Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метризация топологических пространств
.pdf
Приложение E
Каплинг слабо регенерирующих
полей
1. Обозначения, случайное поле, пример. Пусть (Ω, Σ, P) – вероят-
ностное пространство, A(X) – обозначает некоторую σ–алгебру подмножеств
множества X, B(X) есть σ–алгебра борелевских множеств топологического
пространства X .
Распределение случайного элемента (Ω, Σ, P)ξ−→ (X, A(X)) обозначается
Pξ. Pξ(A) = E1A(ξ) : A ∈ A(A).
Пусть T = [0, ∞)d: d – целое положительное число, и ξ = {ξ(t) : t ∈ T } –
случайное поле (случайная функция), определённое на вероятностном пространстве (Ω, Σ, P) со значениями в (X, A(X)). Случайное поле ξ будем отож-
дествлять со случайным элем ентом (Ω, Σ, P)ξ−→ XT, A(X)
T экземпляров измеримого пространства (X, A(X)).
Обычным образом вводятся операторы Stсдвига, действующие в пространстве X
полагаем (StX)(s) = xo, где xo– некоторый фиксированный элемент из X.
Будем писать также x(s) = xs, Stxs= (Stx)(s) = x
Случайное поле ξ предполагаем измеримым. Это означает, что отображение (T ×Ω, B(T ) ×Σ) → (X, A(X)), определяемое посредством (t, ω) → ξ(ω),
измеримо. В частности, если θ – случайный элемент из (T, B(T )), то Sθξ –
тоже измеримое случайное поле.
T
функций x :
T → X; здесь t ∈ T = [0, ∞]d. В случае t = ∞
.
s+t
σT
– произведение
Пример (случайные меры и их сдвиги). Пусть M– совокупность локально
ограниченных регулярных разнозначных мер на (T, B(T )). Сходимость в M
предполагается ш и р о к о й, т. е. λ
всякой непрерывной функции с компактным носителем. Случайный элемент
n
v
−→ λ
201
def
= (λn, f ) → (λ, f) =
R
fdλ для
T
202 Приложение Е
из (M, B(M)) называется случайной мерой на (T, B(T )). В частности, при
d = 1 целозначная (почти наверное) случайная мера называется точечным
процессом. В случае d 6= 1 такую меру естественно называть точечным полем.
Для случайной меры α определим случайную меру Stα, полагая Stα(A) =
α(A + t) для A ∈ B(T ). Пусть теперь ξt= Stα. Тогда ξ = (ξt)Tесть случайное
поле с фазовым пространством (M, B(M)). Оно является измеримым, так
как его траектории непрерывны справа.
2. Каплинг случайных полей, каплинг – неравенство. По определению каплинг случайных полей ξ и ξoесть пара случайных элементов (bξ, θ) и
(bξo, θo) таких, чтоbξD= ξ,bξ
o
= ξo, (S
b
ξ, θ)D= (S
θ
b
o
ξo, θo), где θ и θo– случайные
θ
D
элементы из (T, B(T )). Запись видаbξD= ξ означает, что случайные элементы
b
ξ и ξ одинаково распределены: P
= Pξ. При этом θ и θoназовём точками
b
ξ
каплинга, а сам каплинг назовём реализуемым, если θ ∈ T с вероятностью
единица. Отметим, что θD= θo.
Обычно (для случайных процессов) под каплингом случайных полей ξ и
ξoпонимается пара случайных полей (ξ, η) таких, что ηD= ξoи Sθξ = Sθη
для некоторого случайного элемента θ из (T , B(T )). Указанное выше (общее)
определение каплинга (но случайных процессов) дано впервые в работе [33].
Как и для случайных процессов, верно следующее каплинг – неравенство:
если θ – точка каплинга измеримых случайных полей ξ и ξo, то
– P
o
| 6 Pθ[0, t] : ∀ t ∈ T,
Stξ
|P
Stξ
где (Pθ) = 1 – Pθ, а |λ| есть полная вариация меры λ.
3. Слабо регенерирующее поле. Пусть ξ – измеримое случайное поле на
(T, B(T )) со значениями в (X, A(X)) и (τn, ζn)N– последовательность случайных элементов из [T ×Z, B(T )×A(Z)], причём 0 = τo6 τ16 . . . Предположим
ещё, что для всякого A ∈ A(X)σTсуществует измеримая функция
Q
[T ×Z, B(T ) × A(Z)]
∗
Р (S
ξ ∈ A|F
τ
n
)
n
п.н.
= QA(τn, ζn) : ∀n > 1, F
A
−−→ ([0, 1], B[0, 1], причем
∗
= σ(τk, ςk)
n
n
. (1)
o
В этом случае случайное поле ξ назовём слабо регенерирующим с точками
регенерации τ1, τ2, . . . Если F = (Fn)N– поток σ–алгебр событий, Fn⊃ F
∗
n
∀n > 1, а вместо (1) выполнено
Р (S
ξ ∈ A|Fn)
τ
n
п.н.
= QA(τn, ζn) ,
:
Приложение Е 203
то поле ξ назовём условно регенерирующим относительно потока F.
Приведённое определение совпадает с определением однородного регенерирующего процесса из работы ( см. Asmussen S. [28, 1979] ) при условиях:
d = 1; QA(t, z) не зависит от t и z; τ = (τn)N– рекуррентный процесс восстановления. Для неоднородных регенерирующих процессов приведённое определение совпадает с определением, данным в работе ( см. Thorisson H. [33,
1983] ).
Два слабо регенерирующих поля ξ и ξoназовём эквивалентными, если
совпадают соответствующие им функции QAи (QA)o. Отметим, что эквивалентные поля могут быть заданы на разных вероятностных пространствах.
4. Строго регенерирующее свойство. Пусть ξ – условно регенерирую-
щее поле относительно потока F = (Fn)Nи m – момент остановки на потоке
F. Тогда
Р (S
ξ ∈ A|Fm)
τ
m
п.н.
= QA(τm, ζm) : ∀A ∈ A(X)T.
Действительно, при F ∈ Fm, т. к. Р(m < ∞) = 1, F ∩(m = n) ∈ Fn: ∀n > 1
Е 1FР (S
ξ ∈ A|Fm)
τ
m
= Р {(S
X
=
E 1
n
X
=
E 1
n
ξ ∈ A) ∩ F } =
τ
m
F ∩(m=n)
F ∩(m=n)
Р (S
AA(τm, ζm) = E 1FQA(τm, ζm) .
X
Р {(S
n
ξ ∈ A|Fn) =
τ
n
ξ ∈ A) ∩ F ∩ (m = n)}
τ
n
X
E 1
F ∩(m=n)
n
QA(τn, ζn)
5. Условная независимость. Пусть F1, F, F2– σ–алгебры событий. F
и F2независимы на F означает, что F расщепляет F1и F2. В монографии
( см. Розанов Ю.А. [22, 1981] ) аналогично определяется независимость сл.
элементов ξ1и ξ2на сл. элементе ξ (как независимость σ(ξ1) и σ(ξ2) на σ(ξ)).
Рассмотрим последовательность пар случайных элементов
(ξo, η1), (ξ1, η2), (ξ2, η3), . . . .
Предположим:
1) элементы пары (ξk, η
) определены на вероятностном пространстве
k+1
(Ωk, Σk, Pk): k = 0, 1, 2, . . . ;
2) ξkи ηkпринимают значения из (Xk, A(Xk));
1
204 Приложение Е
D
3) ξ
= ηk: ∀k > 1;
k
4) существует регулярное условное распределение Qkслучайного элемента
η
относительно ξk: ∀ k > 1 (обратим внимание на условие k > 1).
k+1
Тогда существует неоднородная цепь Маркова (bξn)Nтакая, что
(ξk, η
)D= (bξk, bη
k+1
) : ∀k > 0.
k+1
В частности, пусть: 1) η1и η – случайные элементы из [Y1, A(Y1)] и [Y, A(Y )];
2) ˇη и ˇη2– случайные элементы из [Y, A(Y )] и [Y2, A(Y2)] на, возможно, другом
вероятностном пространстве; 3) ηD= ˇη; 4) существует регулярное условное
распределение Q случайного элем ента ˇη2относительно ˇη.
Тогда существуют (на некотором вероятностном пространстве) случай-
ные элементы bη1, bη, bη2такие, что:
1o(η1, η)D= (bη1, bη), (bη, bη2)D= (ˇη, ˇη2); 20bη1, bη2независимы на bη.
6. Основной результат.
Теорема. ξ и ξo– эквивалентные слабо регенерирующие поля с «вло-
женными» последовательностями (τ, ζ) = (τn, ζn)Nсоответственно (см . п. 3).
Предположим существуют сл. элементы (ˇτ,ˇζ, ν) и (ˇτo,ˇζo, νo), причем:
1) (τ, ζ)D= (ˇτ,ˇζ), (τo, ζo)D= (ˇτo,ˇζo);
2) ν и νo– моменты остановки относительно (ˇτ ,ˇζ) и (ˇτo,ˇζo) соответст-
венно (см. п. 3).
Предположим существуют сл. элементы (ˇτ,ˇζ, ν) и (ˇτo,ˇζo, νo), причем:
1) (τ, ζ)D= (ˇτ,ˇζ), (τo, ζo)D= (ˇτo,ˇζo);
2) ν и νo– моменты остановки относительно (ˇτ ,ˇζ) и (ˇτo,ˇζo) соответ-
o
o
,ˇζ
ственно и (ˇτν,ˇζν)D= (ˇτ
).
o
o
ν
ν
Тогда существует реализуемый каплинг (слияние) полей ξ и ξoс точкой
каплинга (слияния) θ = bτν.
Доказательство. Положим
(η1, η) = (ξ, (τ, ζ )), (ˇη, ˇη2) = ((ˇτ ,ˇζ), ν).
Тогда 1) ηD= ˇη и 2) существует регулярное условное распределение Q случай-
ного элемента ˇη2относительно ˇη (так как ν – целозначная случайная вели-
чина). Поэтому (см. п. 5) существуют вероятностное пространство (bΩ,bΣ,bP)
и случайные элементыbξ, bτ ,bζ и bν такие, что:
Приложение Е 205
1o(ξ, τ, ζ)D= (bξ, bτ ,bζ) ;
2o(ˇτ,ˇζ, ν)D= (bτ ,bζ, bν;
o
b
3
ξ и bν независимы на (bτ , (bζ).
Из 1oследует чтоbξ есть слабо регенерирующее поле с «вложенной» последовательностью (bτ,bζ). Положим Fn= σ{(bτk,bζk, 1
(bν=k)
n
)}
: n > 0 и прове-
o
рим, чтоbξ – условно регенерирующее поле относительно потока F = (Fn)N.
Действительно, в силу 2oи предположения теоремы bν есть момент оста-
новки относительно (bτ,bζ) и, в частности, (bν = n) зависит от (bτ ,bζ) через
n
F
o
bτk,bζ
k
∗
= σnbτk,bζ
n
n
. Отсюда, приилекая еще 3o, получаем, чтоbξ зависит от Fnчерез
o
o
n
.
k
o
Теперь согласно строго регенерирующему свойству имеем
PS
b
ξ ∈ A, bτbv∈ B,bζbv∈ C=bE1bτbv∈ B,bζbv∈ CQ
bτ
bv
A
bτbv,bζ
:
bv
A ∈ A(X)σT, B ∈ B(T ), C ∈ A(Z ). (2)
Аналогично строятся вероятностное пространство (bωo, bσo,bPo) и случайные элементыbξo, bτo,bζo, bvo. Получается формула
o
b
P
o
S
bτ
bv
b
ξo∈ A, bτ
o
o
o
bv
∈ B,bζ
o
∈ C=bEo1bτ
o
bv
o
o
bv
∈ B,bζ
o
∈ CQ
o
bv
o
o
bτ
,bζ
o
A
bv
bv
Проверим, что правые части формул (2) и (3) совпадают. Это следует из
bτbv,bζ
= ˇτv,ˇζ
bv
D
v
D
= ˇτ
,ˇζ
D
o
=ˇτ
o
v
o
o
v
o
o
.
,bζ
o
o
bv
bv
Теперь из совпадения левых частей формул (2) и (3) имеем
b
S
ξ, bτbv,bζ
bτ
bv
В частности, полагаяbθ = bτbv,bθo= bτ
S
b
θ
b
ξo,bθ
o
o
и значит ( с учетом ξD=bξ, ξ
bv
D
=S
b
o
ξo, bτ
bτ
o
bv
o
, окончательно получаемS
o
bv
D
o
=bξo), (bξ,bθ) и (bξo,bθo) суть каплинг
o
o
,bζ
o
bv
.
o
bv
(слияние) случайных полей ξ и ξo.
( См. также Климов Г.П., Матвеев В.Ф. [13, 1986], [15, 1985], [16, 1985] ).
o
b
θ
bξ,b
.
(3)
D
θ
=
Предметный указатель
Алгебра
σ-алгебра Dadley 87
Аксиомы
Куратовского 133
отделимости 144
счётности 141
База 140
Базис гильбертов 123
Внутренность 132
Гильбертов кирпич 166
Граница 132
Естественное представление 169
Замкнутость 80
Замыкание 132, 133
Изоморфизм квазинормированных
пространств 190
Индикатор множества
нечёткий 194
стандартный 194
Интеграл 88
Бохнера 114
нечёткий 195
Интегрируемость по Pettis 109
Квазинорма 17, 190
Квазиполунорма 19
Класс L+ 179
Ковариация 120
Компакт 163
Компактное расширение 169
Александрова 170
Стоуна-Чеха 170
Тихонова 170
Критерий
предкомпактности 25
слабой предкомпактности 40, 45,
46
счётно-компактности 44
Лемма
Бореля-Кантели 32
Леви 50
о монотонной аппроксимации 191
Урысона 156
Фату 191
Математическое ожидание 108
Мера
вероятностная гладкая 57
непрерывная 92
почти наверное регулярная 93
радонова 53
регулярная 53
Метризация топологических пространств
158
Метрика Прохорова 26
Множество
всюду плотное 142
замкнутое 132
206
Предметный указатель 207
направленное 135
нечёткое 193
открытое 132
принадлежностей 193
Момент пересечения 197
Направление 135
Направленность 136
Нарост 168
Нечёткая логика 194
Окрестность 132, 133
Отображение
гомеоморфное 159
замкнутое 159
непрерывное 159
открытое 159
топологическое 159
Пересечение
случайных последовательностей 197
марковское 197
реализуемое 197
слабое 197
Подмножество
ограниченное 16
цилиндрическое 7
Поднаправленность 136
Подпространство 132
вполне решётчатое 177
Рисса 177
Полуметрика 142
инвариантная относительно
сдвига 67
Леви-Прохорова 54
разделяющая 143
Пополнение 10, 190
Порождение 146
Последовательность
d-фундаментальная 49, 184, 190
фундаментальная
по вероятности 47, 49, 51
почти наверное 47, 49, 51
Предбаза 144
Предел последовательности 134
Проекция 160
Пространство
вполне квазинормированное 191
ограниченное 165
регулярное 85, 150
квазинормированное 190
полное 190
Колмогорова 145
компактное 163
линделёфовое 164
линейно сепарабельное 75
линейное топологическое 1
локально выпуклое 2
мультинормированное 1
мультипольское 62
нормальное 145
полуметрическое 143
польское 25
прямое произведение 160
тихоновское произведение 160
топологическое произведение 160
равномерно сопряжённое 19
регулярное 145
связное двоеточие 147
секвенциально компактное 164
сепарабельное 142
сильно сопряжённое 19
слабо сопряжённое 19
слипшееся двоеточие 147
совершенно нормальное 157
счётно-нормированное 3
Тихоновское 150
топологическое 131
208 Предметный указатель
хаусдорфово 145
F-пространство 3
L-пространство 175
r-пространство 177
Равенство Парсеваля 123
Регенерирующий процесс 201
Свёртка 15, 116
Свойство
Гейне-Бореля-Лебега 163
стоун-чеховской компактификации
171, 172
Сеть 44
Семейство функций
расчленяющее 154
регулярное 155
Система
полная, ортонормированная 123
Урысона 154
След 132
Случайный элемент 14, 75-79, 83, 87
бэровский 82
нормальный 119
симметричный 16
Сходимость 135
по вероятности 29, 30, 31, 33, 42,
43, 48-50, 67, 70, 75
Мору-Смиту 136
полуметрике 30, 64, 65
почти наверное 11, 29, 31-33, 43,
48-50, 67, 70, 75
слабая 25, 29, 31, 41, 42, 43, 59, 60,
64, 65, 67, 70
широкая 175
p-сходимость 184
Теорема
Беппо Леви 182
Джеймса Александера 163
Лебега 111, 183
о полноте 110
Прохорова 47
Титце-Урысона 156
Тихонова 158, 163
Урысона метризационная 158
Фату 183
Фубини 15
Хана-Банаха 4
Тихоновский куб 166
Топология 131
дискретная 132
тривиальная 132
Точка
внутренняя 132
предельная 132
Управление последовательностью 198
Упорядочивание топологий 131
Условие Больцано-Вейерштрасса 164
Функционал
компактный 16
характеристический 114, 115
Функционально отделимые множества
149
слабо 149
Функция
непрерывная 148
Урысона 156
характеристическая 14
Цилиндр 7, 160
с основанием 160
элементарный 160
Шар 21, 141
Указатель обозначений
o, 0 – нулевой элемент;
card – мощность множества;
# – размерность множества;
→, ↑, ↓ – сходимости;
п.н.
−−→ – почти наверная сходимость;
по вер.
−−−−→ – по вероятности сходимость;
ш
−→ – широкая сходимость;
→, 7→,f−→ – отображение;
id – идентичное (тождественное) отображение;
def
= – равно по определению;
∼ – отношение эквивалентности;
f
∼ – отношение эквивалентности по свойству f ;
⇔, ↔ – отношение эквивалентности высказываний (т. и тт.);
⇒, ⇁, ⇐ – импликация;
(λx)E(x) – представление функции;
< x, y > – скалярное произведение.
∗(1)
X
= X∗– класс непрерывных линейных функционалов;
∗(2)
X
= { f — лин. ф – л, ∃ Q ∃ c > o ∀x : |f (x)| 6 c · Q(x) };
∗(3)
X
= { f — лин. ф – л, ∀Q ∃ c > o ∀x : |f(x)| 6 c · Q(x) };
∗(4)
X
= { f — лин. ф – л, ∃ c ∀ Q ∀x : |f (x)| 6 c · Q(x) }.
B(X) – σ – алгебра борелевских подмножеств множества X;
mes(X) – класс конечных мер на B(X);
C(X ) – класс непрерывных ограниченных функций на X;
M
– класс вероятностных мер на F(X) с сепарабельным носителем.
o
Список сокращений
ЛВП Локально выпуклое пространство;
ЛТП
МП
МНП Мультинормированное пространство;
МПП Мультипольское пространство;
ММП
СНП
ТП Топологическое пространство;
SMS
SPS
SFS semi–Fr e’chet space; d – инвариант;
SBS
SHS
Линейное топологическое пространство;
Метрическое пространство;
Мультиметрическое пространство;
Счётно – нормированное пространство;
"вполне регулярное пространство";
"semi–metrique space"; "complete SMS";
semi–polish space; это ММП (X, D) такое, что
[kd(X), kd(d)] – польское пространство ∀d ∈ D;
semi–Banach space; d – полунорма;
semi–Hilbert space; d задается скалярным произведением.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]