Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метризация топологических пространств
.pdf
4.3 Согласованность видов сходимости 31
4.3 Согласованность видов сходимости
Теорема. Пусть (X, d) – метрическое пространство; ξ, ξn— X – случайные
элементы. Тогда
п.н.
ξ
−−−→ ξ =⇒ ξ
n
по вер.
−−−−−→ ξ =⇒ ξ
n
Доказательство первой импликации. ξ
что даёт
\
Р
{m>1}[{n>1}\{i>n}
(
[
\
Р
n>1
(d(ξi, ξ) < ε))= 1 : ∀ε =
i>n
d(ξi, ξ) <
и значит ∀ε : o < ε 6 1. Это дает
(
\
lim
или
n→∞
Р
(d(ξi, ξ) < ε))= 1 (3)
i>n
(
[
lim
значит lim
n→∞
Р
n→∞
Р (d (ξn, ξ) > ε) = o, т.е. ξ
(d(ξi, ξ) > ε))= o, (4)
i>n
слабо
−−−−→ ξ.
n
п.н.
−−→ ξ означает
n
1
m
1
m
по вер.
−−−−−→ ξ.
n
= 1, (1)
, m > 1, (2)
Проверка второй импликации.
Первый способ. Через сходимость по метрике Прохорова. ( См. Вахания Н.Н., Тариеладзе В.И., Чобанян С.А. [5,
стр. 110 – 111; 1985] и Следствие 4.12 на стр. 42 ).
Второй способ. Следует показать, что Ef (ξn) → Ef(ξ) : ∀f ∈ C (X).
|Ef (ξn) − Ef (ξ)| 6 E |f (ξn) − f (ξ)|1
6 2c · Р (Enε) + c · [Р
E
nε
ξ
n
(K
+ 1
c
δ
c
1
K
E
nε
) + Рξ(K
c
δ
+ 1
K
δ
c
)] + sup
δ
d(x,y)6ε
x,y∈K
|f(x) − f(y)|,
δ
где Enε= {d (ξn, ξ) > ε}, а компактное множество Kδ∀δ > o в силу плотности
семейства мер {Рξ; Р
, n > 1} выбирается из условия Р
ξ
n
ξ
n
(K
c
)∨Рξ(K
δ
c
) < δ.
δ
32 Глава 4 Виды сходимости случайных элементов
Комментарий. Используется утверждение: если ξ
вероятностных мер {Рξ, Р
, Р
, . . .} плотно.
ξ
ξ
1
2
по вер.
−−−−→ ξ, то семейство
n
Дополнение. (См. Раздел 4.13, стр. 43) В условиях предыдущей теоремы
по вер.
ξ
−−−−→ const ⇐⇒ ξ
n
слабо
−−−→ const.
n
4.4 Сходимость почти наверное
Теорема. Пусть (X, d) – метрическое пространство. Следующие утвержде-
ния равносильны:
п.н.
o
ξ
−−→ ξ;
1
n
2olim
Доказательство. 1o=⇒ 2o.
Рsup
n→∞
∀ε > o E
d (ξi, ξ) > ε= o.
i>n
ε
2
⊃sup
n
d (ξi, ξ) > ε⊃
i>n
[
{d (ξi, ξ) > ε} = En(ε).
i>n
Остаётся воспользоваться (4) из предыдущего Раздела 4.3.
2o=⇒ 1o. Из последнего включения следует Р (En(ξ)) → o : ∀ε > o.
Это даёт последовательно: (3) – (2) – (1) ( из Раздела 4.3).
Комментарий.
Возможно лучше сначала доказывать Теорему Раздела 4.4,
а затем Теорему Раздела 4.3.
4.5 Лемма Бореля – Кантели
Лемма. Пусть A1, A2. . . – события.
P
o
1
Р (An) < ∞ =⇒ Р
P
o
2
Р (An) = +∞ и события независимые =⇒ Р
lim A
Напомним, что lim An=
n
T
m>1Sn>m
= o.
An.
lim A
= 1.
n
4.6 Сепарабельность ЛТП 33
Доказательство.
1oР lim A
2oР
lim A
= lim
n
= 1 − Р
n
!
\
Р
A
n>m
m→∞
Р
%
c
6 Р
n
6 exp(−
S
n>m
S
m>1Tn>m
!
N
\
n=m
A
n
A
A
X
6 lim
c
n
%
c
n
N
P
m→∞
n>m
= 1 − lim
=
N
X
m
m→∞
Р (A
Р (An) = o.
Р
c
) =
n
Р (An))→ o : N → ∞.
m
T
c
A
n
n>m
N
X
[ 1 − Р (An)]
m
;
Комментарий. 1 − x 6 e−x∀x > o
, так как
F (x) = e−x− 1 + x, F(o) = o, F′(x) = 1 − e−x> o : ∀x > o.
4.6 Сепарабельность ЛТП
Комментарий. Метризуемое ЛТП автоматически сепарабельно (так как
в несепарабельном метризуемом ЛТП операции сложения и умножения на
число не являются (не только непрерывными, но даже) измеримыми.
( Cм. Вахания Н.Н. [4, стр. 24; 1972 ] ).
C другой стороны, существуют несепарабельные банаховы пространства.
4.7 Сходимость случайных элементов в ММП
В случае ММП (X, D) cходимость X – случайных элементов: почти наверное,
по вероятности и слабая определяются аналогично.
В частности, ξ
по вероятности
ξ
−−−−−−−−−→ ξ ( или ξ
n
п.н.
−−→ ξ означает
n
Р{ lim
d(ξn, ξ) = o} = 1 : ∀d ∈ D;
n→∞
по вер.
−−−−→ ξ или ξ
n
Р
−→ ξ ) означает
n
Р{d(ξn, ξ) > ε} → o : ∀ε > o, ∀d ∈ D.
34 Глава 4 Виды сходимости случайных элементов
Замечание. Теорема Раздела 4.3 в части ξ
п.н.
−−→ ξ =⇒ ξ
n
по вер.
−−−−→ ξ, а также
n
Теорема Раздела 4.4 остаются в силе. Доказательство не меняется, если иметь
в виду, что выкладки проводятся для ∀ d ∈ D.
4.8 Класс непрерывных функций ММП
Для ММП (X, D) обозначим через C1(X, D) = C1(X) класс функций
f : X → R1таких, что существуют число c > o и конечный набор полуметрик d1, . . . , dmтаких, что
|f(x) − f(y)| 6 c · d1(x, y) ∨ ··· ∨ dm(x, y) : ∀x, y.
Ясно, что такая функция непрерывна [ и даже равномерно непрерывна на
полуметрике
Если класс C1(X) достаточно богат (в частности, разделяет точки пространства X), то в некоторых выкладках с этим классом легче работать, чем
с классом C(X ) из – за равномерной непрерывности по полуметрике типа
m
W
di. Такое требование к классу C1(X) может быть исходным дополни-
i=1
тельным требованием к пространству (X, D).
Отметим, в этой связи, что вполне регулярное пространство X топологически эквивалентно ММП (X, D), где D = {df}, df(x, y) = |f(x) − f (y)|, f ∈
C( X ). В этом случае C1(X) = C(X). Ещё более сильным требованием явля-
ется требование, чтобы класс Co(X) разделял точки пространства X. Здесь
Co(X) состоит из функций вида
m
W
di], C1(X) ⊂ C(X).
i=1
|f(x) − f(y)| 6 c · d(x, y) : ∀x, y ∀d ∈ D при некотором c = c(f, d) > o.
Это требование ограничивает D от чрезмерного «засорения полуметриками»,
(например, D не может содержать вместе с d и полуметрики λd : ∀λ > o).
В случае метрического пространства (X, d) классы Co(X) и C1(X) совпадают
и состоят из функций вида
|f(x) − f(y)| 6 c · d(x, y) : ∀x, y
для некоторoго числа c = c(f ) > o. [ Условие Липшица ].
Если слабую сходимость вероятностных (или конечных) борелевских мер
на (X, D) определять относительно функций из Co(X) или C1(X) или C(X)
обычным образом в виде:
4.8 Класс непрерывных функций ММП 35
слабо типа o
µ
−−−−−−−→ µ ⇋ µn(f) → µ(f ) : ∀ f ∈ Co(X),
n
слабо типа 1
µ
−−−−−−−→ µ ⇋ µn(f) → µ(f ) : ∀ f ∈ C1(X),
n
слабо
µ
−−−→ µ ⇋ µn(f) → µ(f ) : ∀ f ∈ C(X),
n
то, учитывая Co(X) ⊂ C1(X) ⊂ C(X), имеем, что слабая сходимость типа
o слабее слабой сходимости типа 1, которая в свою очередь слабее слабой
сходимости:
слабо
µ
−−−→ µ =⇒ µ
n
Предложение. Для любых: замкнутого множества F и точки a
слабо типа 1
−−−−−−−→ µ =⇒ µ
n
слабо типа o
−−−−−−−→ µ.
n
∈F ММП
(X, D), существует f ∈ C1(X) такая, что
o 6 f(x) 6 1, f(a) = o, f(x) = 1 : x ∈ F.
Более того, в качестве f можно взять функцию вида
f(x) =
d(x, a)
d(x, a) + d(x, F )
, где d ∈ D и d(a, F ) > o.
При этом
|f(x) − f(y)| 6
d(x, y)
d(a, F )
: ∀x, y. (∗)
Комментарий 1. В частности, семейство разделяет точки пространства X.
Если a и b 6= a – точки из X, d ∈ D и d(a, b) 6= o, то функция
f(x) =
d(x,a)
d(x,a)+d(x,b)
удовлетворяет |f(x) − f (y)| 6
d(x,y)
, т.е. f ∈ C1(X).
d(a,b)
Доказательство. Найдется d ∈ D такое, что d(a, F ) 6= o, так как иначе
d(a, F ) = o : ∀d и в силу замкнутости F было бы a ∈ F. Для такой полумет-
рики d ∈ D d(x, a) + d(x, F ) > o : ∀x, так как
d(x, a) + d(x, F ) > d(a, F ), (∗∗)
что в свою очередь следует из d(a, x) + d(x, y) > d(a, y) > d(a, F ) : ∀y ∈ F,
значит d(x, y) > const = d(a, F ) − d(a, x) : ∀y ∈ F , что дает d(x, F ) =
inf
d(x, y) > d(a, F ) − d(a, x).
y∈F
Ясно, что o 6 f(x) 6 1, f(a) = o, f(x) = 1: x ∈ F [ если x ∈ F, то
d(x, F ) = o, d(x, a) > o ].
36 Глава 4 Виды сходимости случайных элементов
Проверка (∗). Для неотрицательных чисел a, b, c, d таких, что a + b > o и
c + d > o, имеем
Действительно, левая часть равна
a
a+b
−
c
c+d
|a−c|∨|b−d|
6
a+b
.
|ad−bc|
(a+b)(c+d)
, но
|ad −bc| = |(a −c)d + (d −b)c| 6 |a −c|d + |b −d|c 6 (|a −c| ∨ |b −d|)(d +c).
В нашем случае |f(x) − f (y)| 6
|d(x,a)−d(y,a)| ∨ |d(x,F )−d(y,F )|
d(x,a)+d(x,F )
.
Остаётся воспользоваться неравенством (∗∗) и неравенствами
|d(x, a) − d(y, a)| 6 d(x, y); |d(x, F ) − d(y, F )| 6 d(x, y).
Проверим последнее неравенство.
d(x, F ) 6 d(x, z) 6 d(x, y) + d(y, z) : ∀z ∈ F.
Что даёт d(y, z) > const = d(x, F ) − d(x, y) : ∀z ∈ F.
Значит d(y, F ) > const или d(x, F ) − d(y, F ) 6 d(x, y).
Аналогично показывается
d(y, F ) − d(x, F ) 6 d(x, y).
Комментарий 2. Пусть (X, D) – ММП, d ∈ D, A ⊂ X, B ⊂ X, d(A, B) > o.
Тогда функция
f(x
) =
d(x, A)
d(x, A) + d(x, B)
удовлетворяет условиям
o 6 f(x) 6 1, f = o на A, f = 1 на B, |f(x) − f (y)| 6
d(x, y)
d(A, B)
( в частности, равномерно непрерывна относительно полуметрики d ).
Доказательство аналогичное.
4.9 Полуметрики, порожденные подмножеством
С каждым ММП (X, D) свяжем ММП (X,bD), гдеbD = {bd} семейство пoлу-
метрик вида
b
d(x) = d1(x) ∨ . . . ∨ dn(x) : ∀x.
4.9 Полуметрики, порожденные подмножеством 37
Другими словами, каждое конечное подмножество D ⊂ D образует полуметрикуbd ∈bD,bd(x) =
W
d(x).
d∈D
Будем писать такжеbd(x) = D(x) илиbd = D ( в силу указанной биекции
междуbD и семейством конечных частей множества D ).
Отметим полезное, но тривиальное:
Предложение 1. Cемейства D иbD полуметрик на X являются разделя-
ющими (точки X) одновременно;
τD= τ
, т.е. семейства D иbD образуют одну и ту же топологию на X.
b
D
Таким образом, ММП (X, D) и (X,bD) как топологические пространства
совпадают, но вbD можно ввести естественный порядок (частичный):
b
d1≺bd2означаетbd1(x) 6bd2(x) : ∀x,
причем этот порядок является направлением ( множеством, фильтрующимся
вправо – по терминологии Бурбаки ), т. е.
∀bd1∈bD ∀bd2∈bD ∃bd ∈bD :bd1≺bd,bd2≺bd.
[ Действительно, еслиbdiопределяется конечным подмножеством Di⊂ D :
b
di(x) =
_
d(x) : ∀x,
d∈D
i
W
то в качествеbd можно взятьbd(x) =
b
d1≺bd2означает D1⊂ D2) ].
d(x) для D = D1∪D2( Отметим, что
d∈D
Предположение. Таким образом, без ограничения общности можно считать: семейство D полуметрик, определяющее ММП (X, D), снабжено
структурой направленного множества.
Предложение 2. Если f, g ∈ C1(X), то (f ∨g) ∈ C1(X) и ( f ∧ g ) ∈ C1(X).
Доказательство. Отметим прежде всего
f = (1 − f ) ∈ C1(X), если
f ∈ C1(X). Так как
|f ∧ g(x) − f ∧g(y)| =
f ∨ g(x) − f ∨g(y)
иf ∧ g(x) = 1 − f ∨g(x),
38 Глава 4 Виды сходимости случайных элементов
то достаточно лишь убедиться, что f ∨ g ∈ C1(X).
Для чисел a, b, c, d имеем
a ∨ b − c ∨ d = (a − c ∨ d) ∨ (b − c ∨ d) 6 (a − c) ∨ (b − d).
Это даёт
[f ∨g(x)−f ∨g(y) ] 6 f(x)−f(y)∨ g(x)−g(y)6 |f(x) −f(y)|∨|g(x)−g(y)|.
Аналогичное неравенство получится, если x и y поменять местами. Это
даёт:
|f ∨ g(x) − f ∨g(y)| 6 |f(x) − f (y)| ∨ |g(x) − g(y)|, значит (f ∨ g) ∈ C1(X)
Замечание. | f ∧ g(x) − f ∧g(y) | 6 | f(x) − f (y) | ∨ | g(x) − g(y) |.
Комментарий. Если через C1b(X) обозначить класс ограниченных функ-
ций f : X → R1вида ∀x, y (|f(x) − f (y)| 6 c · d(x, y)) : для некоторого
d ∈ D и некоторого числа c = c(f, d) > o, то естественный порядок f 6 g
в C1b(X) означает f(x) 6 g(x) : ∀x и превращает C1b(X) в пространство
Рисса. Это следует из
C1b(X) =λ · f + c
: f ∈ C1(X), λ ∈ R1, c ∈ R
1
и Предложения 2 на стр. 37 ( другое представление C1b(X) см. Комментарий
1 из Раздела 4.10 стр. 39 ).
4.10 Структура пространства C1b(X)
Пусть опять (X, D) – ММП и C1b(X) – класс ограниченных функций
f : X → R1вида |f (x) − f (y)| 6 c · d(x, y) для некорого d ∈ D и некоторого числа c = c(f, d) > o.
Предложение.
1oC1b(X) разделяет точки пространства X.
2oC1b(X) является пространством Рисса относительно порядка f 6 g ⇋
f(x) 6 g(x) : ∀ x (т. е. линейным пространством, замкнутым относительно операций ∨ и ∧ ).
3oC1b(X) является кольцом функций.
4.10 Структура пространства C1b(X) 39
Доказательство. 1oследует из C1b(X) ⊃ C1(X) и того, что C1(X) разделяет точки пространства X ( cм. Комментарий 1 Раздела 4.8 стр. 35 ).
2oесть содержание Комментария Раздела 4.9 стр. 38.
3oтак как C1b(X) = {λ · f + c : λ, c ∈ R1, f ∈ C1(X)}, то достаточно
проверить, что f, g ∈ C1(X) влечёт f ·g ∈ C1(X).
Действительно, для чисел o 6 a, b, c, d 6 1 имеем
|ab − cd| 6 2(|a − c| ∨ |b − d|). (1)
Это следует из
(a − c)(b + d) = (ab − cd) + (ad − bc), (a + c)(b − d) = (ab − cd) − (ad − bc),
что даёт
ab − cd 6 (a − c)(b + d) ∨ (b − d)(a + c) 6 |a − c| · 2 ∨ |b − d| · 2,
и значит ( меняя местами a и c, а также b и d ) cd −ab 6 2(|a−c|∨|b −d|),
откуда получаем (1). Из (1) получаем
|f(x)g(x) − f (y)g(y)| 6 2(|f (x) − f (y)| ∨ |g(x) − g(y)|)
6 2(c1∨ c2)(d1∨ d2)(x, y) : ∀x, y,
где ciи diвыбраны из условий
|f(x) − f(y)| 6 c1· d1(x, y) : ∀x, y, d1∈ D, c1> o; (2)
|g(x) − g(y)| 6 c2· d2(x, y) : ∀x, y, d2∈ D, c2> o. (3)
Это даёт f · g ∈ C1(X).
Комментарий 1. Хотя и верно, что
C1b(X) = {λf + c : λ, c ∈ R1, f ∈ C1(X)},
но иногда удобно представлять C1b(X) как класс линейных конечных комбинаций функций из C1(X), т.е.
(
n
X
C1b(X) =
λifi: n > 1, λi∈ R1, fi∈ C1(X)).
1
[ Если f и g удовлетворяют (2) и (3), то
|(f + g)(x) − (f + g)(y)| 6 |f (x) − f (y)| + |g(x) − g(y)|
6 2 |f(x) − f(y)| ∨ |g(x) − g(y)|
6 2(c1∨ c2) · (d1∨ d2(x, y) ].
40 Глава 4 Виды сходимости случайных элементов
Комментарий 2. Если X – компактное пространство, то это Предложение
вместе с Теоремой Стоуна – Вейерштрасса даёт: замыкание C1b(X) по равномерной метрике, C(X ) — класс непрерывных ограниченных функций на X.
В частности, в этом случае слабая сходимость типа 1 вероятностных мер
на X совпадает с обычной слабой сходимостью. Проверим это. Достаточно
проверить, что µn(f) → µ(f) : ∀f ∈ C1b(X) влечёт µn(f) → µ(f) :
∀f ∈ C(X) [ o 6 f 6 1 ].
Пусть ε > o, f ∈ C (X). Выберем fε∈ C1b(X), чтобы |f (x)−fε(x)| 6 ε : ∀x.
µn(fε) → µ(fε), то ∃N такое, что | µn(fε) − µ(fε) | < ε : ∀n > N. Это даёт
∀n > N : | µn(f)−µ(f ) | 6 | µn(fε)−µ(fε) |+µn(|f −fε|)+µ(|f −fε|) 6 3ε.
4.11 О критерии слабой предкомпактности мер
Из критериев Раздела 3.1, т.е. Предложения (критерия предкомпактности
семейства мер) стр. 25 и Комментария 2 стр. 26, следует:
Предложение 1. Для слабой предкомпактности M ⊂ Cap(X) { Cap –
Collection of All Probobility distributions } в случае польского пространства
(X, d) необходим о и достаточно, чтобы ∀ ε > o ∀δ > o ∃ компактное
множество K = Kεδ⊂ X такое, что µ(X r S(K, δ)) 6 ε : ∀ µ ∈ M,
def
[ µ(X r Kδ) 6 ε : ∀µ ∈ M, K
δ
= S(K, δ) ].
Замечание. Возможно C ap(X) лучше обозначать через P(X ) или Р(X)
или Proba(X) или proba(X) . . .
Доказательство. Необходимость следует из Предложения Раздела 3.1 стр.
25, так как
∀δ > o ∀µ ∈ M : µ(X r K
δ
) 6 µ(X r Kε) 6 ε.
ε
Достаточность. Пусть A – конечная δ – сеть множества K = Kεδ, то-
δ
гда S(A, δ) ⊃ K и значит S(A, 2δ) ⊃ K
= S(K, δ). Проверим последнее
включение. x ∈ Kδ⇁ ∃y ∈ K : d(x, y) < δ. Тогда, т. к. S(A, δ) ⊃ K ∋ y, то
∃a ∈ A : d(a, y) < δ. Это даёт
d(a, x) 6 d(a, y) + d(y, x) < 2δ, т. е. x ∈ S(A, 2δ).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]