Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метризация топологических пространств
.pdf
Приложение B 181
Доказательство.
2o– 4oДоказываются с помощью свойств 1 (см. п. B.2.1).
4oПроверим, на примере.
Пусть последовательности {h
менты f и g из L+, т.е. h
1
n
1
n
↑ f, h
Тогда последовательность hn= sup(h
} и {h
2
n
2
} определяют соответственно эле-
n
↑ g, p (h
1
, h
n
i
) 6 wi: n > 1, i = 1, 2.
n
2
) : n > 1 определяет элемент
n
sup(f, g). Действительно,
1
hn↑ sup(f, g), p (hn) = p(sup h
2
, h
n
n
− sup(o, o))
6 p h
1
n
+ p h
2
6 w1+ w
n
2
( здесь использовалось свойство 7oиз п. B.2.1 ).
5oИмеем, в силу определения p(ϕ) и (p5),
p(f – hn) = lim
p(hm– hn) 6 sup
m→∞
p(hm– hn) → o : n → ∞.
m>n
6oПолучается из аксиом (p1) − (p3) для H предельным переходом.
Например, пусть: ϕ1, ϕ2∈ L; 0 6 ϕ16 ϕ2; h
{1, 2}; h
ij
↑: n → ∞; p(h
n
Можно считать 0 6 h
ij
) 6 wij: n > 1; h
n
1
2
6 h
n
.
n
[ Действительно, иначе перейдем к
1
(sup (h
(sup ϕ1, ϕ2)
2
h
n
2
, h
))+. Тогда 0 6 h
n
n
+
= ϕ2, причем каждая из последовательностей
представима в виде разности возрастающих p – мажорированных
1
n
6 h
2
n
, h
последовательностей элементов из H, h
взять
21
h
= sup (sup (h
n
21
h
22
− h
n
= sup h
n
= sup h
И можно взять h
12
h
22
+ h
. Тогда опять h
n
n
11
+ h
n
11
22
+ h
n
n
11
n
11
= sup (inf (h
n
11
− h
n
22
n
, h
− h
21
, h
n
21
+ h
n
12
, h
n
12
= (inf (h
n
+ h
12
n
21
n
11
n
12
n
−
− h
+ h
В силу (p2) для H имеем p(ϕ1) = lim p (h
ij
∈ H : n > 1, i ∈ {1 , 2}, j ∈
n
i
i1
= h
n
1
h
= (i n f (h
n
1
→ (inf (ϕ1, ϕ2))+= ϕ1, h
n
i
i1
= h
n
) , h
22
n
− h
n
12
+ h
n
12
h
+ h
n
+
22
= sup h
n
21
, h
+ h
n
1
2
, h
))+= h
n
n
1
) 6 lim p (h
n
22
n
i2
−h
n
i2
n
) , h
22
n
12
n
→ ϕi: n → ∞.
n
1
2
, h
))+, h
n
n
. Например, можно
22
12
= h
n
n
+
1
2
, h
n
n
12
) , h
1
n
].
22
+ h
n
n
2
) = p(ϕ2), т.е.
n
(p2) выполняется для L.
+ h
+
= h
) , h
2
=
n
2
→
n
1
и
h
n
22
.
n
2
.
n
12
=
n
182 Приложение B
Лемма 1. Пусть fn∈ L+: n > 1, 0 6 [ f ]n↑ и p(fn) 6 w для некоторого
w ∈ W и ∀n > 1. Тогда fn↑ f ∈ L+и p(fn– f ) → o.
Доказательство. Для всякого целого k > 1 выберем {h
k
h
↑ fk: n ↑ ∞. Можно считать h
n
k
p(h
) 6 p(fk) 6 w. Положим hn= sup(h
n
k
> 0 (иначе перейдем к (h
n
1
, . . . , h
n
n
) 6 sup(f1, . . . , fn) = fn. В
n
k
} ⊂ H так, чтобы
n
k
)+). Тогда
n
силу (p2) для L ( здесь достаточно (p2) для L+) p(hn) 6 p(fn) 6 w. Т. к. hn↑,
то согласно (p5) hn↑ f ∈ F. В силу определения класса L+, f ∈ L+. Согласно
свойствам класса L+, см. 5o, имеем p(f – hn) → o.
Из неравенства h
k
6 hn: n → ∞ получаем fk6 f и значит sup fk6 f.
n
Т. к. hn6 fn, то f 6 sup fn. Тем самым, fn↑ f.
Наконец, т. к. p(f – fn) 6 p(f – hn) → o, то p(f – fn) → o.
Следствие 1. Пусть 0 6 gk∈ L+, p
f ∈ L+и p
P
k>n
g
→ o : n → ∞.
k
Это утверждение следует из Леммы 1, если положить fn=
k
P
1
g
6 w n > 1. Тогда
k
n
P
k=1
P
gk=
k>1
gk.
B.2.4 Определение класса L и отображения p : L → W
Класс L и отображение Lp−→ W определены в п. B.2.2, а в п. B.2.3 показано, что L – подпространство Рисса пространства F и что отображение p
удовлетворяет аксиомам (p1) – (p3) ( с заменой H на L ) .
B.2.5 Теорема Беппо Леви
Пусть 0 6 ϕk∈ L : k > 1 и p
P
ϕ
k>n
Тогда
P
ϕk= ϕ ∈ L и p
k>1
Доказательство. Лемма 1 представляет собой слабый вариант этой теоремы, когда L заменено на L+. При доказательстве теоремы будут использованы свойства R – пространства.
Пусть ϕk= fk− gk: fk, gk∈ L+. ∀k > 1 выберем {h
k
h
↑ gk: n ↑ ∞. Положим w
n
k
= p(gk−h
n
n
P
ϕ
6 w для некоторого w ∈ W и ∀n > 1.
k
1
→ o : n → ∞.
k
k
n
). Тогда 0 6 w
k
} ⊂ H так, чтобы
n
k
↓ o : n ↑ ∞ ( в силу
n
Приложение B 183
свойств класса L+, см. 5oп. B.2.3). Т. к. W есть R – пространство, то ∃{nk},
N
P
k=1
k
w
6 w для некоторого w ∈ W и ∀ N > 1. Положим
n
k
что
ϕk= (fk− h
k
) − (gk− h
n
k
k
n
k
) = f
k
∗
− g
∗
k
, g
∗
= gk− h
k
k
.
n
k
Имеем:
∗
n
, g
k
∗
> g
k
N
P
k=1
P
k=1
P
k>1
P
k>1
ϕk=
P
k>n
∗
∈ L+;
k
∗
> 0 (это следует из ϕk> 0 и g
k
N
P
g
n
f
g
f
k=1
ϕ
k
∗
6
k
6 p
k
∗
∈ L+и p
k
∗
∈ L+и p
k
n
P
∗
f
k
6 p
k=1
–
P
k=1
P
k>n
k
w
P
k=1
n
w : ∀ n > 1;
6
n
k
n
ϕ
+ p
k
g
P
∗
g
→ o : n → ∞,
k
k>n
P
∗
f
→ o : n → ∞.
k
k>n
∗
g
→ f∗− g∗= ϕ ∈ L
k
∗
k
P
+ p
k>n
∗
> 0);
k
n
P
k=1
g
∗
k
6 w +
w.
∗
→ o : n → ∞.
f
k
a) f
b) f
c) p
d) p
Поэтому в силу слабого варианта теоремы Беппо Леви (т. е. Леммы 1):
g∗=
f∗∈
Теперь
P
k=1
и
p
Следствие 2.
Если L ∋ ϕn↑, p(ϕn) 6 w для некоторого w ∈ W и ∀ n > 1,
то ϕn↑ ϕ ∈ L и p(ϕ – ϕn) → o : n → ∞.
Следствие 3. Пространство L является вполне решеточным (точнее: L –
вполне решеточное подпространство пространства F ).
Действительно, если ϕn∈ L : n > 1 и ϕn6 ψ ∈ L : n > 1, то
полагая ψn= sup(ϕ1, . . . , ϕn) ∈ L, получим ψn↑ . Т. к. ψn6 ψ, то p(ψn) 6
p(ψn– ψ) + p(ψ) = p(ψ – ψn) + p(ψ) 6 p(ψ – ψ1) + p(ψ) : n > 1. Поэтому, в
силу Следствия 2, ψn↑ ϕ ∈ L и значит sup ϕn= sup ψn= ϕ ∈ L.
184 Приложение B
B.2.6 Теорема Лебега
Пусть ϕn∈ L : n > 1, ϕn→ ϕ ∈ F и |ϕn| 6 ϕoдля некоторого ϕo∈ L и
∀n > 1. Тогда ϕ ∈ L и p(ϕn− ϕ) → o : n → ∞.
Доказательство. Положим fn= sup(ϕn, ϕ
, . . . ), gn= inf (ϕn, ϕ
n+1
n+1
, . . .).
Т. к. L – вполне решетчатое пространство, см. Cледствие 3, и – ϕo6 ϕn6 ϕo,
то fn, gn∈ L. Из ϕn→ ϕ следует fn↓ ϕ и gn↑ ϕ. Кроме того p( – fn) =
p(|fn|) 6 p(ϕo), p(gn) = p(|gn|) 6 p(ϕo).
Поэтому, согласно Cледствию 2, ϕ ∈ L и p(fn– ϕ) → o, p(gn– ϕ) → o.
Так как ϕn– ϕ 6 fn– ϕ и ϕ – ϕn6 ϕ – gn, то |ϕn– ϕ| 6 |fn– ϕ| + |gn– ϕ|.
Значит p(ϕn– ϕ) 6 p(fn– ϕ) + p(gn– ϕ) → o.
Теорема Фату. Пусть ϕn∈ L : n > 1, ϕn→ ϕ ∈ F и p(ϕn) 6 w для
некоторого w ∈ W и ∀ n > 1. Тогда ϕ ∈ L и p(ϕ) 6 w.
Доказательство. Пусть сначала ϕn> 0. Положим gn= inf(ϕn, ϕ
Так как L ∋ in f (ϕn, ϕ
(n+1)
, . . . , ϕ
) ↓ gn: k ↑ ∞, то по Cледствию 2 gn∈ L.
(n+k)
(n+1)
, . . . ).
Из 0 6 gn↑ ϕ и p(gn) 6 p(ϕn) 6 w, опять по Cледствию 2, имеем ϕ ∈ L. Так
как p(ϕ – gn) → o, то p(ϕ) = lim p(gn) 6 w.
В общем случае из ϕn→ ϕ и p(ϕn) 6 w имеем |ϕn| → |ϕ| и p(ϕn) 6 w. Из
только что доказанного утверждения получаем |ϕ| ∈ L и p(ϕ) 6 w. Осталось
показать, что ϕ ∈ L. Положим
ψn= sup{inf(ϕn, |ϕ|), – |ϕ|} ∈ L.
Тогда ψn→ sup{inf(ϕ, |ϕ|), – |ϕ|} = ϕ. Кроме того, |ψn| 6 |ϕ| ∈ L. Но тогда
по теореме Лебега имеем, в частности, что и ϕ ∈ L.
B.2.7 Полнота пространства L
Последовательность {ϕn} элементов из L назовем p – фундаментальной, если
sup
p(ϕm− ϕn) → o : n → ∞. Будем говорить, что последовательность {ϕn}
m>n
элементов из L p – сходится к элементу ϕ ∈ L, если p(ϕn− ϕ) → o. Тогда
будем писать ϕ
Теорема. Пространство L p – полно.
n
p
−→ ϕ.
Приложение B 185
Доказательство. Пусть последовательность {ϕn} ⊂ L p – фундаменталь-
на. Нам нужно показать, что она сходится к некоторому элементу ϕ ∈ L. Для
этого достаточно показать, что существует подпоследовательность {ϕ
элемент ϕ ∈ L такие, что ϕ
p
−→ ϕ. Действительно, тогда
n
k
} и
n
k
p(ϕk– ϕ) 6 p(ϕk– ϕ
) + p(ϕ
n
k
– ϕ) 6 sup
n
k
p(ϕm– ϕk) + p(ϕ
m>k
– ϕ) → o.
n
k
Искомая подпоследовательность получается следующим образом. Так как
sup
p(ϕm– ϕn) → o : n ↑ ∞ и W есть R – пространство, то существу-
m>n
ет {nk} : ряд
P
p(ϕ
k
– ϕ
n
k+1
для некоторого w ∈ W и ∀N > 1. По теореме Беппо Леви рядP|ϕ
сходится и значит сходится рядP(ϕ
При этом, если ϕ
|ϕ
| =
n
k
то по теореме Лебега ϕ ∈L и p(ϕ−ϕ
P
sup
p(ϕm– ϕ
m>n
k
k
). Следовательно,
n
k
!
N
X
X
p
k−1
j=o
(ϕ
k=1
n
j+1
n
|ϕ
o
n
= 0,
− ϕ
k+1
n
j
– ϕ
)
) сходится и, в частности, сходится ряд
n
k
N
X
6
n
k
k−1
X
j=o
|%6
|ϕ
n
k
p(ϕ
n
k+1
k=1
− ϕ
− ϕ
), т. е. ϕ
n
k
n
j
n
k+1
n
j+1
) → o, т.е. ϕ
– ϕ
) 6 w
n
k
→ ϕ ∈ F : k → ∞.
n
k
X
| 6
|ϕ
j>o
p
−→ ϕ.
n
k
− ϕ
n
j+1
n
| ∈ L,
n
j
k+1
B.2.8 Широкая сходимость в L
– ϕ
|
n
k
Теорема. p – сходимость в L шире естественной сходимости в L.
p
Доказательство. Пусть ϕ
ментальна (действительно, sup
−→ ϕ. Тогда последовательность {ϕn} p – фунда-
n
p(ϕm– ϕn) 6 sup
m>n
p(ϕm– ϕ) + p(ϕ – ϕn) → o).
m>n
Ззначит, как показано при доказательстве теоремы полноты из п. B.2.7, существует {ϕ
Так как пространство L вполне решеточно, то L ∋ sup
т. е. ϕ
n
k
}, что ϕ
n
k
L
−→ ϕ (здесь и далееL−→ означает естественную сходимость в вполне
→ ϕ и |ϕ
n
k
| 6 ψ при некотором ψ ∈ L и ∀k > 1.
n
k
|ϕ
– ϕ| ↓ o : k ↑ ∞,
n
j>k
j
решеточном пространстве L).
С другой стороны, если ϕ
p(ϕn– ϕ) 6 p(ψn) ↓ o, т. е. ϕ
L
−→ ϕ, то |ϕn– ϕ| 6 ψn∈ L, где ψn↓ o и значит
n
p
−→ ϕ.
n
186 Приложение B
B.3 Продолжение линейного отображения
Пусть F, H, W, Lp−→ W как в предыдущем п. B.2, V есть r – простран-
ство ( см. п. B.1 ), HI−→ V – такое линейное отображение, что выполняется
следующее условие:
H ∋ hn↑ ϕ ∈ L влечет сходимость последовательности {I hn}. (∗)
Наша цель – продолжить I на L.
Лемма 1. H ∋ h
p
−→ o влечет Ihn→ o.
n
Доказательство. Достаточно показать, что существует {nk}, для кото-
рой Ih
→ o. [ Действительно, применив это утверждение к произволь-
n
k
ной подпоследовательности последовательности {hn} получим, что из любой
подпоследовательности последовательности {Ihn} можно извлечь подпоследовательность, сходящуюся к o. Значит, в силу п. 3oиз определения L∗–
пространства, I hn→ o ].
Можно считать hn> o. [ Иначе рассмотрим h
ем, что I hn= Ih
+
n
− Ih
−
]. Так как h
n
p
−→ o и hn> 0, то ∃{nk} :
n
p
+
−→ o и h
n
p
−
−→ o и использу-
n
N
P
k=1
h
n
↑ к
k
элементу из L [ это следует из того, что W есть R – пространство и теоремы
Беппо – Леви ].
Следовательно, согласно (∗), последовательность I
N
P
k=1
h
n
сходится.
k
Но тогда
= I
Ih
n
N
Следствие 1. Если
!
X
k=1
hn∈H, ϕ∈L и
%
N
h
n
k
– I
!
N−1
X
k=1
%
→ o : N → ∞.
h
n
k
p
h
−→ ϕ, то lim Ihnсуществует и не
n
зависит от выбора последовательности {hn} с указанными свойствами.
Доказательство. Так как L = {(f1− f2)|f1, f2∈ L+}, то для ϕ ∈ L существуют последовательности H ∋ h
1
↑ и H ∋ h
n
2
↑ такие, что h
n
i
↑ ϕi: n ↑
n
∞, i ∈ {1, 2}, ϕ = ϕ1− ϕ2: ϕ1и ϕ2∈ L+. В силу условия (∗) существуют
i
пределы lim Ih
= vi. Значит I(h
n
Осталось заметить, т.к. hn– (h
1
2
– h
) → V.
n
n
1
2
– h
)p−→ ϕ – ϕ = o, то, в силу Леммы 1,
n
n
Ihn→ V.
Приложение B 187
Пусть ϕ ∈ L. Выберем последовательность {hn} ⊂ H, p – сходящуюся к ϕ,
и положим Iϕ = lim Ihn. Согласно Cледствию 1 это определение корректно.
Теорема. Отображение L → IV является единственным линейным (p−→, →)
непрерывным продолжением отображения HI−→ V на L.
Доказательство. Единственность очевидна. Линейность построенного выше отображения LI−→ V получается предельным переходом из линейности
отображения HI−→ V.
Докажем (p−→, →) непрерывность.
Покажем сначала, что если L+∋ fn↑ f ∈ L+и fn> 0, то Ifn→ If. Пусть
∀k > 1(H ∋ h
k
↑ fk) : n ↑ ∞ и ∀n(h
n
Леммы 1 п. B.2). Так как по определению Ifk, (Ifk− Ih
есть r – пространство, то ∃ {nk} : (Ifk− I h
доказательстве Леммы 1 п. B.2) и значит Ih
Ifk= (Ifk– I h
k
↑) : k ↑ ∞ (как при доказательстве
n
k
) + Ih
n
k
k
) → o. Но h
n
k
k
→ If. Теперь
n
k
k
→ If.
n
k
k
) → o : n ↑ ∞ и V
n
k
↑ f (как и при
n
k
Далее покажем, что если
N
P
0 6 ϕn∈ L,
Пусть ϕk= f
ϕn↑ ϕ ∈ L, то I
n=1
∗
∗
k
− g
N
X
k=1
∗
: f
k
k
∗
g
↑ g∗∈ L+,
k
∗
, g
∈ L+и f
k
X
k=1
∗
> g
k
N
∗
f
↑ f∗∈ L+, ϕ = f∗– g
k
N
P
n=1
ϕ
∗
> 0 :
k
n
→ Iϕ.
∗
(как при доказательстве теоремы Беппо Леви, п. B.2).
По только что доказанному утверждению
Значит
N
X
∗
I
k=1
N
X
I
ϕk= I
k=1
→ Ig∗, I
g
k
N
X
∗
f
k
k=1
– I
N
X
k=1
N
X
∗
f
→ If∗.
k
k=1
∗
→ If∗– I g∗= Iϕ.
g
k
В качестве немедленного следствия имеем, что ϕn↑ ϕ влечет Iϕn→ I ϕ.
Отсюда, с помощью рассуждений в точности повторяющих доказательство
Леммы 1, получаем, что L ∋ ϕ
p
ϕ
−→ ϕ, то ( т.к. (ϕn– ϕ)p−→ o) I (ϕn− ϕ) → o, т. е. Iϕn→ Iϕ.
n
p
−→ o влечет Iϕn→ o. Следовательно, если
n
188 Приложение B
Замечание 1. Ясно, что отображение LI−→ V (Lш−−→, →) непрерывно, где
Lш
−−→ обозначает широкую сходимость в L, отвечающую сходимостиL−→ ( где
L
−→ есть собственная естественная сходимость в L).
Замечание 2. Как видно из доказательства здесь использовалось лишь
то, что H является подпространством Рисса R – пространства L таким, что
секвенциальное замыкание (в естественной сходимости) множества H есть L.
Замечание 3. Пусть пространство V удовлетворяет следующему условию:
если vn∈ V и (v
− v
m
k
) → o : k ↑ ∞ для любых подпоследовательно-
n
k
стей {mk} и {nk}, то последовательность {vn} сходится (таковы, например,
метризуемые пространства). Тогда условие (∗) можно заменить следующим
условием
H ∋ h
p
−→ o (∗′)
n
[ Действительно, если выполнено (∗′) и H ∋ hn↑ ϕ ∈ L, то для любых {mk} и
{nk} (h
) → (ϕ−ϕ) = o : k ↑ ∞. Значит, в силу (∗′), Ih
n
m
k
k
m
−Ih
k
n
k
→ o.
−h
Значит введенное ограничение на пространство V обеспечивает сходимость
последовательности {I hn}, т. е. выполнено условие (∗)].
B.4 Расширение полуаддитивного отображения
Замечание. Расширение производится при более слабых, чем были ранее,
предположениях.
H – подпространство Рисса вполне решетчатого пространства F. W есть
R – пространство. Hp−→ W отображение, удовлетворяющее аксиомам (p1) –
(p4) и следующей ослабленной аксиоме (p5) :
(p5′) hn↑ и sup
В этом случае им еют место следующие определения.
Определим L+как множество тех f ∈ F, для которых существует p –
фундаментальная последовательность {hn} элементов из H такая, что hn↑ f.
Положим L = L+– L+.
Для ϕ ∈ L и возрастающих p – функциональных последовательностей
1
} и {h
{h
n
lim p(h
2
} элементов из H таких, что h
n
1
2
– h
n
).
n
Тогда отображение Lp−→ W определено корректно.
p(hm− hn) → o : n ↑ ∞ =⇒ hn↑ f ∈ F.
m>n
2
1
n
→ ϕ, положим p(ϕ) =
– h
n
Приложение B 189
Теорема.
1oL есть подпространство Рисса пространства F.
2oОтображение Lp−→ W удовлетворяет аксиомам (p1) – (p4), (p5′) (с заме-
ной H на L), причем в (p5′) будет, кроме того, f ∈ L ( значит, если
к отображению p применить указанный выше процесс расширения, то
расширение не произойдет и придем опять к L ).
3oПространство L : p – полно.
4oЕсли последовательность {ϕn} ⊂ L p – фундаментальна и ϕn→ ϕ ∈ F,
то ϕ ∈ L и ϕ
p
−→ ϕ ( т.е. p(ϕn– ϕ) → o ).
n
5op – сходимость в L шире сходимостиф−→ ( сходимостьф−→ означает, что
последовательность {ϕn} p – фундаментальна и ϕn→ ϕ; т. е. ϕn→ ϕ и
p
ϕ
−→ ϕ ).
n
При выполнении аксиомы
(p6′) 0 6 hn↓ =⇒ su p
p(hm– hn) → o : n ↑ ∞
m>n
справедливы следующие результаты.
1oОтображение Lp−→ W также удовлетворяет (p6′) ( с заменой H на L ).
2oL есть R – пространство ( точнее, L – вполне решеточное подпространство
пространства F и в собственной структуре L есть R – пространство).
3op – сходимость шире естественной сходимости в L ( под естественной схо-
димостьюL−→ в L понимается естественная сходимость, отвечающая собственной структуре пространства L ).
4o(Теорема Лебега). Если ϕn∈ L, ϕn→ ϕ ∈ F и |ϕn| 6 ϕoпри некотором
ϕo∈ L и ∀n > 1, то ϕ ∈ L и ϕ
−→ ϕ.
n
p
При выполнении следующей более сильной аксиомы, чем (p6′),
(p6) hn↑ и последовательность {p(hn)} мажорирована
=⇒ sup
p(hm−hn) → o : n ↑ ∞
m>n
приходим к схеме п. B.2, так как (p5′) и (p6) равносильно (p5).
Отметим, что уже при аксиоматике (p1) – (p4), (p5′) справедлива теорема
о продолжении линейного отображения в точности в формулировке B.3.
190 Приложение B
B.5 Квазинормированные пространства
Пусть E – пространство Рисса, W есть R – пространство.
Определение 1. Отображение Ep−→ W называется квазинормой, если вы-
полняются следующие аксиомы:
(p0) p(x) = 0 ⇋ x = 0;
(p1) p(x) = p(|x|);
0 6 x 6 y ⇁ p(x) 6 p(y);
(p2)
(p3) p(x + y) 6 p(x) + p(y) .
Последовательность {xn} называется p – фундаментальной, если
sup
p(xm– xn) → o : n ↑ ∞.
m>n
Будем говорить, что последовательность {xn} p – сходится к x и писать
p
x
−→ x, если p(xn– x) → o : n ↑ ∞.
n
Далее пространство W фиксировано (оно играет роль пространства действительных чисел) и все квазинормы будут принимать значения в этом пространстве W.
Пара (E, p) называется квазинормированным пространством.
Определение 2. Квазинормированные пространства (E, p) и (E′, p′) называют изоморфными, если существует изоморфизм ϕ : E ∋ x 7→ x′∈ E′упорядоченных векторных пространств E и E′, при котором p(x) = p′(x′). При этом
биекция ϕ называется изоморфизмом квазинормированных пространств.
Определение 3. Квазинормированное пространство (E, p) называется пол-
ным, если всякая p – фундаментальная последовательность p – сходится.
Определение 4. Полное квазинормированное пространство (eE, p) называ-
ют пополнением квазинормированного пространства (E, p), если E есть p –
плотное подпространство Рисса пространстваeE (p – плотность означает, что
∀ex ∈eE существует последовательность {xn} ⊂ E, p – сходящаяся к ex).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]