Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метризация топологических пространств
.pdf
Приложение A
Топологические пространства
A.1 Топология
Если τ есть семейство всех открытых множеств некоторого метрического
пространства, то
1.1 пересечение двух элементов из τ есть элемент из τ ;
1.2 объединение элементов любого подсемейства семейства τ есть элемент
из τ.
По определению топология есть семейство τ множеств (называемых открытыми), удовлетворяющее условиям 1.1 – 1.2.
A.2 Топологическое пространство
Пусть X – произвольное множество, сем ейство τ ⊂ P(X) является топологией и X ∈ τ, ∅ ∈ τ; здесь P(X) = 2X— совокупность всех подмножеств
множества X.
Пара (X, τ ) называется топологическим пространством (топ. пр.). При этом
X есть пространство – носитель топологии τ, а τ есть топология на X :
[
X =
A ∈ τ.
A∈τ
A.3 Упорядочение топологий
Топологии на X частично упорядочиваются естественным образом (по вложению). При этом говорят, что топология τ1сильнее или тоньше топологии
131
132 Приложение A
τ2, если τ1⊃ τ2. В этом случае говорят еще, что топология τ2слабее или
грубее топологии τ1.
Минимальная топология τ = {X, ∅} на X называется тривиальной.
Максимальная топология τ = P(X) на X называется дискретной. При
этом топологическое пространство (X, τ ) тоже называется дискретным.
Отметим, что пересечение произвольного множества топологий на X есть
топология на X ( если ταесть топология на X для любого α ∈ I, то
есть топология на X ). В частности, если A ⊂ P(X), то существует минимальная топология на X, содержащая A ( как пересечение топологий на X,
содержащих A ).
T
τα,
α∈I
A.4 Подпространство
Следом семейства τ ⊂ P(X) на множествo A ⊂ X называется семейство
τA= {A ∩ B : B ∈ τ }.
В частности, если τ – топология на X, то τA– топология на A. При этом
топологическое пространство (A, τA) называется подпространством топологического пространства (X, τ ).
A.5 Окрестность
Пусть (X, τ) есть топологическое пространство.
◮ Подмножество A ⊂ X называется открытым, если A ∈ τ.
◮ Множество A ⊂ X называется замкнутым, если Ac= X r A является
открытым.
◮ Окрестность точки x ∈ X есть всякое открытое множество, содержа-
щее x.
◮ Точка x есть точка прикосновения множества A ⊂ X, если всякая окрест-
ность точки x содержит точку из A.
◮ Точка x называется предельной точкой (или точкой накопления) множе-
ства A, если всякая окрестность точки x содержит точку из A, отличную от x. Совокупность всех точек прикосновения множества A называется замыканием множества A и обозначается A или [ A ] или A−.
Приложение A 133
◮ Внутренняя точка множества A есть точка, содержащаяся в A вместе с
некоторой ее окрестностью.
◮ Множество внутренних точек множества A называется внутренностью
множества A и обозначается A◦.
◮ Границей множества A называется множество ∂A = A r A◦= A ∩ Ac.
Замечание. Часто выкладки проводятся проще, если под окрестностью
точки понимать произвольное множество, содержащее открытое множество,
в котором находится указанная точка. По крайней мере, определения из этого
пункта остаются в силе.
A.6 Задание топологии на
замкнутых множествах
Если
τ есть семейство всех замкнутых множеств топ. пр. (X, τ ), то:
6.1 A ∈ τ, B ∈ τ =⇒ A ∪ B ∈ τ;
T
6.2
Обратно, если τ ⊂ P(X), выполнены условия 6.1 – 6.2 и X ∈ τ , ∅ ∈ τ, то
семейство
есть топология на X (тем самым, семейство замкнутых множеств топологического пространства задает топологию этого пространства).
A ∈ τ : ∀τ′⊂ τ, что следует из 1.1 и 1.2.
′
A∈τ
τ = {A : Ac∈
τ}
A.7 Задание топологии операцией замыкания
Отметим, что операция замыкания множеств удовлетворяет следующим условиям ( аксиомам замыкания ) Куратовского:
7.1 ∅ = ∅;
7.2 A ⊂ A;
7.3 A ∪ B = A ∪ B;
134 Приложение A
7.4 A = A.
Обратно, если f : A 7→ A есть отображение, ставящее в соответствие
всякому подмножеству A ⊂ X некоторое подмножество f (A) = A ⊂ X, и
при этом выполнены аксиомы Куратовского [ такое отображение называют
оператором замыкания Куратовского ], то семейство
τ = {A : Ac∈
τ},
где
τ = {A ⊂ X : A = A}
есть топология на X. Кроме того, τ – замыкание всякого множества A ⊂ X
[ т. е. замыкание множества A топологического пространства (X, τ ) ] совпадает с f(A).
Действительно, из 7.1 следует ∅ ∈ τ, из 7.2 следует X ⊂ X ⊂ X, т. е.
X = X, и значит X ∈ τ . Осталось проверить 6.1 и 6.2.
Если A ∈
τ и B ∈ τ, то согласно 7.3 имеем A ∪ B = A ∪B = A ∪B, откуда
A ∪ B ∈ τ .
Проверим теперь 6.2. Пусть τ′⊂
τ. Тогда для всякого B ∈ τ′, полагая
\
имеем F ⊂ B, откуда F ⊂
F =
F ⊂ B = B и значит
A∈τ
A,
′
\
F ⊂ F ⊂
F = F или F ∈ τ. Здесь было использовано утверждение: F ⊂ B =⇒ F ⊂
т. е.
B∈τ
B = F,
′
B, которое следует из 7.3, так как B = F ∪ (B r F ) и B = F ∪ (B r F ) ⊃ F.
Отметим, что аксиома 7.4 еще не использовалась ( хотя уже показано, что
определенное выше семейство τ есть топология на X ). Теперь из 7.4 следует,
что A ∈ τ, и значит τ – замыкание множества A совпадает с A.
A.8 Задание топологии в терминах сходимости
8.1 В топологическом пространстве X естественным образом определяется
предел последовательности: x есть предел последовательности {xn} ⊂ X, что
записывается xn→ x или x = limnxn, если для любой окрестности точки x
все элементы этой последовательности содержатся в этой окрестности кроме,
быть может, их конечного числа. При этом выполнены свойства:
Приложение A 135
8.1.1 если xn→ x, то x
→ x : nk→ ∞, k ↑ ∞;
n
k
8.1.2 если xn= x : ∀n, то xn→ x;
8.1.3 если последовательность {xn} не сходится к x, то она содержит
подпоследовательность {x
}, никакая подпоследовательность которой не схо-
n
k
дится к x.
Замечание. По определению {x
} – подпоследовательность последова-
n
k
тельности {xn} означает: функция k 7→ nkудовлетворяет лишь условию
nk→ ∞ при k ↑ ∞ и, в частности, не обязана быть монотонной.
В терминах сходящихся последовательностей можно определить оператор
замыкания: X ⊃ A 7→ A∗⊂ X, обозначая через A∗множество тех точек
x ∈ X, которые являются пределом некоторой последовательности {xn} ⊂ A.
Спрашивается, можно ли в терминах сходимости задать топологию?
Более точно этот вопрос можно сформулировать следующим образом:
Пусть в произвольном множестве X выделен некоторый класс последовательностей (называемых сходящимися ), причем каждой последовательности
{xn} этого класса поставлен в соответствие элемент x = limnxn( пишется
также xn→ x ) таким образом, что выполнены условия 8.1.1 – 8.1.3.
Выполняются ли для определенного выше оператора A 7→ A∗аксиомы
замыкания Куратовского? Это однозначно определяло бы топологию на X
(согласованную с предложенной сходимостью).
Оказывается, что из условий 8.1.1 – 8.1.3 следуют все аксиомы Куратовского, кроме A∗∗= A∗. Для выполнения последней аксиомы требуется еще и
следующее свойство повторного предела.
8.1.4 (свойство повторного предела). Пусть x = limm(limnxmn). То-
гда ∀U окрестности точки x ∃mo∈ N и ∃fo: N → N такие, что x
mf(m)
U : ∀ m > moи ∀f > fo; здесь f > foдля отображения f : N → N означает
f(i) > fo(i) : ∀ i.
Эти рассуждения обобщаются на случай, когда индекс n последовательности xnпринимает свои значения не только из счетного упорядоченного
множества N = {0, 1, 2, . . . }, что оформляется следующим образом.
8.2 Н а пра вленное множество, направленность, поднаправленность.
Порядок 6 на множестве A называется направлением на A, если
∀α, β ∈ A ∃γ ∈ A такое, что α 6 γ, β 6 γ.
∈
136 Приложение A
Пара (A, 6), в которой 6 есть направление на A, называется направлен-
ным множеством (в терминологии Бурбаки – множеством, фильтрующимся
вправо). Чаще направленное множество (A, 6) обозначается просто A, если
ясно о каком направлении 6 идет речь.
Декартово произведение направленных множеств Ai: i ∈ I есть на-
правленное множество F =QAiс направлением, которое обозначим тем же
символом 6, что и направление на каждом Ai. Полагаем f 6 g, если f(i) 6
g(i) : ∀i ∀f, g ∈ F. Множество F состоит из функций f : I ∋ i 7→ f(i) ∈ Ai.
Если A – направленное множество, X – некоторое множество, то отображение S : A → X называется направленностью в X ( или сетью в X, или
последовательностью в X по направленному множеству A ). Понятие направленности обобщает понятие последовательности и совпадает с последним в случае A = N = {0, 1, 2, ...} при естественном порядке на N. В этой
связи направленность S : α 7→ xαчаще обозначается через {xα: α ∈ A}
или просто {xα}, хотя {xα} означает множество, состоящее из элементов
xα: α ∈ A. Более того для направленности {xα} будем писать {xα} ⊂ U,
если xα∈ U : ∀α ∈ A.
Термин "направленность" предложил А. Архангельский.
Понятию подпоследовательности соответствует следующее понятие поднаправленности. Неформально это выглядит так. Направленность {yβ} называется поднаправленностью направленности {xα}, если существует функция
β 7→ αβтакая, что
1oyβ= x
α
β
: ∀ β;
2oесли β велико, то αβвелико, т.е. ∀ αo∃βoтакое, что β > βoвлечет
αβ> αo.
Формальное же определение таково. Направленность T : B → X называется
поднаправленностью направленности S : A → X, если существует отображе-
ние N : B → A такое, что
1oT = S ◦ N, т. е. B ∋ β 7→ T (β) = S(N (β)) ∈ X;
2o∀αo∈ A ∃βo∈ B такое, что β > βoвлечет N (β) > αo.
Здесь направления на A и B обозначаются одним символом 6 .
8.3 Прямая теорема. Пусть A – направленное множество, X – тополо-
гическое пространство. По определению направленность {xα} в X сходится
к x ∈ X, если для всякой окрестности U точки x существует αo∈ A такое,
Приложение A 137
что xα∈ U для α > αo(сходимость по Мору – Смиту). Этот факт записывается в виде xα→ x или limαxα= x. Выполнены следующие свойства
такой сходимости:
8.3.1 если xα→ x, то любая поднаправленность {yβ} сходится к x;
8.3.2 если xα= x : ∀α, то xα→ x;
8.3.3 если направленность {xα} не сходится к x, то существует подна-
правленность, никакая поднаправленность которой не сходится к x;
8.3.4 (свойство повторного предела). Пусть для каждого α ∈ A
задано направленное множество Bα; xαβ∈ X : α ∈ A и β ∈ Bα. Рассмотрим
еще направленное множество A × F = A ×
(α, f ) ∈ A × F }, полагая y
y
→ x.
(α,f)
(α,f)
= x
αf(α)
Q
Bαи направленность {y
α
(α,f)
. Тогда l i mα(limβxαβ) = x влечет
Доказательство теоремы.
:
Свойство 8.3.1 Пусть xα→ x и U – произвольная окрестность точки x.
Выберем αo∈ A так, чтобы xα∈ U при α > αo. В силу определения
поднаправленности {yβ} имеем yβ= x
для некоторой функции β 7→
α
β
αβи существует βo, что при β > βoвыполнено αβ> αoи значит yβ=
x
∈ U. Итак, для произвольной окрестности U точки x существует β
α
β
такое, что yβ∈ U при β > βo. Следовательно, yβ→ x.
Свойство 8.3.2 Очевидно.
Свойство 8.3.3 Пусть xα6→ x. Тогда существует окрестность U точки x,
такая что ∀αo∃α > αoи xα∈U. Положим B = {β ∈ A : xβ∈U} ⊂ A.
Тогда ∀α ∈ A ∃β ∈ B такое, что β > α. Отсюда следует, что порядок
на B, индуцируемый направлением на A, является направлением на B.
Теперь направленность {yβ} = {yβ= xβ: β ∈ B} является искомой
поднаправленностью направленности {xα}.
Свойство 8.3.4 Пусть limα(limβxαβ) = x. Покажем, что y
→ x по на-
(α,f)
правленному множеству A × F. Пусть U – произвольная окрестность
точки x. Следует найти (αo, fo) ∈ A×F, такие, чтобы y
(α,f)
= x
αf(α)
∈ U
при (α, f) > (αo, fo). Положим limβxαβ= xα. Так как xα→ x, то
∃αo∈ A такое, что xα∈ U при α > αo. Так как U есть окрестность
o
138 Приложение A
точки xα( при α > αo) и xαβ→ xα, то ∃βo= fo(α) такое, что xαβ∈ U
при β > βo. Функция fo: α 7→ fo(α) ∈ Bαопределена для α > αo. Для
остальных α определим fo(α) произвольно, лишь бы fo(α) ∈ Bα. Если
теперь (α, f ) > (αo, fo), то y
(α,f)
= x
(αf(α))
∈ U.
8.4 Обратная теорема. Пусть X – некоторое множество, Σ – множество
направленностей в X, называемых сходящимися; при этом каждой сходящейся направленности {xα} сопоставлен элемент x = limαxα( пишется также
Σ
x
−→ x ), называемый Σ – пределом (или просто пределом) направленности
α
{xα}. Формально Σ = {(S, x)} есть множество пар (S, x), где S – направленность в X, а x – элемент из X.
Предполагаем, что выполнены свойства 8.3.1 – 8.3.4. Каждому множе-
ству E ⊂ X сопоставим множество
E ⊂ X тех x ∈ X, которые являются
пределами сходящихся направленностей {xα} ⊂ E.
8.4.1 Теорема. Оператор E 7→ E есть оператор замыкания Куратов-
ского (т.е. удовлетворяет аксиомам Куратовского 7.1 – 7.4).
Обозначим через τ = τΣтопологию, порожденную этим оператором замыкания, см. 7. Сходимость некоторой направленности {xα} к элементу x
относительно этой топологии будем обозначать x
τ
−→ x и говорить, что эле-
α
мент x есть τ – предел направленности {xα}.
8.4.2 Теорема. x
Σ
−→ x ⇐⇒ x
α
α
τ
−→ x.
При доказательстве этих теорем воспользуемся следующими простыми
утверждениями, которые сформулируем в виде Лемм.
8.4.3 Лемма. Пусть A – направленное множество, B ⊂ A и ∀α ∈ A
∃β ∈ B такое, что β > α. Тогда порядок на B, индуцируемый направлением
на A, есть направление на B. В частности, если {xα} – направленность, то
{xβ: β ∈ B} – поднаправленность.
Действительно, ∀β1и β2∈ B ⊂ A ∃α ∈ A такое, что β16 α, β26 α. По
условию для α ∈ A существует β ∈ B такое, что β > α. Это дает β16 β,
β26 β.
Отметим, что мы уже пользовались этим утверждением при доказатель-
стве свойства 8.3.3.
Приложение A 139
8.4.4 Лемма. Пусть A – направленное множество, A = B1∪B2. Тогда
B1и/или B2– направленное множество (порядок на B1и B2индуцируется
порядком на A).
Доказательство Теоремы 8.4.1
1o∅ = ∅, так как всякая направленность {xα} 6= ∅.
2oПроверим E ⊂ E. Если x ∈ E и xα= x для всех α из направленного
множества A, то согласно 8.3.2 направленность {xα} ⊂ E сходится к x,
т. е. x ∈ E.
3oПроверим E ∪ F = E ∪ F . Так как E ∪ F ⊃ E, E ∪ F ⊃ F, то
E ∪ F ⊃ E, E ∪ F ⊃ F, т.е. E ∪ F ⊃ E ∪ F . Пусть теперь x ∈ E ∪ F ,
тогда существует направленность {xα: α ∈ A} ⊂ E ∪ F, сходящаяся
к x. Положим B1= {α : xα∈ E}, B2= {α : xα∈ F }. Так как A =
B1∪ B2, то B1и/или B2– направленное множество. Если, например,
B1– направленное множество, то {xβ: β ∈ B1} – поднаправленность
направленности {xα} и значит согласно 8.3.1 xβ→ x, {xβ} ⊂ E, что
дает x ∈ E. Таким образом, E ∪ F ⊂ E ∪ F .
4oПроверим
жества M ⊂ X. Пусть теперь x ∈
E = E. Имеем E ⊃ E, так как M ⊃ M для всякого мно-
E. Тогда существует направленность
{xα: α ∈ A} ⊂ E, сходящаяся к x. Так как xα∈ E, то существует
направленность {xαβ: β ∈ Bα} ⊂ E, сходящаяся к xα. Таким образом,
x = limαxα= limα(limβxαβ). Согласно 8.3.4 существует направленность
{y
}, сходящаяся к x; а так как y
(α,f)
поэтому x ∈
E.
(α,f)
= x
αf(α)
∈ E, то {y
(α,f)
Доказательство Теоремы 8.4.2
1oПусть x
Σ
−→ x и xα6τ−−→ x. Тогда существует окрестность U точки x
α
(в топологии τ ) такая, что ∀α ∃β > α такая, что xα∈ Uc. Положим
B = {β : xβ∈ Uc}. Согласно Лемме 8.4.2 {xβ: β ∈ B} есть поднаправ-
ленность и xβ→ x; следовательно, x ∈ [ Uc] = Uc, что противоречит
x ∈ U. Таким образом, x
2oПусть x
τ
−→ x и xα6Σ−−→ x. Здесь впервые используется свойство 8.3.3.
α
Σ
−→ x =⇒ x
α
α
τ
−→ x.
Согласно свойству существует поднаправленность {yβ}, никакая подна-
правленность которой не сходится к x (относительно Σ). Но y
τ
−→ x. Так
β
} ⊂ E,
140 Приложение A
что с самого начала можно считать, что x
ленность не сходится к x относительно Σ. Сходимость x
τ
−→ x и никакая поднаправ-
α
τ
−→ x влечет
α
x ∈ {xα}, так как всякая окрестность точки x содержит точку из {xα}.
По определению же замыкания множества E = {xα: α ∈ A} ⊂ X вклю-
чение x ∈ E означает, что существует направленность {yβ: β ∈ B} ⊂ E
такая, что y
Σ
−→ x. Но {yβ} есть поднаправленность направленности
β
{xα}. [ Действительно, {yβ} ⊂ {xα} означает, что ∀β ∈ B ∃αβ∈ A
такое, что yβ= xαβ; кроме того, если β велико, то и αβвелико, т.е.
∀αo∈ A ∃βo∈ B такое, что β > βoвлечет αβ> αo]. Полученное
противоречие означает, что x
τ
−→ x =⇒ x
α
α
Σ
−→ x.
8.4.5 Комментарий. Из доказательства видно, что Теорема 8.4.1 верна без Предположения 8.3.3. Что касается Теоремы 8.4.2, то без указанного
Предположения верно лишь, что x
Σ
−→ x =⇒ x
α
τ
−→ x. Топология же τ
α
определяется только свойствами 8.3.1 – 8.3.2 (из которых следуют первые
три аксиомы Куратовского 7.1 – 7.3).
A.9 База топологии
Пусть (X, τ ) – топологическое пространство. Семейство Σxоткрытых множеств, содержащих точку x, называется базой (топологии τ) в точке x, если
для всякой окрестности G точки x существует U ∈ Σxтакое, что U ⊂ G.
Семейство Σ ⊂ τ называется базой (топологии τ), если всякое открытое
множество является объединением некоторых открытых множеств из Σ.
9.1 Некоторое семейство Σ открытых множеств является базой, если и
только если для всякого открытого множества A и точки x ∈ A существует
B ∈ Σ такое, что x ∈ B ⊂ A.
Действительно, если Σ есть база и x ∈ A ∈ τ, то из A =SB, где
A ⊃ B ∈ Σ, следует x ∈ B ⊂ A для некоторого B ∈ Σ. Обратное утверждение следует из представления всякого открытого множества A в виде
[
A =
Bx: Bx∈ Σ и x ∈ Bx⊂ A.
x∈A
9.2 База Σ обладает свойством: если точка x содержится в пересечении
двух множеств G1и G2из Σ, то су щ ествует множество G из Σ такое, что
x ∈ G ⊂ G1∩ G2.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]