Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метризация топологических пространств
.pdf
5.17 Случайный элемент топологического пространства 81
Пусть U = Sd(a, r) ∈ βX, и обозначим через k = kdканоническое отоб-
ражение X в множество классов эквивалентных элементов относительно полуметрики d : xd∼ y означает d(x, y) = o. На Y = k(X) определена метрика
k(d) соотношением d(x, y) = k(d) (k(x), k(y)).
В качестве базы βYтопологии метрического пространства (Y, k(d)) выбе-
рем совокупность шаров в Y. Тем самым, (Y, βY) ∈ E.
Остается проверить свойства 1o− 3oопределения π стр. 79.
2o–свойство. kU = S
(k(a), r) ∈ βY.
k(d)
1o–свойство. x ∈ k−1kU ⇁ k(x) ∈ kU ⇁ k(d)(k(x), k(a)) < r, но
k(d)(k(x), k(a)) = d(x, a), поэтому x ∈ Sd(a, r) = U, т.е. k−1kU ⊂ U, а с
учетом k−1kE ⊃ E ∀E ⊂ X имеем k−1kU = U.
3o–свойство. Пусть V ∈ βY. V имеет вид V = S
(k(b), ε), где b ∈ X,
k(d)
ε > o. Это дает k−1V = {x ∈ X : k(x) ∈ V } = {x ∈ X : k(d)(k(x), k(b)) < ε} =
{x ∈ X : d(x, b) < ε} = Sd(b, ε) ∈ βX.
Замечание 1. Предыдущие Утверждения (включая Предложение) и Определения (включая случайный элемент в X) остаются в силе, если под βX(и
βY) понимать не обязательно базу топологии, а произвольные семейства подмножеств, но требовать непрерывность отображений k.
Замечание 2. Если f(X) = Y , то ff−1= id есть идентичное (тождествен-
ное) отображение P(Y ) в себя { В общем случае, ∀ E ∈ P(Y ) : f f−1E =
E ∩ f (X) }.
Коммутативная диаграмма
X
h
❆
❆
❆
f
❆
❆
❆
❆
//
Z
??
⑦
⑦
g
⑦
⑦
⑦
⑦
⑦
т. е. h = g ◦ f )
(
Y
порождает коммутативную диаграмму
P(X)
h
❍
❍
❍
f
❍
❍
❍
❍
❍
❍
$$
//
P(Z)
;;
✈
✈
g
✈
✈
✈
✈
✈
✈
✈
P(Y )
При этом композиция g ◦ f (отображений f и g) ассоциативна ( a ◦(b ◦ c) =
(a ◦ b) ◦ c ) и (g ◦ f )−1= f−1◦ g−1.
82 Глава 5 Полуметрики Леви – Прохорова
5.18 Бэровский с лучайный элемент в ТП
Под случайным элементом в любом топологическом пространстве X будем
понимать бэровский сл. эл. в X, т. е. измеримое отображение ξ : (Ω, Σ) →
(X, Bo(X)). ( См. также замечания в конце настоящего Раздела 5.18).
Тогда
1of(ξ) есть сл. величина для любого сл. элемента ξ и любой f ∈ C (X);
2oесли ξ
Проверим это.
1o–утверждение. Напомним, что Bo(X) – наименьшая σ–алгебра подмножеств X, относительно которой измеримы отображения f ∈ C(X)
[ f−1{борелевское множество на прямой} ∈ Bo(X) ].
Пусть G – открытое множество прямой, тогда
2o–утверждение. ∀f ∈ C(X) случайные величины ηn= f (ξn)
f(ξ) = η [ т. к. f : X → R1непрерывно и значит f (xn) → f(x) : xn→ x ] .
поточечно
−−−−−−→ ξ и ξn– сл. элементы в X, то ξ – сл. элемент в X.
n
{f(ξ) ∈ G} = {ξ ∈ f−1G} ∈ Σ, т. к. f−1G ∈ Bo(X).
поточечно
−−−−−−→
Класс случайных величин со значениями на прямой замкнут относительно операции поточечной сходимости, поэтому f(ξ) – случайная величина и
значит {f (ξ) ∈ E} = {ξ ∈ f−1E} ∈ Σ ∀f ∈ C(X) и ∀ борелевского множества E.
Но Bo(X) = σ{f−1E}, поэтому отображение Ωξ−→ X является
(Σ, Bo(X)) – измеримым, т. е. ξ – случайный элемент в X.
Комментарий 1. 2o–утверждение перестает быть верным, если Bo(X) заменить на B(X).
Комментарий 2. 2o–утверждение следует и из основного Предложения
Раздела 5.17 на стр. 80 и Замечания 1 на стр. 81.
Для этого надо положить: βX= Bo(X), βY= Bo(Y ); или βX= {f−1l :
f ∈ C(X), l – конечный интервал прямой} и аналогично βY= {f−1l :
f ∈ C(Y ), l}; а через E обозначить класс метрических пространств вида
Y = f (X), где f ∈ C (X) с обычной метрикой на прямой.
Проверим свойства 1o− 3oи непрерывность k, соответственно π, (см.
стр. 80). Пусть U = f−1l, где l – конечный интервал прямой (или любое борелевское множество прямой), f ∈ C(X). Через k обозначим каноническое
5.18 Бэровский случайный элемент в ТП 83
отображение X в множество классов эквивалентных элементов: x ∼ y означает f (x) = f (y). Положим Y = f (X) [ можно считать, что f(X) ⊂ [ 0, 1 ] ].
Имеем f(x) = g(k(x)), k : X → k(X ), g : k(X) → R1, причем g –
инъекция. Последнее означает, что в качестве k(X) можно взять f(X), [ и,
тем самым, g = id ], перенеся на k(X) = Y топологию прямой.
Задача 1! Проверить иначе. В качестве E взять пространства Y вида k(X).
Таким образом f = k и значит k непрерывно.
1o–свойство. k−1kU = f−1f(f−1l) = f−1(ff−1)l = f−1l = U,
[ т.к. f f−1l = f f−1(l ∩ f (X)) = l ∩ f (X), f−1l = f−1(l ∩ f (X)) ].
2o–свойство. kU = kf−1l = l ∩ f (X) ∈ Bo(Y ) [ kU = kf−1l = kk−1g−1l =
g−1l ∩ k(X) ∈ Bo(Y )].
3o–свойство. Пусть V ∈ Bo(Y ) и V = g−1l = l ∩Y ⇁ k−1V = f−1l ∈ Bo(X), т. е.
k−1βY⊂ βX.
Замечание 1. Так как Bo(Xn) 6= Bo(X) ⊗ . . . ⊗ Bo(X) (проверить!)
[ но Bo(Xn) ⊃ Bo(X) ⊗. . . ⊗Bo(X) ], то ∀f ∈ C(Xn) и бэровских случайных
элементов ξ1, . . . , ξnв X не обязательно f(ξ1, . . . , ξn) – случайная величина.
Задача 2. Проверить у тверждения Замечания 1 и привести пример.
Определение. Обозначим через K = {ξ : Ω → X} класс отображений Ω
в X таких, что ∀ {ξ1, . . . , ξn} ⊂ K; ∀f ∈ C(Xn), n > 1 f(ξ1, . . . , ξn) –
случайная величина.
Элементы K называют случайными элементами в X
K содержит все конечнозначные борелевские отображения Ω в X.
Замечания. Так как A(X) = B(X), то нельзя обозначать K ∋ ξ = 1B, B ∈
B(X) через A(X ), A – "application" мера. Через K(X ) обозначим минималь-
ную σ–алгебру подмножеств X, относительно которой измеримы все ξ из
K. Любое измеримое отображение ξ : (Ω, Σ) → (X, A(X) ) есть случайный
элемент в X. U(X) – универсальная σ–алгебра частей X, не зависящая от
выбора вероятностного пространства.
Лемма. Если K ∋ ξn→ ξ (поточечно), то ξ ∈ K.
, K 6= ∅. Например,
84 Глава 5 Полуметрики Леви – Прохорова
Доказательство. Достаточно проверить, если {η1, . . . , ηm} ⊂ K и f ∈
m+1
C( X
ζn= f(η1, . . . , ηm, ξn) – сл. величина ∀n > 1, и ζ
), то f(η1, . . . , ηm, ξ) – случайная величина. Это следует из того, что
поточечно
−−−−−−→ ζ = f (η1, . . . , ηm, ξ).
n
Комментарий 3. В частности, если ρ есть полуметрика в X и ξ, η ∈ K, то
ρ(ξ, η) – случайная величина. Это следует из непрерывности функции X2∋
(x1, x2) 7→ ρ(x1, x2) ∈ [ o, ∞ [, т.к. |ρ(x1, x2) − ρ(y1, y2)| 6 ρ(x1, y1) + ρ(x2, y2).
Комментарий 4. Можно, конечно, в качестве класса случайных элементов в X рассмотреть класс K2лишь таких отображений Ω в X , что если
ξ, η ∈ K2и f ∈ C(X2), то f(ξ, η) – случайная величина. В частности, этого
вполне достаточно, если речь будет идти лишь о слабой, почти наверное и
по вероятности сходимостях сл. элементов в метрическом пространстве X.
Итак, при определении класса K случайных элементов в X можно воспользоваться желательными свойствами класса.
Требуемые желательные свойства:
f ∈ C(X), ξ ∈ K ⇁ f (ξ) – случайная велина;
f ∈ C(X2), ξ1, ξ2∈ K ⇁ f (ξ1, ξ2)) – случайная велина и т.д.
Доказываемые желательные свойства:
K ∋ ξn→ ξ =⇒ ξ ∈ K.
Если X линейное топологическое пространство, ξ и η ∈ K, то ξ + η ∈ K.
Замечание 2. Если X – линейное топологическое пространство, а ξ и η –
борелевские счетно или конечнозначные случайные элементы в X, т. е.
X
ξ =
и последовательности {Ai} и {Bj} не пересекаются: Ai, Bj∈ B(X), то ξ +η =
P
(xi+ yj)1
, т. е. (ξ + η) – борелевский случайный элемент в X.
AiB
j
xi1
, η =
A
i
X
yj1
, где Ω =[Ai=[Bj,
B
j
В случае линейного ММП (X, D) с инвариантными (относительно сдвига)
полуметриками:
d(ξ + η, ξn+ ηn) = d((ξ − ξn) + (η − ηn))
6 d(ξ − ξn) + d(η − ηn) = d(ξn, ξ) + d(ηn, η).
О существенности предположения сепарабельности относительно ЛТП см.
Вахания Н.Н. [4, стр. 24; 1972].
5.19 Используемые пространства 85
Замечание 3! ( Cм. Вахания Н.Н. [4, стр. 27; 1972] )
b
C(X, X∗) = Bo(X, σ(X, X∗)) для локально выпуклого пространства X.
σ(X, Г) — слабейшая топология в X, относительно которой непрерывны
функции из Г.
b
C(X, X∗) — цилиндрическая σ–алгебра, порожденная семейством функ-
ций из X∗).
Bo— бэровская σ–алгебра ( ! Cм. Раздел 5.18 стр. 82).
5.19 Используемые пространства
19.1 Мультиметрическое пространство (ММП). Всякое топологическое пространство (X, τ ) является вполне регулярным, если и только если
оно мультиметризуемо (т.е. существует мультиметрическое пр–во (X, D) такое, что τ = τD, где τD– топология, порождаемая разделяющим семейством
D полуметрик на X).
Пример. X =
ческих пространств (Xα, α); здесь D = { dα: α ∈ A } dα(x, y) = α(xα, yα) :
∀x, y ∈ X, где πα(x) = xαи X
Xα– топологическое (тихоновское) произведение метри-
α∈A
π
α
−→ Xα– каноническое отображение.
19.2 Линейные топологические пространства (ЛТП). Всякое ЛТП
является вполне регулярным.
Комментарий 1. Всякая топологическая ( непрерывная) группа (без требования хаусдорфовости) вполне регулярна
( См. Понтрягин Л.С.[21, стр. 106, 114, 115; 1976] ).
Кроме того, любое полное линейное метрическое пространство заданием эквивалентной метрики может быть превращено в F – пространство.
Комментарий 2. Если G – абелева топологическая группа, допускающая
эквивалентную метрику, относительно которой она полна, допускает и инва-
P
риантную метрику, причем она полна в каждой
инвариантной метрике ( См.
Шварц Лоран [25, стр. 104; 1964] и Clee [«Решение одной проблемы Банаха»;
1952] ).
Предложение 1. Любое полное ЛТП мультиметризуемо [ системой, либо
разделяющим семейством инвариантных полуметрик ].
86 Глава 5 Полуметрики Леви – Прохорова
Комментарий 3. См. ещё Шварц Лоран: «результат Эйдельгайт и Мазур»
[25, стр. 105; 1964].
19.3 Локально выпуклое пространство (ЛВП). Такое пространство
является МНП ( См. Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. [11, стр. 55; 1988] ).
Нормированное пространство является B – пространством, если оно полно в
некоторой эквивалентной метрике ( См. Шварц Лоран: [25, стр.105; 1964] ).
Предложение 2. Всякое полное ЛВП является МНП (X, {p}), где
[ kp(X), kp(p) ] – полное нормированное пространство.
19.4 Относительно требования сепарабельности ЛТП ( см. Вахания Н.Н.
[4, стр. 24; 1972] ).
19.5 Окончательные обозначения:
SMS – "вполне регулярное пространство";
– "semi–metrique space"; "complete SMS";
SPS – semi–polish space;
SFS – semi–Fre’chet space;
SBS – semi–Banach space;
SHS – semi–Hilbert space.
SPS – это ММП (X, D) такое, что [kd(X), kd(d)] – польское
пространство ∀d ∈ D;
SFS – то же, но d инвариантна;
SBS – то же, но d полунорма;
SHS – то же, но d задается скалярным произведением.
Комментарий 4. [ kd(X), kd(d) ] – сепарабельное метрическое пространство ⇐⇒ полуметрика d на X сепарабельна
def
= существует счетное мно-
жество A ⊂ X такое, что d(x, a) < ε : ∀x, ε, a (x ∈ X, ε > o, a ∈ A).
Следует из d(x, a) = k(d) (k(x), k(a)) : k = kd, ∀x, a (∈ X).
5.20 Измеримые по Dudley отображения 87
5.20 Измеримые по Dudley отображения
20.1 Пусть (X, D) – SMS. ∀x ∈ X ∀a ∈ X, kd∈ D, r > o имеем
x ∈ Sd(a, r) ⇐⇒ k(x) ∈ S
(k(a), r) , (1)
k(d)
т. к. d(x, a) = k(d)(k(x), k(a)). Если к тому же (X, D) – линейное топологическое пространство, то указанная эквивалентность вместе с k(x + y) =
k(x) + k(y) и ∀ x ∈ X ∀y ∈ X ∀a ∈ X, k = kd, r > o дает
x + y ∈ Sd(a, r) ⇔ k(x) + k(y) ∈ S
(k(a), r) . (2)
k(d)
Рассмотрим ещё вероятностное пространство (Ω, Σ, P).
Определение 1. Пусть D(X) – линейная σ–алгебра подмножеств (X, D),
содержащая все ш ары. D(X) – σ–алгебра Dudley. Это определение сохраняется, в частности, для метрических пространств, например, [ kd(X), k(d) ].
Итак, для любого MS и SMS определена σ–алгебра Dudley.
Определение 2. Всякое измеримое отображение ξ : (Ω, Σ) → [ X, D(X) ]
называется случайным элементом в X.
C1 Из (1) следует: ξ – сл. элемент в X ⇐⇒ kd(ξ) – сл. элемент в kd(X) :
∀d ∈ D. В частности, если для любого d ∈ D класс случайных элементов
в kd(X) замкнут относительно сходимости почти наверное, то тоже самое
верно относительно класса случайных элементов в X.
C2 Из (2) следует: если (X, D) – линейное SMS и ∀d ∈ D класс случайных
элементов в kd(X) замкнут относительно сложения, то тоже самое верно
относительно класса случайных элементов в X.
20.2! Пусть D(X) – множество всех сл. элементов в X. Do(X) – множество
тех случайных элементов ξ в X, причем kd(ξ) – случайный элемент в kd(X) :
∀d, являющийся или конечно-значным или (поточечным) (п.н.) пределом
конечно-значных сл. элементов.
Лемма.
1oDo(X) замкнуто относительно сходимости п.н. ⇐⇒ 2oD(X) = Do(X).
88 Глава 5 Полуметрики Леви – Прохорова
Комментарий.
1o–утверждение следует из С1, Раздела 5.20.1 стр. 87.
2o–утверждение смотри в Вахания Н.Н. [4, Предложение 1.9 стр. 20; 1972].
D(X) ∋ ξ 7→ kd(ξ) ∈ D(kd(X)) – сюръекция.
Замечание. В случае SPS класс D(X) замкнут относительно п.н. сходимо-
сти сл. элементов. В случае же SFS он замкнут и ещё относительно сложения
сл. элементов.
5.21 Интеграл в ЛТП
Определение. Пусть X – ЛТП ; интеграл от ξ : Ω → X по P есть w ∈ X та-
кое, что ∀F ∈ X∗, F(w) =
отображения Ωξ−→ X требуется лишь измеримость (Ω, Σ)
∀F ∈ X∗. Иначе: F (w) =
где Pξ= ξ(P) = Pξ
−1
R
F (ξ(ω))P(dω) и (!)
Ω
R
F (x)Pξ(dω) и
X
R
|F (x)|Pξ(dω) < ∞ : ∀F ∈ X∗,
X
[вероятностная мера на X].
R
|F (ξ(ω))|P(dω) < ∞
Ω
F ◦ξ
−−→ (R1, B(R1)) :
. От
Упражнение. (Определение интеграла = м.о.) Пусть D1(X) класс тех
измеримых по Dudley отображений ξ : Ω → X, которые являются: либо счетно – значными; либо пределом равномерно сходящейся последовательности
счетно – значных отображений. Для ξ =Pxk1
P
F (xk)P(Dk),
и wn=
F (wn) =
F (wn) – числовая фундаментальная последовательность [ в силу абсолют-
ной сходимости ряда
P
|F (xk)|P(Dk) < ∞. Если X векторное ТП, F ∈ X
n
P
xkP(Dk), ξn=
k=1
n
P
F (xk)P(Dk) =
k=1
P
n
P
xk1
k=1
n
R
P
k=1
F ◦ξn(ω)P(dω)=
D
k
F (xk)P (Dk) ].
, тогда wn=
D
k
Поэтому, если X – полное пространство в слабой топологии
, Dk∈ D(X) F (w) =
D
k
R
ξn(ω)P(dω) и
Ω
R
F ◦ ξn(ω)P(dω).
Ω
слабо
[w
−−−→ w
n
⇋ F (wn) → F (w) : ∀F ∈ X∗], ∃w ∈ X такое, что F (wn) → F (w), т. е.
существует интеграл от ξ по P [математическое ожидание "сл. элемента" ξ ].
Если же ξ
ные элементы в X, wn=
равномерно по w
−−−−−−−−−−→ ξ, ξn– интегрируемые счетнозначные случай-
n
R
ξn(ω)P(dω), то ∀F ∈ X∗числовая последователь-
Ω
ность F (wn) фундаментальна.
Действительно,
Z
|F (wn) − F (wm)| 6
|F (ξn(ω) − ξm(ω))|P(dω).
Ω
∗
5.21 Интеграл в ЛТП 89
Непрерывность F в точке o ∈ X означает: ∀ε > o существует окрестность
U точки o, такая, что |F (x)| < ε : x ∈ U.
В данном случае сходимость ξ
ности точки o найдется nUтакое, что ξn(ω) −ξm(ω) ∈ U для всех n, m следу-
ющих после nU. Поэтому |F (wn) − F (wm)| 6
В силу полноты X в слабой топологии (при слабой сходимости) ∃w ∈ X
такое, что F (wn) → F (w) ∀F ∈ X∗. По определению, w =
= lim
R
ξn(ω)P(dω).
Ω
равномерно
−−−−−−→ ξ влечет: для любой окрест-
n
R
εP(dω) = ε : n, m > nU.
Ω
R
ξ(ω)P(dω)
Ω
Комментарий. Под случайным элементом в (X, D) подразумевалось всякое
измеримое [ по D udley ] отображение (Ω, Σ) в [ X, D(X) ].
Другое (конструктивное и полезное) определение состоит в следующем:
сл. элемент в X есть конечнозначное (или счетнозначное) борелевское
отображение Ω в X, а также (равномерный) предел последовательности таких
отображений. По крайней мере, это определение удобно для построения математического ожидания случайного элемента.
Замечание 1. Относительно интеграла Петтиса (Pettis) в ЛВП см. Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. [11, Задача 322∗стр. 215; 1988].
Замечание 2. Воспользоваться схемой Даниеля построения интеграла от
функции, на решетке со значениями в решетке.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]