Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метризация топологических пространств
.pdf
Глава 1
Локально выпуклые простра н ства
1.1 Линейное топологическое пространство
Определение. Линейным топологическим пространством (ЛТП) называется линейное пространство, снабжённое топологией, по отношению к которой операции сложения и умножения на число – непрерывны.
Если ЛТП X не является отделимым, то существует единственное нетри-
виальное подпространство Xoтакое, что всякая окрестность x ∈ X содержит
x + Xoи линейное фактор – пространство X/Xo, снабжённое (естественной)
фактортопологией, которое является отделимым. Таким подпространством
Xoявляется пересечение всех окрестностей нуля.
( См. Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. [11, стр. 56; 1988] ).
В этой связи, естественно предполагать [ что мы и сделаем ], что рассмат-
риваемые ЛТП отделимы.
Так как для ЛТП выполняется аксиома регулярности [ точка и не содержащее её замкнутое м ножество разделяются непересекающимися окрестностями ], то, вместе с предположением об отделимости, ЛТП становится
регулярным топологическим пространством.
( См. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. [17, стр. 168; 1976] ).
1.2 Мультинормированное пространство
Мультинормированное пространство (МНП) есть ЛТП, топология которого
задаётся мультинормой D, т. е. семейством полунорм d ∈ D, разделяющих
точки пространства [ последнее означает: d(x) = o для d ∈ D влечёт x = o,
что равносильно отделимости ].
1
2 Глава 1 Локально выпуклые пространства
[ В данном слу чае Xo= {x ∈ X : d(x) = o для d ∈ D} ].
В качестве базы топологии принимается совокупность шаров. При этом
под шаром понимается пересечение конечного числа элементарных шаров, а
под элементарным шаром — множество вида:
S
= {x ∈ X : d(x − α) < r} : d ∈ D, α ∈ X, r > o. (∗)
d(α,r)
Эта топология равносильна топологии, порождаемой сходимостью вида
xn→ x, что означает d(xn− x) → o : d ∈ D.
Отметим, что это слабейшая топология, относительно которой все полунормы d ∈ D непрерывны.
Введём ещё одно обозначение для шара, порождённого конечным множеством Q полунорм:
SQ(α, r) = {x ∈ X : Q(x − α) < r}, где
_
Q(x) =
d(x) = max
d∈Q
(d∈Q)
d(x).
Набор таких шаров образует базу топологии, эквивалентной указанным
выше.
Частичный порядок в множестве E(D) полунорм x 7→ Q(x), где Q ⊂ D и
Q < ∞, определяемый соотношением
Q1(x) 6 Q2(x) : ∀x,
является направлением, т.е. для любой пары полунорм Q1и Q2из E(D) есть
полунорма из E(D) их мажорирующая: Q1∨ Q2.
Поэтому, с самого начала, при определении МНП логично считать D направленным множеством и тогда под шаром можно понимать множество вида (∗). В этом случае, набор шаров образует базу топологии, эквивалентную
топологии сходимости xn→ x ⇋ d(xn− x) → o : d ∈ D.
1.3 Локально выпуклое пространство
Определение. ЛТП называется локально выпуклым ЛТП (сокра-
щённо, ЛВП), если оно обладает базой топологии, состоящей из выпуклых
множеств.
1.4 Cчётно – нормированное пространство 3
Предложение. Класс ЛВП исчерпывается МНП пространствами.
Более точно, МНП являются ЛВП.
Топология ЛВП может быть определена мультинормой, например, семейством всех непрерывных полунорм на ЛВП.
(См. Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. [11, стр. 55, теорема 2; 1988] и Колмогоров А.Н., Фомин С.В. [17, стр.133, замечание 2 (для полунорм); 1976]).
Комментарий.
В частности, ЛВП является вполне регулярным (= тихоновским).
ЛТП (и в частности ЛВП) со счётным базисом метризуемо [ так как метризуемо всякое регулярное пространство со счётным базисом ].
Вопрос. Является ли ЛВП (т. е. МНП) со счётным базисом или счётно –
нормируемым?
1.4 Cчётно – нормированное пространство
МНП (X, D) со счётным множеством D = (dn)
полунорм называется счёт-
N
+
но – нормированным пространством ( СНП ). Оно метризуемо с помощью
метрики
X
d(x, y) =
n>1
dn(x − y)
−n
2
1 + dn(x − y)
: x, y ∈ X,
причём, эта метрика инвариантна относительно сдвигов
d(x + z, y + z) = d(x, y) = d(o, y − x) : ∀x, y, z ∈ X.
1.5 F – пространство
F – пространство — это линейное топологическое пространство, топология которого определяется инвариантной метрикой, причём, как метрическое пространство с такой метрикой, оно полно ( Другое определение, см. Дынкин
Е.Б., Шабат Б.В., Юшкевич А.А. [8, стр. 64; 1976] ). Относительно свойств
F – пространств и свойств непрерывности отображений одного F – пространства в другое F – пространство ( см. Дынкин Е.Б., Шабат Б.В., Юшкевич
А.А. [8, стр. 64 – 71; 1976] ).
Для F – пространства (X, d) положим |x| = d(o, x): x ∈ X. Тогда функция x 7→ |x| обладает всеми свойствами нормы, кроме однородности, т. е. не
обязательно |λx| = |λ||x| : λ ∈ R1и x ∈ X.
4 Глава 1 Локально выпуклые пространства
Набор {e1, e2, . . . } ⊂ X называется базисом, если каждый элемент x ∈ X
однозначно представляется в виде
x =
X
ciei, ci∈ R1, в смысле lim
i>1
n→∞
x −
X
i=1
n
cie
= o.
i
Ясно, что в этом случае F – пространство сепарабельно.
1.6 Теорема Хана – Банаха
( О продолжении линейного функционала )
Пусть X — линейное пространство, p — полунорма, Xo— подпространство
и fo— линейный функционал на Xoтакой, что
kfo(x)k 6 p(x) : ∀x ∈ Xo.
Тогда существует линейный функционал f на X, являющийся продолжением foи kf (x)k 6 p(x) : ∀x.
Следствие. ∀a ∈ X существует линейный функционал f на X такой, что
f(a) = p(a), |f(x)k 6 p(x) : ∀x.
Это следует из предыдущей теоремы применительно к
Xo= {λa : λ ∈ R1}, fo(λa) = λp(a).
Так как для x = λa имеем kfo(x)k = kλkp(a) = p(x).
Комментарий. Предыдущая теорема сформулирована так, чтобы она годилась для вещественного и комплексного случаев.
Утверждение примера верно и для комплексных ЛП и линейных функ-
ционалов.
1.7 Базис топологии сепарабельного МНП
Предложение. Пусть МНП (X, D) сепарабельно и A = {an} всюду
плотное в X множество. Тогда
an,
1
: an∈ A, m > 1, Q ⊂ D и #Q < ∞
m
βo= S
Q
eсть базис топологии в X, эквивалентной исходной.
1.7 Базис топологии сепарабельного МНП 5
Доказательство. Исходная топология определяется базисом (из шаров).
βo= SQ(a, r) : a ∈ X, r > o, Q ⊂ D и #Q < ∞.
Так как β ⊃ βo, то следует лишь показать, что:
a) βoесть базис топологии, т. е.
a.1) βoпокрывает X ;
a.2) если x ∈ {S1∩ S2}: S1, S2∈ βo, то ∃So∈ βo, чтo
x ∈ So⊂ {S1∩ S2}.
b) Всякий элемент из β есть объединение некоторых элементов из βo.
Достаточно проверить a.2) и b), так как из b) следует a.1).
Доказательство a.2). Пусть x ∈ {S1∩ S2} = U : S1, S2∈ βo. Т.к. U яв-
ляется открытым множеством в некоторой топологии, то существует шар
SQ(a, r) ∈ β, такой, что x ∈ SQ(a, r) ⊂ U. Но тогда
x ∈ S
Q
и открытое (непустое) множество S
x,
1
⊂ SQ(x, ε) :
m
1
6 ε = r − Q(x − a) > o, m > 1,
m
1
x,
Q
содержит некоторую точку
m
an∈ A такую, что справедливо:
x ∈ S
Q
an,
1
= S ⊂ {S1∩ S2} : S ∈ βo,
m
и также, если x ∈ S ∈ β, то
x ∈ So= So(x) ⊂ S : ∃So∈ βo. (7.1.2)
Доказательство b). Пусть x ∈ SQ(a, r) . Тогда, с учетом (7.1.2) S =
S
So(x).
x∈S
Следствие. База топологии в X
β1= SQ(an, r) : an∈ A, r > o, Q ⊂ D, #Q < ∞
эквивалентна исходной [ так как βo⊂ β1⊂ β ].
Комментарий. SQ(a, r) = a + SQ(o, r).
6 Глава 1 Локально выпуклые пространства
1.8 Линейные непрерывные функционалы МНП
Лемма. Пусть МНП (X, D) сепарабельно, Q ⊂ D и #Q < ∞. Существует
счётный набор (fn)
Кроме того, |fn(x)| 6 Q(x) : ∀x.
Доказательство. Пусть счётное множество A = {an} всюду плотно в X.
Согласно следствию теоремы Хана – Банаха ∀n > 1 выберем линейный
функционал fnна X так, чтобы
Отметим, что из последнего неравенства следует непрерывнос ть функционала fn. Положим для r > o
линейных непрерывных функционалов на X таких, что
N
+
∞
\
SQ(o, r) =
{x ∈ X : fn(x) 6 r} : ∀r > o.
n=1
fn(an) = Q(an), |fn(x)| 6 Q(x) : ∀x.
∞
\
S = SQ(o, r) , F =
{ x ∈ X : fn(x) 6 r }.
n=1
Проверим, что
S ⊂ F .
x ∈ S =⇒ существуют {ym} : S ∋ ym→ x
=⇒ ∀ n ∈ N+: fn(x) = lim
m→∞
fn(ym) 6
lim
m→∞
Q(ym) 6 r
=⇒ x ∈ F.
Остаётся проверить, что S ⊃ F , т. е.
∞
[
{x ∈ X : Q(x) > r} = X r
S ⊂ X r F =
Пусть x ∈ X, Q(x) > r. ∃an∈ A : an∈ SQ(x, ε) и ε =
Q(x − an) <
1
[Q(x) − r] и значит Q(an) > Q(x) − Q(x − an) >
2
{x ∈ X : fn(x) > r}.
n=1
1
[Q(x) − r] > o, т. е.
2
1
[Q(x) + r] ,
2
что даёт
fn(x) = fn(x − an) + Q(an) > −Q(x − an) + Q(an) > r : ∀n > 1,
т. е. x ∈ X r F .
1.9 Цилиндрические подмножества – цилиндры 7
1.9 Цилиндрические подмножества – цилиндры
Определение. Подмножество C ЛТП X называется цилиндрическим,
или просто цилиндром, если оно имеет вид:
C = {x ∈ X : (f1(x), . . . , fn(x)) ∈ B}, где B ∈ B(Rn), f1, . . . , fn∈ X∗.
Через cyl(X ) обозначим совокупность всех цилиндров ЛТП X.
Отметим, что cyl(X) есть алгебра
. Действительно,
∅ = {f(X ) ∈ ∅} ∈
1
cyl(X ) : f ∈ X∗6= ∅.
2
C = {(f1, . . . , fn) ∈ B} ∈ cyl(X) ⇒ Cc= {(f1, . . . , fn) ∈ Bc} ∈ cyl(X ).
Ci= {fi= (f
i
, . . . , f
1
i
) ∈ Bi} ∈ cyl(X) : i = 1, 2.
n
i
Тогда
C1∩ C2= {(f1, f2) ∈ B1× B2} ∈ cyl(X).
Предложение.
B(X) ⊃ σ(cyl(X)) ⊃ $(X ) для сепарабельных МНП (X, D),
где $(X) — минимальная σ–алгебра частей пространства X , содержащая все
шары.
Доказательство. Т. к. cyl(X ) ⊂ B(X ), значит σ(cyl(X)) ⊂ B(X), то доста-
точно проверить, что σ(cyl(X)) ⊃ $(X) или σ(cyl(X )) содержит каждый
шар:
SQ(a, r) : a ∈ X, r > o, Q ⊂ D и #Q < ∞.
Достаточно ограничиться случаем a = o [ так как отображения T и T
−1
пространства X в себя: T(X) = x−a, T−1(x) = x+a непрерывны, (и значит
измеримы по Борелю), и SQ(a, r) = T (SQ(o, r)) ]. Остаётся заметить, что
SQ(a, r) =
S
SQ(a, r −
n>1
1
) и что, согласно Лемме 8, замыкание любого шара
n
содержится в σ(cyl(x)).
Комментарий к 1.9. Если счётное множество A = {an} ⊂ X плотно
в X, то набор шаров βo= SQ(an,
1
) : an∈ A, m > 1, Q ⊂ D, #Q < ∞
m
образует базис топологии, эквивалентной топологии снабжённой базисом
β = SQ(a, r) : a ∈ X, r > o, Q ⊂ D и #Q < ∞.
( Cм. Предложение 1.7 ). Если к тому же мультиметрика D счётна, тогда β
— счётный базис, что даёт: всякое открытое множество есть объединение не
o
8 Глава 1 Локально выпуклые пространства
более счётного числа шаров, значит B(X) = $(X).
Комментарий 1. Лемму 8 и Предложение 8 лучше формулировать для
сепарабельного линейного метрического пространства ( с инвариантной метрикой! ).
( См. Комментарий 2.6 стр. 14 ).
1.10 Задачи
10.1 Пусть X, (dn)
— счётно – нормированное пространство.
N
+
В каких случаях оно метризуемо метрикой вида
d(o, x) = d(x) =
X
ϕn(dn(x)) с выпуклой функцией d : X → R
n>o
1
?
+
В каких случаях оно метризуемо инвариантной метрикой d(x, y) =
d(x + z, y + z) = d(o, y − x) = d(y − x) с выпуклой функцией d : X → R
1
?
+
10.2 Пусть (K, D) — компактное мультиметрическое пространство, β — ба-
зис, состоящий из элементарных шаров Sd(a, r) (d ∈ D, a ∈ K, r > o), и их ко-
нечных пересечений (Можно в качестве β взять класс открытых множеств).
Отметим, что этот базис мультипликативен, т. е. U, V ∈ β ⇁ U ∩V ∈ β.
Через F обозначим семейство функций вида
n
X
: ci∈ R1, Ui∈ β, n > 1.
ci1
U
i
i=1
Тогда F ⊃ C(K), где замыкание понимается в смысле равномерной сходимости, т. е. ∀f ∈ C(K), ∀ε > o, существуют действительные числа
c1, . . . , cnи открытые множества U1, . . . , Unиз β такие, что
n
X
|f(x) −
i=1
ci1
(x)| < ε : ∀x ∈ K.
U
i
Воспользоваться этим утверждением для построения интеграла по конечно
– аддитивной мере на МMП (X, D) (по плотной конечно – аддитивной мере).
1.10 Задачи 9
10.3 Построить теорию продолжения конечно – аддитивной меры µ непре-
рывной в нуле в смысле:
\
Ea= ∅ =⇒ µ( EI) → o : I → ∅, I ⊂ A, где EI=
a∈A
\
Eα;
α∈I
(частичный) порядок I1≺ I2(т. е. I1⊂ I2⊂ A) является направлением .
10.4 Учитывая 10.2, проверить.
Пусть (X, D) — МНП, a(β) — наименьшая алгебра, содержащая шары из
β, µ – конечная плотная (не обязательно регулярная?) конечно – аддитивная
мера на a(β) (можно в качестве a взять класс открытых множеств).
Утверждение 10.2 позволяет определить линейный непрерывный функционал
Z
T ∈ C∗(X), T(f) =
f(x)µ(dx) = ( f, µ) : f ∈ C(x).
X
Показать, что всякий линейный непрерывный функционал T на C(X)
имеет указанный вид. Это утверждение верно для полного сепарабельного
метрического пространства.
( См. Гихман И.И., Скороход А.В. [6, том 1, стр. 374; 1971] ).
10.5 Для F – пространства можно считать, что при x 6= o выражение
| αx | м онотонно возрастающая функция вещественного аргумента α > o.
( См. Дынкин Е.Б., Шабат Б.В., Юшкевич А.А. [8, стр. 105; 1976] ).
10.6 µ
слабо
−−−→ µ на X, f1, . . . , fn– почти всюду непрерывны по µ.
n
Тогда для «почти всех» r1, . . . , rn:
lim µn(f1(x) < r1, . . . , fn(x) < rn) = µ (f1(x) < r1, . . . , fn(x) < rn) .
Доказательство для n=1 ( см. Гихман И.И, Скороход А.В. [6, том 1, Замечание 3, стр. 520; 1971] ).
10.7
О критерии единственного продолжения ограниченной регулярной ко-
нечно–аддитивной меры на компакте до регулярной счётно – аддитивной
меры.
( См. Дынкин Е.Б., Шабат Б.В., Юшкевич А.А. [8, стр. 155; 1976] ).
10 Глава 1 Локально выпуклые пространства
1.11 Пополнение ММП
Напомним, что мультиметрическое пространство ММП (X, D) предполагается всегда хаусдорфовым (отделимым), т.е. семейство D полуметрик на X
разделяет точки X [ d(x, y) = o : ∀d ∈ D ⇒ x = y ].
Последовательность (xn) точек ММП (X, D) называется фундаменталь-
ной, если (при n, m → ∞) d(xn, xm) → o: ∀d ∈ D.
ММП называется полным, если всякая фундаментальная последовательность
имеет предел в X .
ММП (X, A) и (Y, B) называются изометричными, если существуют
биекции
ϕ : X → Y и h : A → B
такие, что
α(x1, x2) = (hα)(ϕx1, ϕx2) : ∀x1, x2∈ X.
Определение. Пополнением ММП X называется ММП Y такое, что
Y – полное пространство;
X изометрично некоторой части Yo⊂ Y ;
Yoплотно в Y , (т.е. Yo= Y ).
Предложение. Свойства пополнений ММП:
всякое ММП допускает пополнение;
любые два пополнения ММП изометричны;
если ММП сепарабельно, то и пополнение его тоже сепарабельно.
Проходит идея доказательства существования пополнения метрического пространства, использованная в работе ( Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. [11,
стр. 12; 1988] ).
Комментарий. Чаще пополнение строится с использованием другой конструкции: если X — подпространство ММП Z, то
X — пополнение X.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]