Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метризация топологических пространств
.pdf
Глава 6
Безгранично делимые
распределения
6.1 Метод анализа
Эта теория значительно продвинута работами Г.П. Климова. В частности,
получен общий вид безгранично делимого распределения в банаховом пространстве.
Отметим, что всякое ЛВП есть линейное подпространство тихоновского
произведения нормированных пространств [ Аналогично, ММП есть топологическое подпространство тихоновского произведения метрических пространств:
k : x 7→ kd(x)
Y
D
kd(X) – инъекция
∈
d∈D
(т. к. kd(x) = kd(y) : ∀d ⇋ d(x, y) = o : ∀ d ⇋ x = y), поэтому Xk−→ k(X) ⊃
Q
kd(X) – непрерывная биекция: линейная, если X – линейное топологиче-
ское пространство ].
Поэтому для распространения соответствующей теории ( суммирования
независимых сл. элементов; безгранично делимых распределений; ... ) на
ЛВП, или SFS (пространство Фреше: semi – F re′chet пространство), или
ММП достаточно показать, что класс пространств, для которых верен соответствующий результат теории, замкнут относительно операции тихоновского произведения пространств и операции взятия подпространств.
Как правило, основную трудность составляет проверка замкнутости первой операции (вплоть до того, что теорию приходится строить заново).
91
92 Глава 6 Безгранично делимые распределения
1-й этап: перенести теорию безгранично делимых распределений в бана-
ховых пространствах на случай безгранично делимых распределений в SBS.
2-й этап: проверить, что результаты относительно безгранично делимых
распределений в SBS сохраняются для подпространств SB.
6.2 Используемые σ-алгебры
2.1 Пусть X – топологическое пространство, τ – его топология, β – база
или предбаза топологии. Тогда σ(τ ) = B(X) – борелевская σ–алгебра.
Полезные σ–алгебры σ(β) существенно зависят от выбора β. Например,
если X – вполне регулярное пространство, β1– предбаза, составленная из
множеств {x : f (x) < o}: f ∈ C(X ), то σ(β1) = B0(X) – бэровская σ–
алгебра. Если же β2– предбаза ММП, составленная из шаров, то σ(β2) =
D(X) — σ–алгебра Dudley.
2.2 Пусть XI=
странств Xi: i ∈ I; Bi— σ–алгебра подмножеств Xi; BI=
Отметим, что B(XI) 6=
Xi– тихоновское произведение топологических про-
I
N
B(Xi) уже для I = {1, 2}.
i∈I
N
i∈I
Bi.
[ Определение BIгодится и для измеримых пространств (Xi, Bi) : i ∈ I ].
Определение. Пусть X – топологическое пространство и A – некоторая
σ–алгебра его подмножеств. Вероятностную меру µ : A → [0, 1] назовем
Q
непрерывной
, если она определяется своими значениями на замкнутых (или
открытых) множествах из A, т.е. ∀A ∈ A и ∀ε > 0 существует замкнутое
множество F ∈ A такое, что µ(A△F ) < ε.
Комментарий. Пусть A = B(X) — борелевская σ–алгебра. Регулярная
вероятностная мера является непрерывной, обратное неверно.
Предложение. Пусть µ – вероятностная мера на (X, BI) и сужения µ
меры µ на (Xi, Bi) являются непрерывными. Тогда µ – непрерывная мера.
Доказательство. Пусть cyl(XI) – класс всех цилиндров BJ× X
J – конечное множество индексов из I, X
основание цилиндра BJ×X
c
[ т. е. Bj∈ Bj: ∀j ]. Известно, что cyl(XI) –
J
IrJ
=
Q
Xiи BJ=
i∈(IrJ )
C
J
, где
Q
B
j∈J
алгебра подмножеств множества XI; BI= σcyl(XI); ∀ B ∈ BI∀ε > 0 ∃ C ∈
cyl( XI) (C = BJ× X
C
) такое, что µ(B△C) < ε.
J
i
j
6.3 О конструкции продолжения меры 93
Воспользуемся неравенством треугольника µ(A△B) + µ(B△C) > µ(A△C ):
[ A△C = (ACc+ AcC) ∩(Bc+ B) = (ACcBc+ ACcB) + (AcCBc+ AcCB) ⊂
(ABc+ AcB) ∪ (BCc+ CBc) = (A△B) ∪ (B△C) ] и непрерывностью меры µ
на (XJ, Bj), в частности, существованием замкнутого в XJмножества F
такого, что µJ(B
Отметим, что цилиндр FJ×X
J△FJ
) < ε.
C
= F является замкнутым в XIмноже-
J
ством и
µ(C△F ) = µJ(B
J△FJ
)
J
J
[ так как C△F = (B
J△FJ
)×X
C
∈ cyl(XI) и µJесть проекция µ на (XJ, Bj) ],
J
поэтому µ(B△F ) 6 µ(B△C) + µ(C△F ) < 2 ε.
6.3 О конструкции продолжения меры
Комментарий. Пусть λ — σ – аддитивная мера на алгебре A подмнoжecтв
множества X.
λ−(E) = supnλ
λ+(M) = infnλ
X
−
[
X
A
:
n
An⊂ E, An∈ Ao: ∀E ∈ 2X.
A
: M ⊂[An, An∈ Ao: ∀M ∈ 2X.
n
M ∈ 2Xназовем λ – измеримым множеством, если ∀ ε > 0 ∃A ∈ A, такое,
что λ+(M△A) < ε.
Тогда λ+— σ – аддитивная мера на σ – алгебре λ – измеримых множеств,
[ так как λ+(M) = λ∗(M) = inf (Pλ(An) : M ⊂SAn, An∈ A ) ].
S
An=PBn, An∈ A, B
n+1
= A
n+1
A
c
. . . A
1
c
n
∈ A.
6.4 Почти наверное регулярная мера
Пусть X топологическое пространство, A(X) – некоторая σ–алгебра его подмножеств [ например, A(X) = σ(β), где β – база (или предбаза) топологического пространства X ].
Определение. Вероятностную меру µ : A(X) → [ 0, 1 ] назовем п.н.
регулярной, если ∀ A ∈ A(X) ∃B ∈ A(X) такое, что µ(A△B) = 0 и
µ(B) = sup{µ(F) : A(X) ∋ F ⊂ B, F – замкнутое множество} или [ µ(B) =
inf{µ(G) : B ⊂ G ∈ A(X), G – открытое множество} ].
94 Глава 6 Безгранично делимые распределения
6.5 О регулярности вероятностной меры
Рассмотрим достаточное условие регулярности вероятностной меры на произведении топологических пространств ( Cм. обозначения в Разделе 6.2.2
стр. 92 ).
Предложение. Пусть µ – вероятностная мера на (XI, BI) и (проекции)
сужения µiмеры µ на ( Xi, Bi) регулярны. Тогда µ – регулярная мера.
Доказательство. (Cм. Леммы 1 – 2 Раздела 6.11 стр. 106). Пусть λ – ле-
беговское продолжение вероятностной меры µ с алгебры A = cyl(XI) на σ –
алгебру Aµизмеримых (относительно меры µ ) по Лебегу множеств [ значит
Aµсовпадает с пополнением σ – алгебры BIотносительно меры µ ].
Ясно, что Aµ⊃ BIи λ = µ на BI. Теперь достаточно проверить, что ∀ A ∈
Aµ, ε > 0 найдется открытое множество G из BIтакое, что G ⊃ A и λ(A) >
λ(G) − ε, т. е. λ(A) = inf{λ(G) : A ⊂ G ∈ BI, G – открытое множество}.
Действительно, имеем
n
λ(A) = inf
X
µ(Cn) : A ⊂
X
Cn, Cn∈ cyl(XI)o,
поэтому существует последовательность цилиндров C1, C2, . . . такая, что
X
λ(A) >
Отметим, что если C = Bj× X
µ(Cn) − ε, A ⊂
C
– цилиндр с основанием Bj, то, в силу
J
X
Cn.
регулярности меры µJ( проекции меры µ ) на (XJ, BJ), ∀ε > 0 существует
открытое в XJмножество GJтакое, что µJ(BJ) > µJ(GJ) – ε, и значит
для открытого цилиндра G = GJ× X
C
имеем µ(C) > µ( G) – ε, C ⊂ G.
J
Отсюда следует, что ∀n > 1 существует открытый цилиндр Gnтакой, что
Gn⊃ Cnи µ(Cn) > µ(Gn) − ε · 2−n.
Это дает
X
λ(A) >
µ(Gn) − 2ε > µ[Gn− 2ε = µ(G) − 2ε, для
[
G =
Gn⊃[Cn⊃ A, G ∈ BI(т. к. Gn∈ BI).
6.6 Линейный непрерывный функционал на произведении ЛТП 95
6.6 Линейный непрерывный
функционал на произведении ЛТП
Предложение. Пусть (Xi, di) – нормированные пространства с нормой
di, i ∈ I; (XI, τI) – тихоновское произведение этих пространств ( с топологией
τI, порождаемой в данном случае разделяющим семейством D = (di◦ πi)
полунорм ).
Тогда всякий линейный непрерывный функционал на XIимеет вид
X
f =
fj◦ πj,
j∈J
I
где fi– линейный непрерывный функционал на Xi, πi– проекция XIна X
(т. е. πi(x) = xi: x = (xi) ∈QXi), J – конечный набор индексов из I.
Другими словами, f = (fi) ∈
вектора (fi)Iотлично от нуля. В частности,
|f(x)| 6 cJ· dJ(x) : ∀ x ∈ XI, где dJ(x) =
P
[ или
[ или dJ=
dj(xj) ] : ∀x = (xi)I∈ XI; cJ=
j∈J
W
dj◦ πj; в этом случае, kfk = sup
j∈J
Q
∗
X
, где лишь конечное число компонент
i
i∈I
W
dj(xj)
j∈J
W
kfjk ],
j∈J
W
|f(x)| =
dJ(x)=1
j∈J
kfjk ].
Доказательство. См. Предложение Раздела 2.16, стр. 23.
Следствие 1. Всякий линейный непрерывный функционал f на XIявля-
ется BI– измеримым. Более того, прообраз открытого множества ( на R1)
является открытым цилиндром [ т. е. элементом cyl(XI) ⊂ BIс основанием
∈ BJ].
Q
Следствие 2. Всякий линейный непрерывный функционал на XI=
имеет вид f = g ◦ πJ, где πJ– проекция XIна XJ=
конечного множества J ⊂ I, а g – линейный непрерывный функционал на
нормированном
пространстве XJ( c нормой dJ=
W
i∈J
Q
di◦ πi).
Xiдля
i∈J
X
I
В частности, характеристический функционал на XIимеет вид
Ee
if(ξ)
= Ee
ig(η)
: η = πJ(ξ), g ∈ X
∗
и J зависит от f ∈ X
J
∗
.
I
i
i
Следствие 3. Если интеграл Петтиса определен ∀ (Xi, di), то он определен
для XI. Более точно
Eξ = (Eξi)
[ т. к. f (Eξ) = g ◦ πJEξ = g(πJEξ) = g(EπJξ) = Eg ◦ πJξ = Ef(ξ) : ∀f ∈ X
I
∗
].
I
96 Глава 6 Безгранично делимые распределения
[ То же верно и относительно интеграла Бохнера, если его "естественным"
образом определить на XI( См. Вахания Н.Н., Тариеладзе В.И., Чобанян
С.А. [5, стр. 100; 1985], Климов Г.П. [12, стр. 194 – 197; 2011] ). Относительно интеграла Петтиса для гильбертовых пространств см. Климов Г.П [12,
стр. 197; 2011] ].
6.7 Линейный
непрерывный функционал на ЛВП
Известно, (cм. Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. [11, стр. 55 – 56; 1988]), что
топология всякого отделимого ЛВП может быть задана разделяющим семейством {di}Iполунорм.
Пусть (X, D) – МНП с разделяющим семейством D = {di}Iполунорм.
Обозначения:
Li= {x ∈ X : di(x) = o} – линейное подпространство пространства X;
Xi– фактор – пространство линейного пространства X по подпростран-
ству Li(состоит из элементов вида x + Li, x ∈ X );
ki– каноническое отображение X на Xi(x 7→ ki(x) = x + Li);
di– норма на Xiвида: di(x, y) = di(ki(x), ki(y)) : ∀x, y ∈ X ; будем
использовать ещё обозначение di= ki(di);
k : X → XI=
(ki(x))I;
Y = k(X) ⊂ XI.
Отметим, что ki: X → Xi– непрерывное линейное отображение. { Cм.
стр. 78 и 68 }. Отсюда получаем
Q
Xi– отображение, определяемое формулой k(x) =
i∈I
Предложение. k : X → Y – непрерывная линейная биекция.
Доказательство. Линейность k.
k(x + y) = (ki(x + y))I= (ki(x) + ki(y))I= (ki(x))I+ (ki(y))
= ki(x))I+ (ki(y))I= k(x) + k(y) : ∀x, y ∈ X.
Биективность k. В силу определения Y отображение k : X → Y сюръективно. Если же x 6= y – элементы X, то ∃i ∈ I такое, что di(x − y) 6= o
и значит ki(x) 6= ki(y). Это означает, что k(x) 6= k(y), т. е. k : X → Y
инъективно.
I
6.8 Вид линейного непрерывного функционала в ЛВП 97
Непрерывность k. xn→ x в X влечет ki(xn) → ki(x) : ∀i ∈ I и поэто-
му в тихоновской топологии τIпроизведения пространств Xi: i ∈ I имеем
k(xn) → k(x).
Комментарий. Топология τYв Y есть след топологии τIна Y, т. е. τY=
{A ∩ Y : A ∈ τI}. ( Иначе, Y рассматривается как подпространство топо-
логического пространства XI).
Задача. Выяснить условия, при которых k : X → Y – открытое отобра-
жение [ в этом случае топологические пространства X и Y гомеоморфны
(а непрерывная в обе стороны биекция k устанавливает соответствующую
топологическую эквивалентность) ].
6.8 Вид линейного
непрерывного функционала в ЛВП
X – МНП с разделяющим семейством D = (di)Iполунорм. Воспользуемся
обозначениями Раздела 6.7 стр. 96.
Предложение. f ∈ X∗имеет вид f = fJ◦ kJ, где J – конечная часть I;
LJ= {x ∈ X : dj(x) = o} – линейное подпространство пространства X,
где dJ=
подпространству LJ( состоит из элементов x + LJ, x ∈ X );
kJ– каноническое отображение X на XJ(x 7→ kJ(x) = x + LJ);
dJ– норма на XJвида dJ(x) = dJ(kJ(x)) : ∀x ∈ X или dJ(x, y) =
dJ(kJ(x), kJ(y)) : ∀x, y ∈ X ;
fJ– линейный непрерывный функционал в нормированном пространстве
(XJ, dJ).
Доказательство. Оно получается из Предложения 2.16 стр. 23. Имеем
Проверим, что f(x) зависит от x через kJ(x). Предположим обратное, т. е.
∃x, y ∈ X такие, что kJ(x) = kJ(y) и f (x) 6= f (y). Но это даёт
W
di; XJ– фактор пространство линейного пространства X по
i∈J
|f(x)| 6 C · dJ(x) : ∀x ∈ X.
|f(x − y)| 6 C ·dJ(x − y) = C ·
= C ·
dJ(kJ(x) − kJ(y)) = o, т. е. f(x) = f(y).
dJ(kJ(x − y))
98 Глава 6 Безгранично делимые распределения
[ По другому: пусть kJ(x) = kJ(y), тогда ↑ f(x) = f (y) ]. Таким образом,
f имеет вид f = fJ◦ kJ, где fJ– функция на XJ. Ясно, что fJ– линейный
функционал и
|fJ(w)| 6 C ·
dJ(w) : ∀w ∈ XJ.
6.9 Линейный
непрерывный функционал на ММП
Пусть (X, D) – линейное ММП ( любая полуметрика di∈ D = (di)Iинвариантна относительно сдвига ): di(x + z, y + z) = di(x, y) = di(x − y, o) =
di(x − y). Сохраним обозначения Раздела 6.8 стр. 97. Liи LJдействительно
линейные подпространства, т.к. di(x + y) 6 di(x) + di(y).
Предложение. ∀f ∈ X∗существует конечная часть J множества I и
fJ∈ X
храняется и в этом более общем случае ).
Доказательство. Рассуждения, используемые в доказательстве Предложения 2.16, стр. 23, показывают, что и в данном случае ∀ε > 0 ∃δ > 0 и
конечное J ⊂ I такие, что |f (x)| 6 ε: dJ(x) 6 δ.
значит dJ(λz) =
|f(x) − f(y)| 6
функционал на XJ. Ясно, что fJ– линейный функционал. Кроме того, ∀ε > 0
∃δ > 0 (|fJ(w)| < ε∧
∗
такие, что f = fJ◦ kJ( т. е. предыдущее Предложение 6.8 со-
J
Если kJ(x) = kJ(y), то для z = x − y и λ ∈ R1имеем kJ(λz) = o и
dJ(kJ(λz)) = o < δ. Это даёт |f(λz)| 6 ε : ∀λ ∈ R1, т. е.
ε
: ∀ λ ∈ R1(λ 6= o). Следовательно f(x) = f (y).
Таким образом f зависит от x через kJ(x). Поэтому f = fJ◦ kJ: fJ–
λ
dJ(w) < δ), т. е. fJнепрерывна в точке w = 0.
6.10 Условие регулярности
вероятностной меры
( См. ещё Раздел 6.11 стр. 103 )
Обозначения: (X, D = (di)I) – ММП;
Ri– отношение эквивалентности: xRiy или xi∼ y означает di(x, y) = 0;
Ri(x) = {y ∈ X : yi∼ x} – множество элементов из X, эквивалентных x;
Xi= {Ri(x) : x ∈ X} – фактормножество X относительно Ri;
6.10 Условие регулярности вероятностной меры 99
ki: X → Xi– факторотображение: ki(x) = Ri(x) : ∀ x ∈ X.
W
Аналогично определяются RJ, XJ, kJ, если diзаменить на dJ=
T
J – конечное подмножество I . Отметим, что RJ(X) =
Ri(x), так как
i∈J
di, где
i∈J
RJ(x) = {y ∈ X : ∀i ∈ J (di(x, y) = 0)}.
Определим на Xiметрику ρi(или di), полагая di(x, y) = ρi(ki(x), ki(y)) :
∀x, y ∈ X. Аналогично определяется метрика ρJна XJ.
Пространство (XJ, ρJ). Определим пространство
Y
YJ= {(ki(x))J: x ∈ X} ⊂
i∈J
X
i
Q
( рассматривая его как подпространство топологического пр–ва
Xi) и
i∈J
отображение ϕJ: YJ→ XJ, полагая
\
ϕJ: YJ∋ (ki(x))J7→
Ri(x) = RJ(x) = kJ(x) ∈ XJ.
i∈J
Комментарий. Хотя ki(x) = Ri(x), однако различаем kiи Ri. Ri(x) есть
множество (⊂ X), а ki(x) – значение функции kiв точке x : ki(x) ∈ Xi.
Лемма. ϕJ– открытая непрерывная биекция.
Следствие. Топологические пространства XJи YJэквивалентны.
Доказательство Леммы. ϕJ– биекция
.
Так как ϕJ– сюръективно, то проверим лишь инъективность. (ki(x))J6=
(ki(y))J=⇒ ∃i ∈ J : ki(x) 6= ki(y) =⇒ ∃i ∈ J : di(x, y) 6= 0 =⇒ dJ(x, y) 6=
0 =⇒ RJ(x) 6= RJ(y).
Q
S
ϕJоткрыто. (LL) : βo=YJ∩
Q
базой топологии в YJ⊂
Xi.
J
(ki(a), ε) : a ∈ X, ε > 0является
ρ
i
J
Напомним, семейство βoоткрытых множеств является базой топологии в
X : если β является базой топологического пространства X; если ∀G ∈ β и
∀x ∈ G ∃Go∈ βo, что x ∈ Go⊂ G.
В данном случае
)
Y
S
β =(YJ∩
(ki(ai), ri) : ai∈ X, ri> o
ρ
i
J
100 Глава 6 Безгранично делимые распределения
( )
i i
k a
( )ik a
является базой топологического пространства YJ(как подпространства топологического пространства
Q
Xi). Пусть
J
Y
S
(ki(a))J∈ G = YJ∩
Так как ki(ai) ∈ S
S
(ki(a), εi) ⊂ S
ρ
i
(ki(ai), ri) .
ρ
i
J
(ki(ai), ri), то
ρ
i
(ki(ai), ri) с εi= ri−ρi(ki(ai)),
ρ
i
ki(a) = ri− di(ai, a) > 0.
Рис. 6.10
И значит при ε = minJ(εi) > 0
Окрестность ki(ai)
Y
S
(ki(a), ε) = Go∈ βo,
ρ
i
J
G ⊃ YJ∩
Y
J
(ki(a), εi) ⊃ YJ∩
S
ρ
i
при этом (ki(a))J∈ Go.
Теперь для доказательства открытости отображения ϕJдостаточно проверить, что ϕJ(Go) открыто в XJ: ∀ Go∈ βo[ Это традиционный способ проверки открытости отображения ϕ, основанный на соотношении ϕ(
S
S
Eα) =
α
ϕ(Eα) ].
α
В данном же случае ϕJ(Go) = S
(kJ(a), ε) ⊂ XJ. Действительно,
ρ
J
(ki(x))J∈ Go⇋ ki(x) ∈ S
⇋ dJ(x, a) < ε ⇋ ρJ(kJ(x), kJ(a)) < ε ⇋ kJ(x) ∈ S
(ki(a), ε) : ∀i ∈ J ⇋ di(x, a) < ε : ∀i ∈ J
ρ
i
(kJ(a), ε);
ρ
J
ϕJ(ki(x))J= kJ(x).
ϕJнепрерывно
(ki(x))J∈ Go= YJ∩
в точке kJ(a) ∈ XJ, так как ρJ(kJ(x), kJ(a)) < ε при
Q
J
S
ρ
i
ki(a), ε)
[ тем самым ϕJнепрерывна в точке kJ(a) ∈ XJ].
Предложение. Пусть µ – вероятностная мера на [ X, K(X ) ], где [ X, (di)I]
есть ММП и K(X) — каноническая σ–алгебра ( Cм. Определение ниже ). Если
образы µi= ki(µ) = µ ◦ k
−1
меры µ относительно ki: X → Xiрегулярны,
i
то и µ регулярна.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]