Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метризация топологических пространств
.pdf
5.13 Сходимость рядов случайных элементов 71
в случае линейного топологического пространства X сумма двух случайных
элементов не обязательно является случайным элементом. Чтобы исключить
такие нежелательные случаи, измерим ость ξ будем определять относительно
меньшей, чем B(X), σ–алгебры подмножеств множества X.
Пусть (X, D) – ММП (мультиметрическое пространство). Для метрических несепарабельных пространств Dudley рассматривал σ–алгебру, порожденную шарами. В нашем случае тоже рассмотрим наименьшую σ–алгебру,
содержащую все шары Sd(a, r) : d ∈ D, a ∈ X, r > o. Обозначим её через
D(X) и назовем σ–алгеброй измеримых по Dudley множеств.
Лемма 2. Рассмотрим линейное топологическое пространство (X, D) или
X =QXdиз Леммы 1. Всякое измеримое отображение
ξ : (Ω, F) → [ X, D(X) ]
назовем X – случайным элементом.
Тогда имеем:
сумма двух X – случайных элементов есть случайный элемент;
если ξn: n = 1, 2, . . . – сл. элем енты и ξ
п.н.
−−→ ξ , то ξ – сл. элемент.
n
Доказательство. Если c(X) – класс элементарных цилиндров в X =QX
(или, что тоже самое, класс элементарных шаров в (X, D)), то D(X) = σc(X).
Поэтому ξ : Ω → X является сл. элементом ⇋ прообраз всякого элементарного цилиндра (или элементарного шара) относительно ξ является событием.
Это дает: отображение ξ : Ω → X является X – случайным элементом ⇋ ξ
является Xd– случайным элементом ∀d ∈ D, где ξ = (ξd)D.
Отсюда и следуют утверждения Леммы 2.
[ В частности, ξ
п.н.
d
ξ
−−→ ξd: ∀d =⇒ ξd— Xd– сл. элемент: ∀d ⇋ ξ — X – сл. элемент ]
n
п.н.
−−→ ξ ⇋ d(ξ
n
п.н.
d
, ξd)
−−→ o : ∀d ⇋
n
d
d
Комментарий 1. В общем случае, [ когда (X, D) – ММП ] равенство
{ξ ∈ Sd(a, r) } = {d(ξ, a) < r} означает, что ξ – сл. элемент ⇐⇒ d(ξ, a) – сл.
величина: ∀a ∈ X и ∀ d ∈ D [ ξ – сл. элемент по Dudley ].
( См. следующий Комментарий для этого случая ).
Комментарий 2! К сожалению
, измеримые по Dudley отображения Ω в X,
хотя и удовлетворяют утверждению (желательному для формулировки Предложения Раздела 5.13), но не могут быть принятыми без пояснений для определения сл. элементов, так как если ξ : Ω → X измеримо по Dudley и
72 Глава 5 Полуметрики Леви – Прохорова
f ∈ C(X), то f(ξ) не обязательно является сл. величиной [ а ξ
слабо
−−−−→ ξ
n
означает Ef(ξn) → Ef (ξ) : ∀f ∈ C(X),
Z
f(x)Pξ(dx) = (Pξ, f ) ].
X
Ef(ξ) =
Z
f(ξ(ω))P (dω) =
Ω
!! Конечно, если ξ сл.элемент по Dudley и Pξ– вероятностная мера на D(X):
Pξ(E) = P(ξ ∈ E) : E ∈ D(X ),
то можно поставить вопрос о единственности (с сохранением ряда свойств)
продолжения меры Pξс D(X) на Bo(X) [бэровскую σ–алгебру] или на
B(X) [борелевскую σ–алгебру] и тогда будет определена слабая сходимость
ξnк ξ, но уже для мер P
R
f(x)Pξ(dx) для f ∈ C(X)].
X
К счастью
, такое продолжение осуществимо.
, Pξна B(X) [т. к. определен интеграл (Pξ, f ) =
ξ
n
( Cм. Вахания Н.Н. [4, Теорема 3.2 стр. 39; Теорема 3.3 стр. 42 и т.д.; 1972] ).
Отметим, что мера P на D(X):
τo– гладкая, т. е. supαP (Uα) = P(X) = 1 для любой возрастающей обоб-
щенной последовательности (Uα) открытых множеств из D(X);
регулярная, т. е. ∀ E ∈ D(X ) P(E) = sup{P (F ) : F ⊂ E, F ∈ D(X), F –
замкнутое }.
( ∀ τ – гладкая вероятность в регулярном пространстве регулярна ).
( Cм. Вахания Н.Н. [4, Предложение 3.1(б) стр.34; 1972] ).
Искомое продолжение (единственное среди τ – гладких) есть:
Q(B) = inf{ P∗(G) : G – открытое, B ⊂ G } : B ∈ B(X),
P∗(A) = sup{ P(E) : E ⊂ A, E ∈ D(X) } : A ∈ 2
X
[ или только для открытых A = G ].
Комментарий 3. Таким образом, под случайным элементом пространства X =QXdможно понимать любое измеримое по Dudley отображение
ξ : Ω → X. Причем всякая вероятностная мера µ на D(X), например, µ = P
единственным образом продолжается до борелевской τ – гладкой вероятностной меры. Поэтому можно говорить о слабой сходимости ξn→ ξo, как
(µn, f ) → (µo, f ) : ∀f ∈ C(X ),
где µn– соответствующее продолжение P
.
ξ
n
В этом случае выполнены условия Леммы 2.
ξ
5.14 Критерий слабой сходимости случайных элементов 73
5.14 Критерий слабой сходимости
случайных элементов
Предложение. Пусть X =QXd– тихоновское произведение сепарабель-
ных банаховских пространств Xd. Как и выше ( cм. Раздел 5.13 стр. 70 ),
X – линейное топологическое пространство. Пусть далее ξ1, ξ2, . . . независимые X – сл. элементы ( измеримые по Dudley отображения Ω в X ).
Тогда для того, чтобы последовательность
Sn= ξ1+ ξ2+ . . . + ξn: n = 1, 2, . . .
X – случайных элементов сходилась по вероятности необходима, а в случае
симметричных случайных элементов ξ1, ξ2, ... (т.е. P
точна слабая сходимость случайных величин
= P
ξ
n
), то и доста-
−ξ
n
f(Sn) = f(ξ1) + . . . + f (ξn) : n = 1, 2, . . . ∀ f ∈ X
∗
[ для любого линейного непрерывного функционала f на X ].
Задача. Пусть (Sn)N– последовательность X [ =QXα] – случайных
элементов.
Когда равносильны утверждения: "Snсходится по вероятности" и "f (Sn)
сходится слабо (или по вероятности)": ∀f ∈ X∗?
5.15 О теории σ – топологических пространств
Комментарий 1.
X Чтобы говорить о сходимости почти наверное и/или по вероятности X –
случайных элементов достаточно, чтобы d(ξ, η) была случайной величиной для любых двух (X, D) – случайных элементов ξ, η и ∀d ∈ D.
X Не следует забывать возможность компактифиц
гулярное пространство, т.е. ММП (X, D).
X Для определения сл. элементов несепарабельного топологического про-
странства X надо всякий раз подыскивать σ–алгебру D(X), содержащуюся в борелевской B(X), и определять сл. элементы как измеримые
по [ D(X), B(R1) ]. Это связано с тем, что в случае, например, линей-
ного топологического пространства сумма двух отображений (Ω, F) в
ировать любое вполне ре-
74 Глава 5 Полуметрики Леви – Прохорова
(X, B(X)) не является обязательно (F, B(X)) измеримым. Поэтому надо пытаться создать теорию σ – топологических пространств (X, τ ), где
τ (σ – топология X) есть набор подмножеств множества X, что:
• X ∈ τ ;
• объединение счетного числа элементов из τ есть элемент из τ.
Комментарий 2. Для определения случайного элемента в X в случае несе-
парабельного X необходимо исследовать возможность использования понятия совершенного вероятностного пространства (Ω, Σ, P) для любой измеримой функции:
ϕ : (Ω, Σ) → (R1, B(R1)) : ∃ B ∈ B(R1), B ⊂ ϕ(Ω) такое, что P(ϕ−1B) = 1
Z
1B(ϕ(ω))P(dω)
Ω
[ Pϕ−1B =
=
Z
1
(ω)P(dω) =
ϕ−1B
Ω
Z
1B(x)ϕ(P)(dx) = 1;
1
R
ϕ(P) = Pϕ−1;
если ξ : Ω → X – случайный элемент, f ∈ C(X) , то полагая ϕ = f ◦ξ имеем
для указанного B
1 =
Z
1B(f(ξ(ω)))P(dω) =
Ω
Z
1B(f(x))Pξ(dx) = Pξ: f ∈ B
ξ(Ω)
и B ∈ B(R1), B ⊂ f(E) при E = ξ(Ω) ].
Комментарий 3. Предложение Раздела 5.14. верно для МНП (X, D), если
[ kd(X), kd(d) ] – сепарабельное банахово пространство ∀ d ∈ D.
Задача. Сформулировать это предложение для локально выпуклых топологических пространств (ЛВП), воспользовавшись утверждением о том, что
МНП (X, D) есть общий вид ЛВП ( т.е. ЛВП топологически эквивалентно
некоторому МНП (cм. Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. [11, стр. 55; 1988]) ).
Может быть, воспользовавшись следующим понятием:
5.16 Об определении случайного элемента 75
Определение. ЛТП назовем линейно сепарабельным, если существует база из окрестностей вида: окрестность содержит линейное подпространство
L ⊂ X такое, что X/L сепарабельно.
Вместо "линейно сепарабельный" может быть лучш е использовать термин "мультисепарабельный" или "субсепарабельный" , что можно уже распространить на не обязательно линейные топологические пространства (например, тихоновские).
5.16 Об определении случайного элемента
Пусть (Ω, Σ, P) – вероятностное пространство и X – топологическое пространство.
16.1 Согласно стандартному определению измеримое отображение
ξ : ( Ω , Σ) → (X, B(X )) называют случайным элементом в X.
В этом случае можно говорить о слабой сходимости ξnк ξ, которая эквивалентна Ef(ξn) → Ef(ξ) ∀f ∈ C(X), так как f(ξ) – случайная величина и
интегрируема ( в силу ограниченности ).
Но уже нельзя говорить о сходимости почти наверное. Например, если
X – метрическое пространство с метрикой d, то d(ξn, ξ) не обязательно явля-
ется случайной величиной (для несепарабельного X) и поэтому мы не можем
говорить о сходимостях почти наверное и/или по вероятности. Здесь одним
из выходов является использование верхней вероятности P∗на 2Ω[ и
Определения:
п.н.
ξ
−−→ ξ как P∗(lim d(ξn, ξ) 6= o) = o или, в общем случае, P∗(ξn9 ξ) = o;
n
по вер.
ξ
−−−−→ ξ как P∗(d(ξn, ξ) > ε) → o : ∀ε > o ].
n
Другой подстерегающей здесь неприятностью является то, что в случае ЛТП
X сумма двух случайных элементов в X не обязана быть случайным элементом в X. Это "скверное" свойство требует другого определения случайных
элементов в X, или же нахождения (достаточно) необременительных условий, когда это нежелательное свойство отсутствует.
16.2 Можно воспользоваться следующим конструктивным определением
случайных элементов в X: сначала определяется счетнозначный
(измеримый
как в 16.1) случайный элемент, а затем всякое отображение ξ : Ω → X, являющееся пределом равномерно сходящейся последовательности счетнозначных
76 Глава 5 Полуметрики Леви – Прохорова
случайных элементов, объявлять случайным элементом в X [ чтобы говорить о равномерной сходимости, X должно быть метрическим пространством
или ММП: равномерность по каждой из полуметрик d ∈ D ].
В случае метрического пространства X это определение случайной вели-
чины X равносильно тому, что
Ωξ−→ X измеримо (как в 16.1) и ξ(Ω) – сепарабельное подмножество или
ξ есть предел (поточечной сходимости) некоторой последовательности
конечно – значных случайных элементов.
Это последнее свойство может быть взято в качестве определения слу-
чайных элементов в топологическом пространстве X.
Определение 1. Случайный элемент в X есть конечнозначное измеримое
отображение Ω в X или (поточечный) предел таких отображений.
Или:
Определение 2. Всякое измеримое отображение ξ : (Ω, Σ) → (X, B(X)),
для которого ξ(Ω) сепарабельно, называется случайным элементом в X.
( О сепарабельнозначных и почти сепарабельнозначных сл. элементах см.
Вахания Н.Н. [4, стр. 80; 1972] ).
Эти определения не требуют метризуемости (или полуметризуемости) X;
∀f ∈ C(X) функция f (ξ) : Ω → R1есть сл. величина [ и можно говорить
о слабой сходимости ], кроме того, если ξn– сл. элементы в X и ξn(ω) →
ξ(ω) ∀ω, то ξ – сл. элемент [ ξ(Ω) ⊂ ∪ξn(Ω)) и поэтому ξ(Ω) сепарабельно ].
Предложение.
1oОпределение 2 =⇒ Определение 1.
2oОпределение 1 =⇒ Определение 2 для метрического пространства
(X, d) ( См. Вахания Н.Н. [4, стр. 20; 1972] ).
Обоснование. 1oследует из ξ(Ω) ⊂
2oследует из того, что: существует последовательность измеримых конечно
значных отображений fn: X → X с d(x, fn(x)) → o : ∀x, если X –
сепарабельно; [ иначе заменить X на X
Определение 3! Всякое измеримое отображение ξ : (Ω, Σ) → (X, B(X)),
для которого подпространство Xo= ξ(Ω) пространства X имеет счетную базу
[ эквивалентно: топологическое пространство со счетной базой ], называют
случайным элементом в X.
∪ξn(Ω);
= ξ(Ω) ⊂ X ]; ξ
= f
◦ ξ → ξ.
5.16 Об определении случайного элемента 77
Ясно, что из Определения 3 =⇒ Определение 2 и, что из Определения
3 =⇒ Определение 1 в случае вполне регулярного пространства X, так как
подпространство Xo= ξ(Ω) вполне регулярного пространства X само является вполне регулярным; вполне регулярное пространство со счетной базой
метризуемо.
Из этих трех определений случайных элементов в X, по – видимому, наиболее удачное Определение 1:
f(ξ) – случайная величина для любой f ∈ C(X );
d(ξ, η) – случайная величина для любой полуметрики на X;
f(ξ1, . . . , ξn) – случайная величина для любой борелевской f ;
(ξ + η) – сл. эл. для Линейного Топологического Пространства (ЛТП) X.
16.3 Еще одно определение сл.элемента в X связано со следующим Утвер-
ждением ( См. Вахания Н.Н. [4, стр. 35; Следствие на стр. 36; 1972] ): борелевская вероятностная мера µ в полном метрическом пространстве X раданова
если и только если существует сепарабельное подмножество Y ∈ B(X) такое,
что µ(Y ) = 1.
Отметим, что в этом случае и
( так как supp µ ⊂
Y ).
Y сепарабельно, т.е. supp µ сепарабелен
Определение.
Всякое измеримое отображение ξ : (Ω, Σ) → (X, B(X)), для которого
1osupp Pξсепарабелен,
2oP(ξ ∈ supp Pξ) [ = Pξ(supp Pξ) ] = 1,
называется случайным элементом в X.
Задача. Рассмотреть Определение, в котором 1oзаменили на 1’: подпро-
странство supp Pξимеет счетную базу.
16.4 ( См. Раздел 5.17 стр. 79). (X, β) – топологическое пространство [ β –
база топологии ] такое, что для любого U ∈ β существуют:
сепарабельное [ или со счетной базой ] топологическое пространство
Y = YU;
непрерывная сюръекция k = kU: X → Y такая, что k−1kU ⊂ U, более
того k−1kU = U [ т.к. k−1kU ⊃ U ];
k(U ) – открытое подмножество в Y ;
σ(β) – минимальная σ–алгебра, содержащая β [ ⊂ B(X) ].
78 Глава 5 Полуметрики Леви – Прохорова
Всякое измеримое отображение ξ : (Ω, Σ) → (X, σ(β)) называется
случайным элементом в X.
Пример. (X, D) – ММП, D = {d} – направленное множество [ Этого всегда
можно добиться, заменяя D на множествоbD его конечных подмножествbd =
{d1, . . . , dn}, понимая в то же время подbd полуметрику d1∨ . . . ∨ dn].
β = { Sd(a, r) : d ∈ D, a ∈ X, r > o }.
Если U = S
d
и Y = k(X) – множество классов
d
эквивалентных элементов [ xd∼ y ⇋ d(x, y) = o, т.е. kd(x) = kd(y) ]. В этом
случае:
D
x
−→ x → d(xn, x) = k(d) (k(xn), k(x)) → o ⇋ k(xn) → k(x), т. е. k –
n
непрерывная сюръекция;
x ∈ k−1kU ⇁ k(x) ∈ kU = S
(k(a), r) ⇁ k(d)(k(x), k(a)) < r, но
k(d)
k(d)(k(x), k(a)) = d(x, a), поэтому x ∈ Sd(a, r) = U, т.е. k−1kU ⊂ U ;
kU – открытое множество, так как kU = S
(k(a), r).
k(d)
В данном случае сл. элемент в X есть измеримое по Dudley отображение
Ω в X.
Комментарий 1.
Можно вместо сюръекции в определении базы топологии β говорить об отображении k : X → Y , рассмотрев затем сюръекцию
k : X → k(X).
Комментарий 2. В связи с использованием условия сепарабельности ξ(Ω)
отметим следующее утверждение ( cм. Вахания Н.Н. [4, Предложение 1.11
стр. 21; 1972] ). Пусть Ω – польское пространство, X – произвольное метрическое пространство, ξ : Ω → X борелевское отображение. Тогда ξ(Ω)
сепарабельно.
Замечание. Отметим, что σ–алгебра Bo(X) бэровских множеств порождается множествами вида f−1{o}, f ∈ C(X). Это верно для любого топологи-
ческого пространства.
Действительно, Bo(X) порождается множествами вида g−1F , где g ∈
C(X) и F – замкнутые множества на R1. Для F выберем непрерывную
ограниченную функцию h : R1→ R1так, чтобы h−1{o} = F . Тогда для
f = h ◦ g имеем f−1{o} = g−1h−1{o} = g−1F и f ∈ C(X ).
Коммментарий 3! ( Воспользуемся Вахания Н.Н. [4, стр. 39; 1972] )
Пусть σ(β) ⊃ β; Pξ– регулярная и τo– гладкая на регулярном пространстве X.
5.17 Случайный элемент топологического пространства 79
Тогда существует единственное τ – гладкое продолжение Pξна B(X),
которое обозначим тем же символом Pξ. Теперь определим интеграл
Z
(Pξ, f ) =
и можно говорить о слабой сходимости.
f(x)Pξ(dx) = Ef(ξ) : ∀f ∈ C( X )
X
5.17 Случайный элемент
топологического пространства
Рассмотрим отображение π, которое всякому классу E топологических пространств ставит в соответствие (более широкий) класс π(E) топологических
пространств.
Топологическое пространство (X, βX) ∈ π(E) при условии: ∀U ∈ βXсу-
ществуют (Y, βY) ∈ E и [ непрерывное ] отображение k : X → Y со свойствами
1o: k−1kU = U, 2o: kU ∈ βY, 3o: k−1βY⊂ βX.
Ясно, что π(E) ⊃ E и из требования 3oвытекает непрерывность k.
Комментарий 1. Как видно из определения π, выбор базы топологии
βXсущественен для выяснения вопроса о принадлежности (X, βX) к π(E).
Тем самым, необязательно, что если топологические пространства (X, β1) и
(X, β2) гомеоморфны, и одно из них принадлежит к π(E), то и другое должно
принадлежать к π(E).
Для всякого топологического пространства (X, β) через σ(β) обозначим
минимальную σ–алгебру частей X, содержащую β.
Определение 1. Всякое измеримое отображение
ξ : ( Ω , Σ) → (X, σ(β))
назовем случайным элементом в X.
[ Предполагается, что задано базовое вероятностное пространство (Ω, Σ, P) ].
80 Глава 5 Полуметрики Леви – Прохорова
Комментарий 2. Если в метрическом пространстве (X, d) в качестве β
X
взять набор шаров Sd(a, r), то σ(βX) – класс измеримых по Dudley частей X,
а случайные элементы в X есть случайные по Dudley элементы в X.
Если же в качестве βXвзять набор шаров Sf(a, r) = {x : |f (x)−f(a)| < r},
где a ∈ X, r > o, f ∈ C(X), т. е. βX= { f−1U : f ∈ C(X), U – интервал
прямой }, то σ(βX) = Bo(X) – класс бэровских множеств, а ξ – бэровский сл.
элемент в X.
Определение 2. Пусть (Ω, Σ, P) – вероятностное пространство. Скажем,
что для топологического пространства (X, β) выполнено свойство замкнутости множества сл. элементов в X относительно поточечной сходимости,
если из lim ξα(ω) = ξ(ω) ∀ω ∈ Ω, ξα– сл. элемент в X, вытекает, что ξ
– случайный элемент в X [ можно ограничиться счетной, а не обобщенной
последовательностью ].
Обозначим это свойство как "lim ξα– случайный элемент".
Предложение. Если для каждого топологического пространства из E вы-
полнено свойство: "lim ξα– случайный элемент", то это же свойство выполнено и для каждого топологического пространства из π(E).
Доказательство. Пусть (X, βX) ∈ π(E). Достаточно проверить, что ξ−1U ∈
Σ : U ∈ βX. По U выберем соответствующие (Y, βY) и k.
Отметим, что ηα= k(ξα) есть сл. элемент в Y. Действительно, если V ∈
βY, то
−1
η
α
V = ξ
−1
k−1V ∈ Σ, т.к. k−1V ∈ βX.
α
Так как отображение k : X → Y непрерывно, то
ηα(ω) = k(ξα(ω)) → k(ξ(ω)) = η(ω) : ∀ω.
Согласно условию Предложения, η есть случайный элемент в Y.
ξ−1U = ξ−1k−1kU = (k · ξ)−1kU = η−1(kU ) ∈ Σ, т. к. kU ∈ βY.
Пример. [ E и π(E) ].
Если E – класс метрических пространств, то π(E) содержит ММП-ва.
Действительно, пусть E содержит метрические пространства (Y, βY), где
βYсоставлена из шаров. Рассмотрим ММП (X, βX), топология которого по-
рождается направленным семейством D = {d} полуметрик, а база βXсоставлена из шаров
Sd(a, r) : d ∈ D, a ∈ X, r > o.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]