множества. Пусть
опять X – (базовое) множество и рассмотрим функцию XF−→ Y ⊂ [0,1] .
194 Приложение C
Например,
0, на A1с признаком «нет»;
0.25, . . . A2. . . «тепло»;
Xg−→ [0, 0.25, 0.5, 0.75, 1] : g = λx
Функция g не дает «четкого» решения (0 – нет решения, или 1 – решение) и
называется «нечетким» индикатором f.i. g.
Для (нечетких) индикаторов F1, F2, F введем (как и для стандартных ин-
дикаторов) операции F1∩ F2, F1∪ F2, Fc:
(F1∩ F2)(x) = min{F1(x), F2(x)}, ( F1∪ F2)(x) = max{F1(x), F2(x)},
Fc(x) = 1 – F (x).
Замечание. Обычно в теории нечетких множеств, нечеткой логики рассматриваются нечеткие множества (f.s.) S для каждого нечеткого индикатора (f.i.) F, полагая
0.5, . . . A3. . . «не знаю»;
0.75, . . . A4. . . «жарко»;
1, . . . A5. . . «да».
S = {(x, F (x)) : x ∈ X} ⊂ {X ×Y }, Y ⊂ [ 0, 1 ].
В действительности f.s. S есть график функции f.i. F и является подмножеством множества {X ×Y }.
Если f.s. S1, S2соответствуют f.i. F1и F2, то S1∩ S2и S1∪ S2соответствуют
f.i. F1∩ F2и F1∪ F2, а f.s. Sc(по определению) соответствует f.i. Fc.
Ясно, что операции с нечеткими и обычными множествами не совпадают.
Поэтому в теории нечетких множеств используют f.i., игнорируя f.s.
C.4 Пример: нечеткое суммирование
(нечеткий интеграл)
Эти понятия используются для подсчета с некоторым уровнем надежности
суммарных расходов или прибыли, связанные с некоторым (глобальным)
проектом.
Например, на «далеком севере» на площади X исследуются запасы «нефти», расходы на ее добычу и прибыль после «транспортировки». Для этого
посылаются «экспедиции». Первая «экспедиция» проводит (проводила) исследования на площади X1⊂ X, вторая – на площади X2⊂ X; площади
Приложение C 195
X1и X2могут пересекаться и в точках исследования «экспедиции» получа-
ют значения f.i. (F1для X1) и (F2для X2) с ответами «нет», «тепло», «не
знаю», «жарко», «есть». Степень доверия результатам разная для разных
«экспедиций». По результатам работы всех «экспедиций» выносится оценка
вида:
X
f(x) · R(x) · P (x) =
x∈X
Z
f(x) · R(x) · P (dx)
x∈X
«будущей прибыли» с некоторым уровнем надежности XR−→ [0, 1], которая
подсчитывается по f.i. всех «экспедиций».
Для подсчета этой суммы (интеграла) требуются некоторые знания теории вероятностей и некоторые специальные знания (концепции инвариантности решений) из м атематической статистики.
Приложение D
Пересечение случайных
последовательностей
( См. Климов Г.П., Матвеев В.Ф. [14, 1986] ).
Пусть u = (un)Nи uo= (u
o
)N– две последовательности случайных эле-
n
ментов измеримого пространства [U, A(U)]. Будем рассматривать u и uoкак
случайные элементы измеримого пространства траекторий. Запись ξD= η
означает, что случайные элементы ξ и η одинаково распределены. Вероятностные пространства предполагаются полными.
Определение 1. Пересечение случайных последовательностей u и uoесть
пара случайных элементов (bu, bm) и (buo, bmo) таких, что
1) uD= bu, u
o
= buo; 2) (bubm, bm)D= (bu
o
o
bm
, bmo) .
D
Случайные величины m и moназовем моментами пересечения.
Отметим, что bmD= bmo. При этом пересечение назовем марковским, если
bm и bmo– марковские моменты для (bun)Nи (bu
o
)N, соответственно.
n
Пересечение назовем реализуемым, если bm ∈ N с вероятностью 1. Если
2) заменить на
D
´
2) bu
o
= bu
,
bm
o
bm
то будем говорить о слабом пересечении. При этом слабое пересечение назовем реализуемым, если bm ∈ N с вероятностью 1 и bmo∈ N с вероятностью 1.
Замечание. Каждый из случайных элементов u, uo, (bu, bm), (buo, bmo) может
быть задан на своем вероятностном пространстве, отличающемся в обозначениях соответствующей индексацией.
196
Приложение D 197
Определение 2. Последовательность u = (un)Nслучайных элементов из-
меримого пространства [U, A(U )] управляется последовательностью v = ( vn)
случайных элементов измеримого пространства [V, A(V )] , если для любого
Q
A
A ∈ A(U) существует измеримое отображение V
P (un∈ A|F
∗
) = QA(vn) : P – п.н., F
n
∗
=
n
−−→ [0, 1] такое, что
X
{vo, v1, . . . , vn}, n ∈ N+, (1)
где п.н. — почти наверное.
Если же (1) заменить на
N
P (un∈ A|Fn) = QA(vn) : P – п.н., Fn⊃ F
∗
, F = (Fn)N, (2)
n
где F — поток σ – алгебр событий, то будем говорить, что последовательность
u управляется последовательностью v относительно F.
Определение 3. Две последовательности u и uo, соответственно управляе-
мые последовательностями v и vo, назовем эквивалентными, если совпадают
соответствующие функции QAи Q
o
.
A
Теорема. Пусть u и uo– эквивалентные случайные последовательности,
соответственно управляемые сл. последовательностями v и vo, и существует марковское реализуемое (слабое) пересечение последовательностей (vn)
o
и (v
)Nс моментами пересечения em и emo, тогда существует марковское реа-
n
лизуемое (слабое) пересечение последовательностей [(un, vn)]Nи [(u
D
моментами пересечения bm и bmo: bmD= em, bm
o
= emo.
o
o
, v
)]Nс
n
n
Кроме того, если [(bu, bv) , bm] и [(buo, bvo) , bmo] есть (слабое) пересечение последовательностей (u, v) и (uo, vo), то можно считать, что bu и bm независимы
на bv ( см. Thorisson H. [33, 1983] ) и bmoнезависимы на bvo.
Более того, если элемент (u, v) задан на вероятностном пространстве
(Ω, Σ, P), то вероятностное пространство (bΩ,bΣ,bP) и заданный на нем эле-
мент (bu, bv, bm) можно выбрать так, что существует измеримая сюръекция
b
Ω ∋ bω 7→ ω ∈ Ω : bu(bω) = u(ω), bv(bω) = v(ω).
N
Доказательство.
1oЕсли сл. последовательность u = (un)Nуправляется сл. последователь-
ностью v = (vn)Nотносительно потока F = (Fn)N+и m – момент остановки на F, то, если n заменить на m, справедлива формула (2). Т.е.
P (um∈ A|Fm) = QA(vm) : P – п.н. (3)
198 Приложение D
Здесь Fmесть σ–алгебра событий, предшествующих моменту остановки
m (это аналог строго марковского свойства).
2oОсуществима следующая спецконструкция. Пусть:
η1и η – сл. элементы из [Y1, A(Y1)] и [Y, A(Y )] на вероятностном пространстве (Ω, Σ, P);
η∨и η
∨
– сл. элементы из [Y, A(Y )] и [Y2, A(Y2)] на вероятностном про-
2
странстве (Ω∨, Σ∨, P∨) такие, что:
a) ηD= η∨;
b) существует регулярное условное распределение Q сл. элемента η
относительно η∨.
Тогда существует вероятностное пространство (bΩ,bΣ,bP) и сл. элементы
bη1, bη, bη2такие, что:
∨
a) (η1, η)D= (bη1, bη); b) (η∨, η
)D= (bη, bη2); c) bη1и bη2независимы на bη.
2
Приведем конструкцию Г.Ториссона [33, 1983] вероятностного пространства (bΩ,bΣ,bP) и сл. элеметов bη1, bη, bη2. Положим
h
bΩ,b
Σi= [Ω × Y2, Σ ⊗ A( Y2)],
Z
b
P(F ×A2) =
Q(A2)|η)dP : F ∈ Σ, A2∈ A(Y2).
F
∨
2
ФункцияbP , определенная на таких «измеримых» прямоугольниках
F × A2, допускает единственное продолжение до вероятностной меры
на [bΩ,bP ]. Остается положить
bη1(ω, y) = η1(ω), bη(ω, y) = η(ω), bη2(ω, y) = y : (ω, y) ∈bΩ.
Более общее утверждение находится в Климов Г.П. [12, 2011].
3oПусть (ˇv, ˇm) и (ˇvo, ˇmo) – (слабое) пересечение сл. последовательностей
v и vo. Положим
(η1, η) = (u, v), (ˇη, ˇη2) = (ˇv, ˇm).
Так как ηD= ˇη и существует регулярное условное распределение сл.
элемента ˇη2относительно ˇη, то в силу 2oсуществуют
bΩ,b
Σ,bPи сл.
элемент (bu, bv, bm) такие, что:
Приложение D 199
a) (u, v)D= (bu, bv); b) (ˇv, ˇm)D= (bv, bm); c) bu и bm независимы на bv.
Согласно спецконструкции
bΩ,b
Σ,bPи bη1, bη, bη2указанных в 2o, можно
считать, что существует измеримая сюрьекцияbΩ ∋ bω = (ω, y) 7→ ω ∈
Ω : bu(bω) = u(ω), bv(bω) = v(ω). Теперь в силу а) последовательность bu
управляется последовательностью bv и
b
Pbun∈ A|bF
∗
= QA(bvn) :bP– п.н., ∀n > 1, A ∈ A(U ),bF
n
∗
= σ {bvo, ..., bvn}.
n
В силу же b) и предположения теоремы bm есть сл. момент остановки
относительно (bvn)N+, т. е. ( bm = n) зависит от bv только через (bvk)
ПоложимbFn= σ bvk), 1
( bm=k)
казанному, с учетом c), bu зависит отbFnтолько черезbF
ляется bv относительноbF =
n
. ТогдаbFn⊃bF
o
b
F
n
N
+
.
∗
: ∀n ∈ N+и по до-
n
∗
, т. е. bu управ-
n
n
.
o
4oТак как bm – сл. момент остановки наbF, то формула (3), примененная
для данного случая, дает
b
P (bubm∈ A, bvbm∈ B, bm ∈ I ) =bE1
(bv
bm
∈B, bm∈I)
· QA(bvbm)) :
A ∈ A(U), B ∈ A(V ), I ⊂ N+. (4)
5oАналогично строится вероятностное пространство
b
Ωo,bΣo,bP
o
, сл. эле-
менты buo, bvo, bmo, и получается формула
b
P (bu
o
o
bm
∈ A, bv
o
∈ B, bmo∈ I) =bEo1
o
bm
o
bv
(
bm
∈B, bmo∈I
· QA(bv
)
o
) . (5)
o
bm
6oЕсли (bv, bm) и (bvo, bmo) – слабое пересечение последовательностей v и vo,
то положим I = N+и проверим, что правые части формул (4) – (5)
совпадают. Это следует из
D
D
= ˇv
= ˇv
ˇm
bv
bm
D
o
o
.
= bv
o
ˇm
o
bm
Теперь из совпадения левых частей формул (4) – (5) имеем
o
(bubm, bvbm)D= (bu
o
, bv
)
o
o
bm
bm
и значит, с учетом
(u, v)D= (bu, bv) , (uo, vo)D= (buo, bvo) , (6)
получаем, что [(bu, bv) , bm] и [(buo, bvo) , bmo] есть слабое пересечение сл. по-
D
следовательностей (u, v) и (uo, vo) , причем bmD= ˇm, bm
o
= ˇmo.
200 Приложение D
7oЕсли (ˇv, ˇm) и (ˇvo, ˇmo) – пересечение последовательностей v и vo, то из
(bvbm, bm)D= (ˇvˇm, bm)D= (ˇv
o
, ˇmo)D= (bv
ˇm
o
bm
, bmo)
o
следует совпадение правых, а значит и левых частей формул (4) – (5).
Это дает
o
(bubm, bvbm, bm)D= (bu
o
, bv
, bmo)
o
o
bm
bm
и с учетом (6) получаем, что [(bu, bv) , bm] и [(buo, bvo) , bmo] есть пересечение
последовательностей (u, v) и (uo, vo), причем
D
bmD= ˇmD= ˇm
o
= bmo.
Пример 1. Пусть T = [0, ∞) и ξ = (ξt)T– регенерирующий процесс с моментами регенерации τ1, τ2, . . . , образующими марковскую цепь ( см. Thoris-
son H. [33, 1983] ). Это означает: для всякого измеримого множества A±
Q
A
траекторий процесса существует измеримая функция T
P (S
ξ ∈ A|τ1, . . . , τn) = QA(τn) : P − п.н., ∀n > 1,
τ
n
−−→ [0, 1] такая, что
где St– оператор сдвига на t ∈ T. Предполагается, что ξ – измеримый процесс
(тогда S
ξ – тоже измеримый процесс).
τ
n
Рассмотрим еще регенерирующий процесс ξoс моментами регенерации
o
o
τ
, τ
, . . . , считая его эквивалентным предыдущему, т.е. Q
1
2
(τn)N+и (τ
o
)N+имеют совпадающие переходные операторы. Положим τo= τ
n
o
= QAи цепи
A
o
Если существует марковское реализуемое слабое пересечение последова-
тельностей τ = (τn)Nи τo= (τ
o
)N, то существует реализуемое слияние про-
n
цессов ξ и ξo. Этот результат (без использования понятия пересечения) получил Г.Ториссон ( см. Thorisson H. [33, 1983] ). Результат следует из приведенной Теоремы, если положить un= S
ξ, vn= τn, u
τ
n
o
n
= S
o
ξo, v
τ
n
o
n
= τ
o
.
n
o
.
Пример 2. Пусть ξ и ξo– эквивалентные слабо регенерирующие поля,
управляемые последовательностями (τ, ζ ) и (τo, ζo) ( см. Климов Г.П., Матвеев В.Ф. [15, 1985] ). Если существует реализуемое марковское слабое пересечение [(ˇτ ,ˇζ), m] и [(ˇτo,ˇζo), mo] последовательностей (τ, ζ) и (τo, ζo), то
существует реалиуемое слияние полей ξ и ξoс точкой слияния θD= ˇτm. Этот
результат следует из приведенной теоремы, если положить un= S
o
o
(τn, ζn) , u
o
n
= S
o
ξo, v
τ
n
n
= (τ
Действительно, полагаяbξ(bω) = ξ(ω), имеемS
S
τn(ω)
ξ(ω) = (S
ξ) (ω), т.е. bun= S
τ
n
o
, ζ
) .
n
n
b
ξ(bω) = S
bτ
n
b
ξ.
bτ
n
ξ, vn=
τ
n
bτ
(bω)
n
b
ξ (bω) =
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]