Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метризация топологических пространств
.pdf
4.20 Сходимость ряда независимых случайных элементов 51
вел. (T1, . . . , Tk), ρ (Sn, Sk) независимы: Tk= max
ρ (Si, So) ; ∀k (o 6 k < n)
16i6k
{α > o, o 6 ε < 1, P (ρ (Sn, Sk) > α) 6 ε}(Можно предполагать ρ > α).
Тогда
1
∀β > o : P (Tn> α + β) 6
P (ρ (Sn, So) > β) .
1 − ε
Комментарий 1. В случае, когда (X, D) – ЛТП и ρ – инвариантная полу-
метрика [ ρ(x + z, y + z) = ρ(x, y) = ρ(x − y, o) = ρ(x − y) ], то формулировке
Леммы можно придать вид:
Пусть: X – сл. элемент, ξ1, . . . , ξnнезависимы; α > o, o 6 ε < 1;
Pρ
Тогда P!max
n
P
i=k
ξ
> α6 ε : ∀k = 1, . . . , n.
i
16k6n
!
ρ
k
X
i=1
%
ξ
i
> α + β%6
P (Tn> 2ε) 6
1
1 − ε
ε
1 − ε
!
n
X
P!ρ
i=1
: ∀ β > o.
%
ξ
i
> β%и
Комментарий 2. Достаточно иметь Лемму для α = β = ε.
Доказательство Леммы. Рассмотрим события: A1= {T1> α + β}; Ak=
{T
< α + β, Tk> α + β}, 1 < k 6 n; Bk= {ρ (Sn, Sk) < α}, 1 6 k 6 n.
k−1
n
По предположению события Akи Bkнезависимые. {Tn> α + β} =
S
Ak,
k=1
(1 − ε)−1P (Bk) > 1, (Ak∩ Bk) ⊂ (Ak∩ E) , где E = {ρ (Sn, So) > β}.
Это даёт P (Ak) 6 (1 − ε)−1P (Bk) P (Ak) = (1 − ε)−1P (AkBk) 6
(1 −ε)−1P (AkE) , а после суммирования по k = 1, . . . , n получаем (A1, . . . , A
попарно не пересекаются) P (Tn> α + β) 6 (1 − ε)−1P(E).
Лемма 2. Пусть (X, D) – ММП типа F.
Тогда последовательность частичных сумм независимых X – сл. эл-тов:
фундаментальна почти наверное ⇐⇒ фундаментальна по вероятности.
Доказательство. Следует лишь проверить, что из 2-го утверждения вытекает первое. Пусть d ∈ D. Воспользуемся Предложением 2 Раздела 4.19
стр. 48 применительно к последовательности (Sn)Nфундаментальной по вероятности. Получим подпоследовательность S
n
d – фундаментальную
k
k>1
почти наверное и
P d (Si, Sj) > 2
−k
6 2−k: ∀i, j > nk.
n
52 Глава 4 Виды сходимости случайных элементов
Полагая Rk= max
{nk6i6n
d(Si, S
}
k+1
P Rk> 2 · 2
), проверим, что
n
k
−k
6 2 · 2−k: k > 1. (1)
Для этого воспользуемся Леммой 1, в которой вместо So, S1, . . . , Sn, ε, α, β, ρ
используются S
{ можно воспользоваться Комментарием 2 Раздела 4.20 стр. 51 } ∀ k > 1 [ Так
как 1 − 2−k> 2−1] P Rk> 2 · 2
, S
n
k
nk+1
, . . . , S
, 2−k, 2−k, 2−k, d, соответственно. Получим
n
k+n
−k
6
1−2
1
−k
·P d S
n
k+1
, S
n
k
> 2
−k
6
1−2
1
−k
2−k< 2 · 2−k. Проверим, что из (1) следует
п.н.
R
−−→ o. (2)
k
⊂
−n
⊂
−k
, k > 1 имеемPP(Ak) < ∞,
lim Ak) = o, где lim Ak=
\
k>n
Rk< 2 · 2
sup
Rk6 ε,
k>n
−n
Действительно, для событий Ak= Rk> 2 · 2
что согласно Лемме Бореля – Контели влечёт P(
TnS
Ak, или lim
k>n
n→∞
\
k>n
P
c
A
k
T
c
A
k
k>n
\
=
k>n
⊂sup
k>n
= 1. Но при 2 · 2−n6 ε
Rk< 2 · 2
−k
Rk6 2 · 2
·
что даёт Psup
Наконец, из (2) и d – фундаментальности п.н. последовательности (S
получим d – фундаментальность последовательности (Sn), т.е. d(Si, Sj)
Rk> ε→ o : n → ∞, ∀ε > o. Значит верно (2).
k>n
n
)
k
−−→
k>1
п.н.
o : {i, j} → ∞. В силу произвольного выбора d ∈ D это будет означать, что
последовательность (Sn) фундаментальна п.н. ∀i, j > 1 ∃nαи ∃ nβтакие, что
nα6 i < n
d (Si, Sj) 6 d (Si, S
, nβ6 j < n
α+1
) + d S
n
α
. Это даёт
β+1
, S
n
α
n
β
+ d S
6 Tα+ d S
, S
j
n
β
n
, S
+ Tβ.
n
α
β
Но при i, j → ∞ имеем α → ∞, β → ∞, nα→ ∞, nβ→ ∞ и значит
Tα→ o, Tβ→ o, d S
, S
n
α
п.н.
−−→ o.
n
β
Доказательство Предложения 1. Оно получается из Леммы 2 стр. 51
и полноты ММП.
Отметим, что Snсходится почти наверное к отображению S : Ω → X,
которое не обязательно является сл. элементом.
Глава 5
Полуметрики Леви – Прохорова
5.1 Вероятностные меры
Пусть X – топологическое пространство, P(X ) или proba(X) или Cap(X ) –
класс вероятностных мер на B(X).
Определение 1. Мера Р ∈ P(X) называется регулярной
Р(B) = inf
где inf берётся по всем открытым множествам G ⊃ B. В частности,
Р(Bc) = in f
или, полагая Gc= F ,
где sup берётся по всем замкнутым множествам F ⊂ B.
Мы видим, что требования (1) и (2) эквивалентны.
( См. определение регулярной аддитивной функции множеств на алгебре
множеств: Шабат Б.В. [24, стр. 153; 1987] ).
Определение 2. Мера Р ∈ P(X) называется радоновой, если
где sup берётся по всем компактным подмножествам K ⊂ B.
c
G⊃B
Р(B) = sup
Р(B) = sup
Р(G) : ∀B ∈ B(X ) , (1)
G⊃B
Р(G) = 1 − sup
Р(F ) : ∀B ∈ B(X ) , (2)
F ⊂B
Р(K) : ∀B ∈ B(X),
K⊂B
Р(Gc) : ∀B ∈ B(X)
Gc⊂B
, если
53
54 Глава 5 Полуметрики Леви – Прохорова
Ясно, что радонова мера регулярна.
Класс радоновых мер на B(X ) обозначим через R(X) или rad(X). Классы ограниченных, вероятностных, регулярных и радоновых мер на B(X),
соответственно, обозначим через mes(X), proba(X), reg(X), rad(X).
Ясно, что
mes(X) ⊃ proba(X ) ⊃ reg(X) ⊃ rad(X)
5.2 Замкнутое семейство борелевских множеств
Пусть d – некоторая полуметрика на X; B(X) ⊃ E – семейство борелевских
множеств ( замкнутое относительно операций над множествами ) такое, что
B ∈ E =⇒ (X r Bε) ∈ E : ∀ε > o, где
Bε= Sd(B, ε) = {x ∈ X : d(x, B) < ε}.
Например, E = B(X) или E есть совокупность замкнутых множеств (или
E есть совокупность замкнутых и открытых множеств или, в общем случае,
E – любая часть B(X), содержащая все замкнутые подмножества).
Определение. По d и E определим полуметрику (Леви – Прохорова) π =
π(d, E) на proba(X), полагая
π(P1, P2) = inf{ε > o : P1(B) 6 P2(Bε) + ε} : ∀ B ∈ E.
Проверим, что π есть полуметрика.
Симметричность. Пусть
ε > o и P1(B) 6 P2(Bε) + ε : ∀ B ∈ E. (1)
Достаточно убедиться, что P2(B) 6 P1(Bε)+ ε ∀B ∈ E. Предположим, что
это не так и ∃ B ∈ E такое, что P2(B) > P1(Bε)+ ε. Это даёт P1(X r Bε) >
P2(X r B) + ε. Если показать, что
(X r B) ⊃ Eε, где (X r Bε) = E ∈ E, (2)
то это даёт P1(E) > P2(Eε) + ε, E ∈ E, что противоречит (1).
5.2 Замкнутое семейство борелевских множеств 55
X
B
e
Замечание. Если положить E = {X r Bε}, то можно записать по другому
P1(X r Bε) 6 P2(Eε) + ε 6 P2(X r B) + ε,
что дает P2(B) 6 P1(Bε) + ε.
Таким образом, нам осталось проверить справедливость вложения (2). Отметим, что
x ∈ Aε⇐⇒ d(x, a) < ε : ∃ a ∈ A,
x∈Aε⇐⇒ d(x, a) > ε : ∀ a ∈ A.
Имеем
x ∈ Eε⇁ x
∈Bε⇁ d(x, b) > ε : ∀b ∈ B, тогда x∈B ⇁ x ∈ (X r B).
Комментарий. (X r Bε)ε⊂ (X r B) и обратное вложение в общем случае
неверно:
Но если положить
A = X r (X r Bε)ε,
то Aε= Bε(убедиться во вложениях A ⊃ B, Aε⊂ B
помогает рисунок).
Значит
Рис. 5.2
Множество (X r Bε)
ε
(X r Aε)ε= (X r A) [ A ∈ E всегда ! ].
Неравенство треугольника (для π) доказывается обычным образом.
Пусть π(P1, P2) < ε1, π(P2, P3) < ε2, тогда
ε
1
P1(B) 6 P2(B
6 P
ε
2
ε
1
так как
[ Включение
ε1+ε
B
ε
1
B
B
B
2
оверим обратное включение. x ∈ B
. Пр
⇁ d(x, y) < ε2: ∀y ∈ X таких, что d(y, b) < ε1: ∀b ∈ B ⇁ d(x, b) 6
3
= B
ε
1
) + ε16 P
ε
2
ε
1
B
ε1+ε
2
ε
2
⊃ B
+ ε2+ ε1= P
и B
ε
1+ε2
d(x, y) + d(y, b) < ε1+ ε2: ∀b ∈ B ⇁ x ∈ B
ε
1
B
∈ E.
+ ε
3
1
ε1+ε
2
B
ε
1
ε
1+ε2
2
ε
1
чевидно, так как B
о
и (B
E, (3)
ε
ε
1
)
+ ε1+ ε2: ∀ B ∈
⊃ B
ε
1
ε
1
ε
2
⇁ d(x, y) < ε2: ∀y ∈
]. Теперь из (3) получаем
2
π(P1, P3) 6 ε1+ ǫ2. Осталось рассмотреть предельный переход
ε
=
ε1↓ π(P1, P2) и ε2↓ π(P2, P3).
56 Глава 5 Полуметрики Леви – Прохорова
5.3 Полуметрики, разделяющие множества
Будем теперь предполагать семейство E фиксированным ( cм. Раздел 5.2 ) и
положим
πd= π(d, E).
Выясним условия, при которых семейство (πd)Dполуметрик будет разделяющим точки множества M = mes(X) или cap(X ), или reg(X), или rag(X).
Значит
πd(Р1, Р2) = o : ∀d ∈ D =⇒ Р1= Р2;
πd(Р1, Р2) = inf
означает, что ∀εn∀B{o < εn↓ o, B ∈ E, Р1(B) 6 Р2(lim B
ε
n
lim B
не зависит от выбора последовательности εn↓ o : B
{Р1(B) 6 Р2(Bε) + ε} = o : ∀B ∈ E
ε>o
ε
n
)}. Отметим, что
ε
n
↓ lim B
ε
n
Этот предел зависит от d ∈ D и B ∈ E. Обозначим его через
εn↓o
B
(εn,d)
: d ∈ D.
Bd= lim
[ Чтобы подчеркнуть зависимость ε – окрестности множества B от полуметрики d удобно впредь эту окрестность обозначать через B
(ε,d)
].
Ясно, что Bd∈ B(X) [ как предел счётной последовательности борелевских множеств ].
Имеем, что πd(Р1, Р2) = o влечёт
Р1(B) 6 Р2(B
В частности, Р2(B
(ε1+ε2,d)
B
]. При εn↓ o это даёт Р2(Bd) 6 Р1(Bd) : ∀ B ∈ E.
(ε,d)
) + ε, Р2(B) 6 Р1(B
(ε,d)
) 6 Р1(B
(2ε,d)
(ε,d)
) + ε : ∀ε > o, B ∈ E.
) + ε [ так как (B
(ε1,d))(ε2,d)
=
Аналогично получаем Р1(Bd) 6 Р2(Bd) ∀B ∈ E. Тем самым, верна
.
Лемма 1.
πd(Р1, Р2) = o ⇐⇒ Р1(Bd) = P2(Bd) : ∀B ∈ E, где
Bd= lim
Sd(B, ε) [ = lim
ε↓o
Sd(B, εn) ].
εn↓o
5.3 Полуметрики, разделяющие множества 57
Замечание. Р(B) 6 Р(Bd) : ∀ d, B, P [ так как B ⊂ Bd].
Более того, так как B ⊂ Bd: ∀d, то
B ⊂
\
Bd=
d∈D
\
ε>o,d∈D
B
(ε,d)
def
= B∗.
Так как B∗есть пересечение (возможно) несчетного числа элементов B(X),
то не обязательно B∗∈ B(X).
Можно, как всегда, считать, что D – направленное множество полуметрик и, более того, ( d1∪ d2) ∈ D : ∀d1, d2∈ D, то семейство (Bd)Dмультипликативно (замкнуто относительно конечных пересечений; более того,
d
B
1
∩ B
d
2
= B
d1∪d
2
, так как S
(B, ε) ∩ S
d
1
(B, ε) = S
d
2
d1∪d
(B, ε)).
2
Таким образом, B∗= limd↑Bd( или Bd↓ B∗при d ↑) .
Лемма 2. Для ММП (X, D)
A∗=
\
G ⊂
открG⊃A
\
ε>o,d∈D
A
(ε,d)
= A∗= A.
Доказательство. Ясно, что левое множество A∗вкладывается в правое
множество A∗, A∗⊂ A∗, так как A
Остаётся проверить, что A∗=
A.
(ε,d)
⊃ A и A
(ε,d)
– открытое м ножество.
x ∈ A∗⇋ ∀ ε > o ∀d ∈ D ∃a ∈ A : a ∈ Sd(x, ε)
⇋ для любой окрестности U точки x ∃ a ∈ A : a ∈ U ⇋ x ∈ A.
Лемма 3. Р1, Р2∈ sm(X, D), πd(Р1, Р2) = o : ∀d ∈ D влечёт Р1= Р2,
где sm(X, D) обозначает класс гладких вероятностных мер [ smooth (англ.),
lisse (фр.), uni (фр.) – ровный, гладкий ].
Вероятностная мера P на ММП (X, D) называется гладкой,
если она регулярна и P(F ) = inf
для всякого замкнутого множества F
[ отметим,что F =
T
Sd(F, ε) ].
ε>o,d∈D
ε>o,d∈D
Р (Sd(F, ε) )
58 Глава 5 Полуметрики Леви – Прохорова
Доказательство. Согласно Лемме 1: ∀d и ∀F -замкнутого подмножества
{Р1(Fd) = Р2(Fd)}. Согласно второму требованию гладкости Рi(F ) =
infdРi(Fd) и значит Р1(F ) = Р2(F ) : ∀ F -замкнутого подм ножества.
Так как меры Р1и Р2регулярны, то они полностью определяются своими
значениями на замкнутых множествах. Это даёт Р1= Р2на B(X).
Комментарий. Для метрического пространства (X, d) гладкая мера авто-
матически регулярна, так как для любого замкнутого множества F
F =
\
εn↓o
ε
ε
F
n
, F
n
= Sd(F, εn) и значит Р(F ) = lim Р(F
ε
n
) = inf
ε>o
Р(Fε).
Предложение. Пусть (X, D) – ММП,
π = (πd)D– семейство полуметрик Леви – Прохорова на (X, D).
[ E = B(X) или E – класс замкнутых множеств. ]
Тогда [ smooth(X, D), π ] – ММП.
Это Предложение означает, что πd– полуметрика ∀ d, (cм. Раздел 5.2 стр.
54 – 55), и семейство π разделяет точки smooth(X, D) (cм. Лемма 3 Раздел
5.3 стр. 57).
Комментарий.
Положим для A ⊂ X, ε > o, d ∈ D;
Gd(A, ε) = Sd(A, ε) = A
Fd(A, ε) = X r (X r A)
(ε,d)
– открытое множество;
(ε,d)
– замкнутое множество.
Ясно, что
Fd(A, ε) ⊂ A ⊂ Gd(A, ε) : ∀ ε > o ∀ d ∈ D
Лемма 2 даёт
A =
\
Gd(A, ε).
ε, d
В частности, для замкнутого множества F = A, F =
открытого множества G = A
[
G =
Fd(A, ε)
ε, d
Проверим последнее равенство
X r
[
Fd(A, ε) =
ε, d
\
[X r Fd(A, ε)] =
ε, d
\
(X r A)
ε, d
(ε, d)
T
Gd(A, ε), а для
ε, d
=
(X r A).
5.4 Обобщенные последовательности мер 59
Таким образом,
[
Fd(A, ε) = X r
ε,d
(X r A) : ∀A ⊂ X.
Если же A – открытое множество, то X r
(X r A) = A.
Задача. Верно ли, что smooth(X, D) = reg(X, D) ?
5.4 Обобщенные последовательности мер
Пусть X – тихоновское пространство;
(Рα) – обобщенная последовательность мер из proba(X ); Р ∈ proba(X).
Рассмотрим следующие утверждения.
o
lim Рα(F ) 6 Р(F ) : ∀ замкнутого F ⊂ X.
1
2olim
3olim Рα(B) = Р(B) : ∀Р – непрерывного множества B,
4oР
Предложение.
a) 1o=⇒ 2o=⇒ 3o=⇒ 4o;
Рα(G) > Р(G) : ∀ открытого множества G ⊂ X.
(т. е. борелевского множества B с Р(∂B) = o).
слабо
−−−→ P [ ⇋ (Рα, f ) → (Р, f ) : ∀f ∈ C(X) ].
α
b) для 4o=⇒ 1oдостаточно любое из следующих условий:
b.1) (!) X – нормированное пространство, Р – регулярная мера;
b.2) Р есть τ – гладкая мера [ ⇋ для любой возрастающей обобщен-
ной последовательности (Gα) открытых множеств: Р(lim Gα) =
S
lim Р(Gα); lim G
b.3) (!!!) 1o⇐= Р – гладкая мера (Р ∈ smooth(X)) Р
def
=
α
Gα].
слабо типа 1
−−−−−−−→ Р.
α
α
Комментарий. Относительно a) и b2) ( см. Вахания Н.Н. [4, стр. 46 – 47;
1972]) ).
60 Глава 5 Полуметрики Леви – Прохорова
Доказательство b). Достаточно убедиться в 2o. Пусть F – замкнутое мно-
жество. Так как Р(F ) = inf
Р (Sd(F, r)) , то ∀ε > o ∃ r > o и d ∈ D та-
r>o,d
кие, что для открытого множества G = Sd(F, r) выполнено G ⊃ F и
P (G) − P (F ) < ε.
Положим
fε(x) =
d(x, Gc)
d(x, Gc) + d(x, F )
.
Отметим, что в силу определения G имеем d(F, Gc) > r > o. Поэтому
|fε(x) − fε(y)| 6
d(x, y)
d(F, Gc)
1
6
· d(x, y), т. е. fε∈ C1(X).
r
Кроме того, 1A6 fε6 1G. Это даёт
limРα(F ) 6 limРα(fε) = lim Рα(fε) = Р(fε) 6 Р(G) 6 Р(F ) + ε
и значит
Следствие 1! [из b) и a)]. Если Р ∈ smooth(X, D), то сходимость Р
Р и сходимость Р
limРα(F ) 6 Р(F ).
слабо
−−−→
слабо типа 1
−−−−−−−→ Р совпадают.
α
α
Следствие 2!! Если Р ∈ smooth(X, D), то 1o⇐⇒ 2o⇐⇒ 3o⇐⇒ 4o.
5.5 Сходимость в топологии Леви – Прохорова
Предложение. Пусть (X, D) – ММП; Рα∈ proba(X, D), πd(Рα, Р) → o ∀d;
Р ∈ smooth(X, D).
Тогда limРα(F ) 6 Р(F ) для любого замкнутого F .
Рα→ Р в топологии Леви – Прохорова. В частности, Р
слабо
−−−−→ Р .
α
Доказательство. ∀ε > o, d ∈ D ∃αo: πd(Рα, Р) 6 ε, при α > αo.
Или Рα(F ) 6 Р(Sd(F, ε) ) + ε : ∀замкнутого F, α > αo.
Или lim Рα(F ) 6 Р(Sd(F, ε) + ε : ∀замкнутого F ∀ε > o ∀d ∈ D.
Или (в силу Р ∈ smooth(x))
lim Рα(F ) 6 Р(F ) : ∀замкнутого F.
Остаётся воспользоваться Предложением и Следствиями 1 или 2 преды-
дущего Раздела 5.4.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]