Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метризация топологических пространств
.pdf
6.18 Ковариации банахова пространства 121
линейных непрерывных функционалов на X снабжается (в виду невозможности говорить о норме функционала) топологией (называемой ∗ – слабой
топологией), порождаемой сходимостью X′∋ fn→ f ∈ X′, означающей
fn(x) → f(x) : ∀x ∈ X.
В этой связи используется обозначение X′, а не X∗для сопряженного
к X пространства, подчеркивая указанный выбор топологии в X′. Тем самым, X′становится линейным топологическим пространством, для которого
аналогично определяется сопряженное пространство (X′)′= X′′и т.д.
Конечно, как и в случае нормального пространства X, X можно снабдить
слабой топологией: xn→ x означает f (xn) → f(x) : ∀f ∈ X′. Аналогично
вводится слабая топология в X′(через X′′) и т.д.
[ 2 ] Лемма. Ковариация S непрерывна: если fm→ f (т. е. fm(x) → f (x) :
∀x ∈ X) и gn→ g, то
S(fm, gn) → S(f, g)
В частности, D(fm) → D(f ).
Доказательство.
b
1oПроверим, что
N(fm) →bN(f ) . Это следует из теоремы Лебега (о пре-
дельном переходе под знаком интеграла для мажорируемой последовательности), так как
∀x : e
ifm(x)
→ e
if(x)
и
ifm(x)
e
= 1.
2oИз 1oследует D (fm) → D(f ).
3oПроверим D (fm− f) → o. Это следует из 2o, т. к. (fm− f) (x) → o : ∀x.
Или из
∀f, g ∈ X′: σ(f + g) 6 σ(f ) + σ(g), σ2(f) = D(f ), σ(f) > o,
что даёт
σ (fm− f) 6 |σ (fm) − σ(f)| → 0.
4oНаконец,
|S (fm, gn) − S(f, g)| 6 |S (fm, gn) − S (f, gn)| + |S (f, gn) − S(f, g)|
= |S (fm− f, gn)| + |S (f, gn− g)|
6 σ (fm− f) · σ (gn) + σ(f) · σ (gn− g) → 0.
122 Глава 6 Безгранично делимые распределения
Следствие. ∀f ∈ X′функционал Rf : g 7→ S(f, g) является линейным
непрерывным функционалом на X′и потому Rf ∈ X′′.
(Линейный) оператор R : X′→ X′′называется ковариационным
оператором меры Pξ= µ (или сл. элемента ξ). Чтобы подчеркнуть за-
висимость R от вероятностной меры µ на F(X ), будем иногда писать Rµ.
[ 3 ] Таблица топологий рассматриваемых пространств.
Для наглядности топологии ( или соответствующие им сходимости ) в X, X
и X′′изобразим таблицей.
Пр-во Сходимость Означает Влечет
X xn→ x Согласно топологии в X
′
X
X
′′
fn→ f fn(x) → f(x) : ∀x ∈ X
ϕn→ ϕ ϕn(f) → ϕ(f ) : ∀f ∈ X
f(xn) → f(x) : ∀f ∈ X
ϕ(fn) → ϕ(f) : ∀ ϕ ∈ X
′
′
′′
Как всегда, X естественно вкладывается в X′′посредством отображения
x 7→ ϕx, полагая ϕx(f) = f (x) : ∀f ∈ X′.
Проверим, что линейный функционал ϕxна X′непрерывен.
Пусть fn→ f, что означает fn(x) → f (x) : ∀x ∈ X. В частности,
ϕx(fn) = fn(x) → f(x) = ϕx(f). Итак, ϕx∈ X′′: ∀ x ∈ X.
[ 4 ] Отметим, что ковариационный оператор R : X′→ X
неотрицательно
– определенным. Это означает:
′′
является
билинейная форма (Rf )(g) = S(f, g) неотрицательно определена;
оператор симметричный, т. е. (Rf )(g) = (fR)(g) : ∀f, g ∈ X′.
Задача. Описать класс ковариаций или ковариационных операторов нормального распределения.
В частности, для всякой ли положительно определенной непрерывной билинейной формы S : X′× X′→ R1(или для всякого положительно определенного симметричного оператора R : X′→ X′′) существуют вероятностное
пространство (Ω, Σ, P ) и случайный элемент ξ со значениями в X (т.е. измеримое отображение (Ω, Σ) в [ X, F(X) ]) такие, что ξ имеет нормальное
распределение с ковариацией S (или ковариационным оператором R) ?
′
Комментарий. Поиск ответа можно начать, используя возможность: положительно определённая форма S на X′превращает X′в гильбертово пространство со скалярным произведением < f, g >= S(f, g).
6.18 Ковариации банахова пространства 123
Решение. Пусть H – полное гильбертово пространство (не обязательно се-
парабельное). Определим
Пусть (cα)A= (cα)
где sup берётся по Ao⊂ A с #Ao< ∞.
α∈A
P
Проверим, что
α∈A
P
xαне обязательно счётного числа элементов.
α
– набор неотрицательных чисел. Положим
X
cα= sup
α∈A
X
cα,
A
o
α∈A
o
cα< ∞ тогда и только тогда, когда множество
A∞= { α ∈ A : cα> 0 }
P
не более чем счётно и
Действительно, каждое из множеств An=α ∈ A : cα>
P
( иначе
cα≮ ∞ ) : n = 1, 2, . . . , . Остаётся воспользоваться
α∈A
α∈A
cα< ∞.
∞
1
n
конечно
A∞=[An.
P
При таком определении
cαостаётся в силе теория гильбертовых про-
A
странств ( cм. Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. [11, стр. 110 – 117; 1988] ), а
именно:
X существует полная ортонормированная система (xα)A⊂ X; это значит:
• < xα, xβ>= δαβ;
• ортогональное дополнение к (xα)Aсостоит из нуля.
X выполняется равенство Парсеваля
X
< x, x > =
| < x, xα> |2:
α∈A
• (xα)Aявляется гильбертовым базисом, т.е.
X
x =
cαxα, cα=< x, xα> : ∀x ∈ H
α∈A
( что означает:
< x, x > =
X
| < x, xα> |2=
A
X
| < x, xα> |2и x =
A
∞
X
A
∞
cαxα,
124 Глава 6 Безгранично делимые распределения
где A∞– не более, чем счётное подмножество множества A или
X
|cα|2=
A
X
|cα|2и x =
A
∞
X
A
∞
cαxα).
Далее необходимо реализовать схему.
1oX – ЛТП, S : X′×X′→ R1– билинейная положительно определенная
симметричная форма; положим < f, g > = S(f, g).
2oX#– пополнение X′относительно нормы < f, f >
1/2
; [ X#, < ·, · > ] –
полное гильбертово пространство: ⊃ [ X′, < ·, · > ].
Q
3oОпределим отображение F : X → F (X) ⊂ RA=
Rαдля Rα= R1,
A
F (x) = (fα(x))A: (fα)A– ортонормированный базис в X#. В действительности, F (x) = RA, т. к. F – линейно и projαF (X) = R1. Причем
F – линейная биекция: F(x) = F (y =⇒ x = y, т. к. fα(x) = fα(y) : ∀α.
В силу X#⊃ X′∋ f =
P
.
cαf
α
A
Задача. Доказать последнее равенство.
f(x) = f (y) : ∀ f ∈ X′, что даёт x = y.
4oПусть: X ∋ x ⇌ (xα)A= F (x) ∈ RA;
Ω = RA, Σ = B(RA) [ соответствие тихоновскому произведению ];
ξ = (ξα)A, ξα(ω) = ξα(ωα) c распределением N(0, 1).
Задача (тогда доказать). fα(ξ) = ξα∼ N(0, 1), (ξα)Aпопарно незави-
симы.
f(ξ) =
g(ξ) =
X
cαfα(ξ) =
X
dαfα(ξ) =
X
cαξα[ при f =
X
dαξα[ при g =
X
cαfα],
X
dαfα], что даёт
X
Ef (ξ)g(ξ) =
cαdα= < f, g > = S(f, g).
Этим проверяется существование случайного элемента ξ, имеющего (центрированное) нормальное распределение с ковариацией S.
( См. еще Вахания Н.Н., Тариеладзе В.И., Чобанян С.А. [5, стр. 139 – 143;
144 –. . . ; 260 – 261, 264; 1985] ).
Задача! Является supp N линейным подпространством пространства X ?
6.18 Ковариации банахова пространства 125
[ 5 ] Комментарий. Предыдущие рассуждения, начиная с раздела [ 3 ]
стр. 122, не связаны с конкретным видом меры N на F(X): для определения ковариации S и ковариационного оператора может быть использована
произвольная вероятностная мера µ на F(X).
Z
S(f, g) =
α =
f(x − α)g(x − α)µ(dx) = (и / или)
X
Z
=
f(x)g(x)µ(dx) −
X
Z
Z
f(x)µ(dx) ·
X
xµ(dx) (по Pettis′у),
X
Z
g(x)µ(dx),
X
предполагая [ или доказывая, см. Раздел 6.18 [ 2 ] стр. 121 для µ = N ] непрерывность S(f, g) : f, g ∈ X′. Чтобы подчеркнуть зависимость S и/или R от µ
будем их обозначать Sµи Rµ, соответственно.
( Относительно непрерывности S см. Вахания Н.Н., Тариеладзе В.И., Чобанян С.А. [5, Предложение 21 стр. 139; 1985], по аналогии ).
[ 6 ] Лемма. Пусть:
1oX — слабо полное ЛТП;
2oξ ∈ Po(X) (см. стр. 111);
3oE|f(ξ)g(ξ)| < ∞ : ∀f, g ∈ X′.
Тогда η = f(ξ) : ξ ∈ P(X ), более того, η ∈ Po(X).
Комментарий. η интегрируемо по Pettis, т.е. существует элем ент Eη ∈ X
такой, что g(Eη) = Eg(η) : ∀g ∈ X′, но g(η) = f (ξ)g(ξ).
Полагая R : f 7→ Eη ∈ X, получим линейный оператор R : X′→ X, для
которого
g(Rf ) = Ef (ξ)g(ξ) = S(f, g).
Т. е. получили ковариационный оператор R : X′→ X′′, который в действительности отображает X′в X ( вложение в X′′).
126 Глава 6 Безгранично делимые распределения
Доказательство Леммы. Воспользуемся Следствием на стр.111.
Положим: ηn= f (ξn) ξn, где ξn(ω) → ξ(ω) равномерно по ω; ξn–
счетнозначны; F(X) – измеримы.
1oПроверим, что ηn∈ P (X). Более того, ηn∈ Po(X).
Во-первых, ηnявляется F(X ) измеримым отображением Ω → X [ ∀g ∈ X′:
g (ηn) = f ( ξn) · g (ξn) является сл. величиной, т. к. f (ξn) и g (ξn) – сл.
величины ]. Во-вторых, ∀g ∈ X′∀ε > 0 ∃ окрестности Uεи Vεточки o ∈ X
такие, что |f(x)| < ε : x ∈ Uε, |g(x)| < ε : x ∈ Vε; значит
|f(x)| < ε и |g(x)| < ε : x ∈ Wε= Uε∩ Vε.
В-третьих, ∃число nε( в силу равномерной сходимости ξn→ ξ), что ∀ ω (ξn(ω) −
ξ(ω) ∈ Wε) : n > nε, т. е.
|f(ξn) − f (ξ)| < ε и |g(ξn) − g(ξ)| < ε : n > nε. (∗)
Значит
|f (ξn) · g (ξn)| 6 (|f(ξ)| + ε) · (|g(ξ)| + ε),
т. е. g (ηn) = f (ξn) · g (ξn) интегрируемо.
Так как ηnсчетнозначно и интегрируемо, то ηn∈ Po(X) (см. стр. 112).
2oη
п. н.
−−−→ η = f (ξ) ·ξ. Поэтому согласно Cледствию
n
на стр. 111 осталось
показать, что ∀g ∈ X′(E |g (ηi) − g (ηj)| → o) : i, j → ∞.
Имеем
E |g (ηi) − g (ηj)| = E|f (ξi) g (ξi) − f (ξj) g (ξj) |
6 E |f (ξi) g (ξi− ξj)| + E |f (ξi− ξj) g (ξj)|
1
6 Ef2(ξi) · Eg2(ξi− ξj)
тметим, что в силу (∗) на стр. 126,
О
2
+ Ef2(ξi− ξj) · Eg2(ξj)
f2(ξn) 6 (|f(ξ)| + ε)2и g2(ξn) 6 (|g(ξ)| + ε)2: ∀n > nε.
Значит Ef2(ξi) < ∞, Eg2(ξj) < ∞ : ∀i, j > nε.
А так как ещё
Eg2(ξi− ξj)
1
2
6 Eg2(ξi)
1
2
+ Eg2(ξj)
и, аналогично,
Ef2(ξi− ξj)
1
2
6 Ef2(ξi)
1
2
+ Ef2(ξj)
1
2
< ∞
1
2
< ∞ : i, j > nε,
1
2
.
(∗∗)
6.18 Ковариации банахова пространства 127
то запись (∗∗) корректна.
Осталось заметить, что в силу непрерывности f и g
Eg2(ξi− ξj) → 0 и Ef2(ξi− ξj) → 0 : i, j → ∞,
и ξi(ω) − ξj(ω) → 0 равномерно по ω : i, j → ∞.
[ 7 ] Объекты дополнительного исследования.
X – линейное топологическое пространство;
1
сл. элемент – измеримое (сепарабельнозначное) отображение: ξ : (Ω, Σ) →
[ X, F(X) ] { включает конечнозначное, или счетнозначное, или сепарабельнозначное пространство };
математическое ожидание по P ettis для Po(X).
– класс вероятностных мер на F(X ) с сепарабельным носителем (sup µ
2Mo
сепарабельно). Это соответствует классу распределений Pξсл. эл. (сепарабельнозначных) ξ.
Задача. ( Каждой ли мере µ ∈ Moсоответствует случайный элем ент ξ с
Pξ= µ?)
Так как линейное топологическое пространство регулярно, а supp µ ⊂ X
3
(для µ ∈ Mo) сепарабельно, то казалось бы, что supp µ метризуемо (как топологическое подпространство пространства X) в силу того, что регулярное
пространство со счетным базисом (в частности регулярное сепарабельное)
метризуемо.
Но подпространство регулярного пространства не обязательно регулярно. Кроме того, если supp µ и метризуемо, то не обязательно инвариантной
метрикой.
При этом supp µ замкнуто ( см. задачу5ниже. )
Проблема. При каких условиях положительно определенный линейно
4
определенный оператор R : X′→ X определяет сепарабельнозначный сл. эл.
ξ с нормальным распределением и ковариационным оператором R ?
( Cм. Комментарий Раздела 6.18 [ 6 ] на стр. 125 и рассуждения Раздела 6.18
[ 4 ] ).
Задача 1. Пусть (X, τX) – регулярное пространство,
5
Y – его замкнутая часть – подмножество,
(Y, τY) – соответствующее топологическое подпространство, т. е.
τY= { G ∩ Y : G ∈ τX}.
128 Глава 6 Безгранично делимые распределения
Тогда (Y, τY) – регулярное пространство.
Решение. Пусть FX– класс замкнутых множеств пространства (X, τX).
Тогда FY= {F ∩ Y : F ∈ FX}.
Действительно, FYсостоит из множеств вида Y r GY : G ∈ τX, но
Y r GY [ = Y r G = Y ∩ (X r G) ] = Y ∩ F : F = (X r G) ∈ FX.
Если теперь a ∈ Y и замкнутое ( в Y ) множество FY (F ∈ FX)
не пересекаются, то в силу регулярности пространства X [ точка a ∈ X и
F Y – замкнутое в X множество, a∈F Y ] существуют непересекающиеся
окрестности (в X) U и V точки a и множества F Y.
Но тогда UV и V Y – непересекающиеся окрестности (в Y ) точки a и
множества F Y. Это и означает регулярность пространства (Y, τY).
Задача 2. Пусть X – линейное топологическое пространство, ξ –
6
борелевский случайный элемент, т. е. измеримое отображение (Ω, Σ) в
[X, B(X)], ξ(Ω) сепарабельно [ т.е. ξ – сепарабельнозначный борелевский
случайный элемент ].
Тогда ∃ξnсчетнозначные борелевские сл. элементы ξn(ω) → ξ(ω) равномерно по ω [ т. е. ∀ окрестности U точки o ∈ X ∃ число nUтакое, что
∀ω (ξn(ω) – ξ(ω)) ∈ U: n > nU].
Решение. Множество Y = ξ(Ω) ⊂ X является замкнутым и сепарабель-
ным. Согласно предыдущей задаче топологическое пространство Y является
регулярным (т.к. любое линейное топологическое пространство X является
регулярным ) и сепарабельным, а потому метризуемым. Для метрических
сепарабельных пространств утверждение задачи верно. Остаётся заметить,
что метрика порождает топологию, эквивалентную исходной.
С другой стороны. Если X – линейное топологическое пространство,
7
и счетнозначные [ F(X) или B(X) – измеримые ] случайные элементы
ξn(ω)
измеримости ξn, так как An= ξn(Ω) и ξ(Ω) ⊂
Действительно, ∀ ω ∀окрестности
окрестность
равномерно
−−−−−−→ ξ(ω), то ξ(Ω) сепарабельно [ при этом не требуется вообще
S
точки ξ(ω) ∈ ξ(Ω) ⊂ X существует
S
ξ(ω)
S
точки o ∈ X такая, что
Пусть (ξn(ω) − ξ(ω) ) ∈ ∪ : ∀ω, n > n∪. Тогда ξn(ω) ∈
S
An].
⊃ (ξ(ω) +S).
ξ(ω)
S
ξ(ω)
: n = n
и ξn(ω) ∈ An⊂ A =SAm.
Если [ X, (di)I] – линейное ММП, то инвариантные полуметрики diисполь-
8
зовались лишь для построения следующих объектов (эквивалентных):
(ki)I;
∪
6.18 Ковариации банахова пространства 129
(Ri)I– набор отношений эквивалентности ( cм. Раздел 6.10 стр. 98 );
(Li)I( см. Раздел 6.7 стр. 96).
Например, задание (ki)Iозначает представление ЛТП (X, τ) через:
набор ЛТП (Xi, τi)I;
набор линейных сюръекций ki: X → Xi[ открытых ], x = y ⇌ ki(x) =
ki(y) : ∀i.
Базой β топологии τ служит наборSk
−1
τi, ( илиSk
i
−1
βi, где βi– база
i
топологии τi).
Задача! Получить Предложение
лишь (ki)I, или (Ri)I, или
Обобщить Лемму 1 Раздела 6.15 стр. 117 в виде
9
(Li)I! [ но не используя (di)I].
F
Измеримые отображения ξ : (Ω, Σ) → (X, A) будем называть A –
10
Раздела 6.10 стр. 98 [ f = fJ◦J ], используя
Y
X
=YF(Xα).
α
случайными элементами: например, F(X)– сл. эл. и т.д.
B(X) – случайный элемент будем называть иногда X – борелевским слу-
чайным элементом, или просто борелевским случайным элементом [ если
ясно о каком пространстве X идет речь ].
Аналогично для бэровских случайных элементов и т.д.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]