Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метризация топологических пространств
.pdf
6.10 Условие регулярности вероятностной меры 101
Доказательство. Сначала определим K(X). Пусть J ⊂ I, #J < ∞ и τJ–
семейство открытых множеств пространства X, являющихся объединением
множеств вида
KJ– класс борелевских множеств топологического пр-ва (X, τJ) [ или KJ=
σ(τJ) ]. K0=
S
Kj– алгебра, K(X) = σ(K0) – каноническая σ–алгебра под-
J
множеств множества X. Отметим, что KJ= {k
\
S
(ai, ri) : ai∈ X, ri> 0.
d
i
J
−1
B : B ∈ B(XJ)} = k
J
−1
B(XJ),
J
где B(XJ) – борелевская σ–алгебра метрического пространства (XJ, ρJ).
kJS
(a, r) = S
d
J
β0= {S
(k(a), r); k
ρ
J
(a, r) : a ∈ X, r > 0} (ii)
d
J
−1
J
S
ρ
J
(k(a), r) = S
(a, r) . (i)
d
J
является базой топологического пространства (X, τJ) также как и "исходная
база"
(
\
β =
Проверка (i). kJS
(a, r) =
d
J
kJ{x : dJ(x, a) < r} = {kJ(x) : dJ(x, a) = ρJ(kJ(x), kJ(a)) < r} = S
Так как k−1kA ⊃ A, то k
Пусть теперь y ∈ k
−1
J
S
kJ(x) и dJ(x, a) < r. Это даёт dJ(y, a) < r, т.е. y ∈ S
S
(ai, ri) : ai∈ X, ri> 0).
d
i
J
−1
J
(kJ(a), r) = k
ρ
J
(kJ(a), r) = k
S
ρ
J
−1
{kJ(x) : dJ(x, a) < r}, тогда kJ(y) =
J
−1
J
kJS
(a, r) .
d
r
(a, r) ⊃ S
d
J
kJ(a), r).
ρ
J
d
(a, r).
J
T
Проверка (ii). Пусть a ∈ G =
S
(ai, ri) ∈ β, тогда a ∈ Go= S
d
i
J
(a, ε) ⊂ G
d
J
и Go∈ βo, где ε = minJεi> 0, εi= ri− di(ai, a) > 0.
Проверим, что KJ= k
S
α
−1
k
kJGα= k
J
−1
J
S
(
α
kJGα) ∈ k
−1
B(XJ). G ∈ τJ⇁ G =
J
−1
B(XJ), т. е. KJ= σ(τJ) ⊂ k
J
ПустьbG – открытое множество в (XJ, ρJ). ТогдаbG =
S
(kJ(aα), rα) ⇁ k
ρ
J
−1
J
b
G =
S
−1
c
k
Gα∈ τJ. Таким образом, если E семейство
J
α
S
Gα, Gα∈ β0⇁ G =
α
−1
B(XJ).
J
S
b
Gα,bGα=
α
открытых множеств пространства (XJ, ρJ), то
−1
k
E ⊂ τJ⇁ σk
J
−1
E ⊂ σ(τJ) ⇁ k
J
−1
B(XJ) ⊂ KJ.
J
Замечание. Отображение kJ: τJ→ E биективно
( См. Леммы 1 – 2 на стр. 106 ) .
102 Глава 6 Безгранично делимые распределения
Пусть λ – лебеговское продолжение вероятностной меры µ с алгебры K
на σ – алгебру K(X) измеримых ( относительно меры µ ) по Лебегу множеств [ по – существу, K(X) совпадает с пополнением σ – алгебры K(X)
относительно µ ].
Ясно, что K(X) ⊃ K(X) и λ = µ на K(X).
Теперь достаточно проверить, что ∀A ∈ K(X ) ∀ε > 0 существует открытое множество G из K(X) такое, что G ⊃ A и λ(A) > λ(G) − ε, т. е.
λ(A) = inf{λ(G) : A ⊂ G ∈ K(X), G – открытое}. (1)
Действительно, имеем
λ(A) = inf
n
X
µ(An) : A ⊂[An, An∈ K
o
.
o
Поэтому существует последовательность A1, A2, . . . из Koтакая, что
X
λ(A) >
Воспользуемся утверждением
µ(An) − ε, A ⊂[An.
о том, что (1) выполнено для A ∈ Ko. Отсюда
следует, что ∀n ∈ N+существует открытое множество Gn∈ K(X) такое,
что Gn⊃ Anи µ(An) > µ(Gn) − ε · 2−n. Это даёт
X
λ(A) >
µ(Gn) − 2ε > µ[Gn− 2ε = µ(G) − 2ε,
o
для G =SGn⊃SAn⊃ A, G ∈ K(X).
Утверждение.
∀A ∈ K0: µ(A) = inf{µ(G) : A ⊂ G ∈ K0, G – открытое}.
Действительно, если A ∈ KJ, т. е. A = k
−1
B, B ∈ B(XJ), и если любая веро-
J
ятностная мера на метрическом пространстве (XJ, ρJ) регулярна, то ∀ε > 0
существует открытое множество U метрического пространства (XJ, ρJ) такое, что
µJ(B) > µJ(U) − ε, B ⊂ U, где µJ= kJ(µ) = µ ◦ k
Это даёт µ(A) > µ(G) − ε, A ⊂ G = k
−1
U – открытое множество. Таким
J
−1
J
.
образом, осталось убедиться, что любая вероятностная мера на метрическом
пространстве (XJ, ρJ) регулярна (См. Задачу на стр. 103).
6.11 Регулярность вероятностной борелевской меры 103
Комментарий. Для доказательства последнего утверждения имелось в
виду использовать Следствие 6.10 (cм. стр. 99). При этом применимо утверждение:
Задача. Пусть Xi, i ∈ J – конечное число метрических пространств, α –
вероятностная мера на
ностные борелевские) меры на Xi, где πi– проекция
Q
Xi, αi= πi(α) = α ◦ (πi)−1– регулярные (вероят-
J
Q
Xiна Xi. Тогда α –
J
регулярная мера. Проверим это.
Q
Решение. Рассмотрим алгебру A подмножествQXiвида
∀A ∈ σ(A) и ∀ε > 0∃(An)
⊂ A такие, что A ⊂PAnи α(A) >Pα(An)−ε.
n>1
Bi, Bi∈ B(Xi),
J
Достаточно теперь проверить, что α регулярна на A, т.е. ∀B ∈ A∀ε > 0
∃ открытое множество G ∈ A такое, что B ⊂ G и α(B) > α(G) − ε.
Пусть B =
Bi, Gi∈ B(Xi), Gi– открытые множества в Xi.
Так как (G r B) ⊂
Q
Bi, G =
J
S
i∈J
Q
Gi, A ⊂ G ( т. е. Ai⊂ Gi: ∀i ∈ J ),
J
"
Q
Xj× (Gir Bi)#, то α(G r B) 6
j6=i
P
αi(Gir Bi).
J
Таким образом, в силу регулярности мер αiна Xi, достаточно теперь
выбрать открытые множества Giв Xiтак, чтобы
Gi⊃ Bi, αi(Gir Bi) 6
ε
: ∀ i ∈ J, что даёт α(G) − α(B) 6 ε.
#J
Комментарий. Утверждение на стр. 102 возможно легче доказать непосредственно без Cледствия 6.10 на стр. 99 ( но с использованием обозначений
и соотношений на той же странице).
Если же Xi– сепарабельны, то [
Q
Xi– сепарабельно, YJ⊂
J
Q
Xi–
J
сепарабельно ] XJ– сепарабельно, а всякая вероятностная борелевская мера
на сепарабельном метрическом пространстве регулярна.
6.11 Регулярность
вероятностной борелевской меры
Задача. Вероятностная борелевская мера µ на метрическом пространстве
регулярна.
104 Глава 6 Безгранично делимые распределения
Решение. (X, d) – исходное метрическое пространство. B(X) — σ–алгебра
борелевских множеств; F – класс тех A ∈ B(X), для которых:
µ(A) = inf µ(G), если G ⊃ A, G – открытое;
µ(A) = sup µ(F ), если F ⊂ A, F – замкнутое.
1) Замкнутые множества F ∈ F, так как
µ(F ) = inf µ(Fε) : Fε= Sd(F, ε) = {x : d(x, F ) < ε};
µ(F ) = sup µ(F1) : F1⊂ F, F1– замкнутое.
2) Пусть A1, A2∈ F. Проверим, что A1A2∈ F. Имеем
G1G2r A1A2⊂ (G1r A1) ∪ (G2r A2),
что даёт
µ(G1G2r A1A2) 6 µ(G1r A1) + µ(G2r A2) 6 2ε
при открытых множествах G1⊃ A1и G2⊃ A2таких, что µ(Ai) > µ(Gi)−ε.
Тогда µ(A1A2) > µ(G1G2) − 2ε и открытое множество G1G2⊃ A1A2. Аналогично используется неравенство µ(A1A2r F1F2) 6 µ(A1r F1) + µ(A2r F2).
3) Проверим, что A ∈ F ⇁ Ac∈ F. ∀ε > 0 существуют открытое G и
замкнутое F такие, что
µ(A) > µ(G) − ε, A ⊂ G; µ(A) 6 µ(F ) + ε, F ⊂ A.
Это даёт µ(Ac) 6 µ(Gc) + ε, Gc⊂ Ac; µ(Ac) > µ(Fc) − ε, Ac⊂ Fc.
P
4) Если A1, A2, . . . ∈ F и AiAj= ∅ при i 6= j, то
Ai∈ F.
Действительно, µ(PAn) >P[ µ(Gn) − ε · 2−n] > µ ∪ Gn− ε;
N
µ(PAn) =
µ(An) 6P[ µ(Fn) + ε · 2−n] 6 µ
где Gn– открытое ⊃ An, µ(Gnr An) 6 ε · 2−n; Fn– замкнутое ⊂ An,
µ(Anr Fn) 6 ε · 2−n; {Fn} попарно не пересекаются,
P
P
Fn+ 2ε,
n=1
P
µ(Fn) 6 ε.
n>N
1) – 4) =⇒ F = B(X ).
Комментарий 1. Из доказательства видно ( cм. 2) – 4) ), что F является
σ – алгеброй для любого топологического пространства (не обязательно метризуемого). Поэтому, чтобы F ⊂ B(X), совпало с B(X) достаточно, чтобы
F содержало все замкнутые (или открытые) множества. В данном случае
(для метрического пространства) это достигается в 1) тем, что открытые
1
множества Gn= Sd(F,
) ↓ F, и значит по непрерывности вероятностной
n
6.11 Регулярность вероятностной борелевской меры 105
меры µ, имеем µ(F ) = lim µ(Gn) = inf µ(Gn), Gn⊃ F.
Обобщением этого результата является утверждение: «для произвольного
топологического пространства X бэровская вероятностная мера регулярна».
Требуется лишь проверить, что F ⊃ Bo(X), где Bo(X) – бэровская
σ–алгебра [ наименьшая σ–алгебра, относительно которой измеримы все
функции f из класса C(X) ограниченных непрерывных функций X → R1],
т. е. Bo(X) – наименьшая σ–алгебра подмножеств X, содержащая замкнутые
(и/или открытые) множества вида
{x : f (x) 6 o} (и/или {x : f(x) < o}) : f ∈ C(X).
Действительно, пусть
1
F = {x : f (x) 6 o}, Gn=x : f(x) <
Тогда Gn↓TGn= F. Поэтому µ(Gn) ↓ µ(F ) и значит
µ(F ) = inf {µ(G) : F ⊂ G – открытые }.
: f ∈ C(X).
n
Кроме того µ(F ) = sup{µ(F1) : F1⊂ F– замкнутые }. Это даёт F ∈ F
и значит Bo(X) ⊂ F.
Итак, доказано:
Предложение 2. Для произвольного топологического пространства бэровская вероятностная мера регулярна. ( См. Вахания Н.Н., Тариеладзе В.И.,
Чобанян С.А. [5, Лемма 3.1 стр.42; 1985] ) .
Следствие 1. Борелевская вероятностная мера на метрическом пространстве регулярна (так как борелевская и бэровская σ–алгебры в этом случае
совпадают).
Пусть Г – некоторое семейство непрерывных (действительных) функций на
топологическом пространстве X. Обозначим через σ(X, Г) наименьшую σ–
алгебру подмножеств из X, относительно которых функции из Г измеримы, т. е. σ(X, Г) – наименьшая σ–алгебра частей X, содержащая замкнутые
(и/или открытые) множества вида
o
F =nx : f(x) ∈bF
где f ∈ Г,bF (bG) – замкнутое (открытое) множество прямой R1.
или/и G =nx : f(x) ∈bGo,
106 Глава 6 Безгранично делимые распределения
Предложение 3. Пусть X – произвольное топологическое пространство,
Г – некоторое семейство непрерывных функций на X. Тогда произвольная
вероятностная мера на σ(X, Г) регулярна.
Согласно доказательству Предложения 1 требуется показать лишь то, что
F ⊃ σ(X, Г); или, более того, всякое замкнутое множество F = {x : f (x) ∈
b
F } ∈ F :bF — замкнутое подмножество R1, f ∈ Г.
ПустьbGn– открытые множества прямой такие, чтоbGn↓
−1
тогда для множеств Gn= {x : f(x) ∈bGn} = f
b
Gnимеем Gn↓TGn= F.
T
b
Gn=bF ,
Поэтому µ(Gn) ↓ µ(F ) и значит µ(F) = inf{µ(G) : F ⊂ G – открытое}, т. е.
F ∈ F.
Комментарий 2. Предложение 3 и его доказательство не изменяются, если Г есть некоторое семейство непрерывных отображений X в топологическое пространство Y, в котором любое замкнутое множество есть множество
типа Gδ(или, что тоже самое, любое открытое множество есть множество
типа Fσ). Например, если Y − совершенное нормальное пространство; или
σ(X, Г) — цилиндрическая σ–алгебра.
Интересные примеры возникают, если X — ЛТП и Г — X∗.
Комментарий 3. Если мера µ на X τ – гладкая, то открытые множества
являются элементами F, т. е. F = B(X). Значит вероятностная борелевская
τ – гладкая мера регулярна, если X – регулярное
пространство ( cм. Вахания
Н.Н. [4, стр. 34; 1972] ).
Комментарий 4. Если Γ состоит из индикаторов замкнутых (и/или от-
крытых) множеств, то σ(X, Γ) = B(X). Если Γ = C(X), то σ(X, Γ) =
B0(X). Ясно, что способ образования σ–алгебр частей X через семейство Γ
наиболее общий. Если A – некоторая такая σ–алгебра, то, обозначая через Γ
семейство индикаторов множеств из A, получим σ(X, Γ) = A.
Лемма 1. Пусть A – алгебра подмножеств топологического пространства
X, µ – вероятностная мера на σ( A) , µ регулярна на A,
µ(A) = inf{µ(G) : A ⊂ G ∈ A, G – открытое} : ∀A ∈ A. (∗)
Тогда µ регулярна на σ(A).
6.12 Линейные непрерывные функционалы 107
Доказательство. Имеем
∀A ∈ σ(A) : µ(A) = inf
X
µ(An) : A ⊂
X
An, An∈ A.
Для ε > 0 выберем {An} ⊂ A так, чтобы A ⊂
X
An, µ(A) >
X
µ(An) − ε
∀ε > 0 ∀n > 1 ∃ открытое множество Gn∈ A :
An⊂ Gn, µ(An) > µ(Gn) − ε · 2−n.
Это даёт
µ(A) >
X
µ(Gn) − 2ε > µ(G) − 2ε : G =[Gn.
Лемма 2. Лемма 1 остаётся в силе, если (∗) заменить на
A ∈ A, µ(A) = inf{µ(G) : A ⊂ G ∈ σ(A), G – открытое}.
Доказательство. Оно не изменяется, следует рассмотреть Gn∈ σ(A)
( см. стр. 94 Раздела 6.5 и стр. 102 Раздела 6.10 ).
6.12 Линейные непрерывные функционалы
Пусть (X, D = (di)I) — линейное ММП. Обозначим:
F(X) = σ (X, X∗) — линейная σ–алгебра, относительно которой измеримы
линейные непрерывные функционалы;
FJ(X) = σ (X, (X, dJ)∗) — линейная σ–алгебра, относительно которой измеримы линейные непрерывные функционалы на (X, dJ);
F0(X) =[FJ(X) [ но #J < ∞, J ⊂ I ].
Предложение. Справедливы следующие утверждения:
1oFJ(X) = k
−1
σ (XJ, X
J
∗
) = k
J
−1
F(XJ);
J
2oF0(X) – алгебра;
3oЛюбой линейный непрерывный функционал на X измерим относитель-
но F0(X);
108 Глава 6 Безгранично делимые распределения
4oF(X) ⊂ K(X); если σ (XJ, X
∗
) = B(XJ) : ∀ J, то F(X) = K(X);
J
5oЛюбая вероятностная мера на F(X) регулярна.
Доказательство.
1oТ. к. (X, dJ)∗∋ f = g◦kJ: g ∈ X
∗
, значит отображение g 7→ f биективно.
J
2oОчевидно.
3oТ. к. любой непрерывный функционал f на X имеет вид f = g ◦ kJдля
некоторого J ⊂ I : #J < ∞ ( см. Раздел 6.9 стр. 98 ).
4oТ. к. σ (XJ, X
∗
) ⊂ B(XJ).
J
5oСм. Предложение 3 Раздела 6.11 стр. 106.
6.13 Случайный элемент и
математическое ожидание
Этот раздел посвящен поиску и обсуждению вариантов определения случайного элемента (сл. элемента) и математического ожидания (м.о.). Исходным
пространством [ для значений случайных элементов ] будем считать линейное ММП (X, D = (di)I), хотя многие определения будут справедливы для
произвольного ЛТП.
Пусть X – линейное топологическое пространство. F(X) — минимальная
σ–алгебра, относительно которой измеримы линейные непрерывные функционалы на X, т. е. F(X) = σ (X, X∗) . (Ω, Σ, P) — вероятностное пространство.
Замысел. Математическое ожидание случайного элемента ξ : Ω → X
есть элемент w ∈ X, обозначаемый w = Eξ, такой, что для любого f ∈ X
∗
f(w) = f (Eξ) = Ef (ξ) и E|f(ξ)| < ∞,
или в интегральной форме
f(w) =
Z
f(ξ(ω))P(dω) и
Ω
Z
|f(ξ(ω))|P(dω) < ∞.
Ω
Ясно, что от отображения ξ : Ω → X необходимо и (достаточно) требовать
измеримость функции
(Ω, Σ)
f◦ξ
−−→ [ R1, B(R1) ] : ∀f ∈ X
∗
6.13 Случайный элемент и математическое ожидание 109
или, что тоже самое, измеримости отображения ξ : (Ω, Σ) → [ X, F(X) ].
Иначе, f(w) =
Z
f(x)Pξ(dx) и
X
Z
|f(x)|Pξ(dx) < ∞ : ∀f ∈ X∗,
X
где Pξ= ξ(P) = P ◦ ξ−1– вероятностная мера на F(X).
Запись ξ : (X, A) → (Y, B) означает отображение ξ : X → Y, измеримое
относительно участвующих σ – алгебр.
Определение. Случайный элемент
ξ : (Ω, Σ) → [ X, F(X) ]
интегрируем по Pettis, если существует w ∈ X такое, что для любого f ∈ X
Z
|f(ξ(ω))|P(dω) < ∞ и f (w) =
Ω
Z
f(ξ(ω))P(dω). (1)
Ω
w называется математическим ожиданием (м.о.) случайного элемента ξ и
обозначается Eξ. Используя стандартное обозначение E и для операции математического ожидания случайной величины, (1) записывается в виде:
f(Eξ) = Ef (ξ), E|f (ξ)| < ∞.
Через P(X) или P ettis(X) обозначим класс случайных элементов ξ : (Ω, Σ) →
(X, F(X)), интегрируемых по Pettis.
Предположение. Семейство X∗разделяет точки X, т. е.
x 6= y ⇋ f (x) 6= f (y) для некоторого f ∈ X∗.
Комментарий (корректность определения). Это Предположение однозначно определяет математическое ожидание w = Eξ для ξ ∈ P(X ), так как, если
w1и w2∈ X и f(w1) = Ef(ξ) = f (w2) : ∀ f, то в силу Предположения имеем
w1= w2.
Отметим также, если X – отделимое МНП, то Предположение выполня-
ется автоматически (См. Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. [11, стр. 60; 1988]).
Таким образом Предположение выполняется для ЛВП (отделимых).
( См. Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. [11, стр.55; 1988] ).
∗
110 Глава 6 Безгранично делимые распределения
(L1) Лемма 1. P(X) – линейное пространство.
(L2) Лемма 2 (Теорема о полноте P(X)). Предположим:
1oX слабо полное пространство, т. е. ∀(xn) ⊂ X такой, что f(xn− xm) →
o : n, m → ∞ и ∀f ∈ X∗∃x ∈ X такое, что x
слабо
−−−−→ x (f(xn) →
n
f(x) : ∀f ∈ X∗);
2o∀ξnсл. элементов : n > 1, ∀f ∈ X∗∃ почти наверное фундаменталь-
ная подпоследовательность (f(ξn))
такие, что ∀f ∈ X∗∀ω ∈ (Ω r N) последовательность чисел f(ξ
, ∃N ⊂ Ω : P(N) = 0, (nk)N⊂ N
N
+
n
(ω))
k
фундаментальна : k > 1.
∗
Тогда МНП [ P(X), (df)
] полно; здесь df(ξ) = Е|f(ξ)| : ξ ∈ P(X), f ∈ X∗.
X
Доказательство теоремы о полноте. Пусть (ξn) ⊂ P(X) – фундаментальная
последовательность, т. е.
∀f ∈ X
∗
df(ξn− ξm) = E|f (ξn) − f (ξm)|) → 0: n, m → ∞.
Отсюда следует, что ∀f ∈ X∗∃ почти наверное фундаментальная подпоследовательность (f (ξn))
Действительно, если (ηn)
.
N
+
– последовательность сл. величин и
N
+
E|ηn− ηm| → 0, то на основании
P(|ηi− ηj| > ε) 6
1
· E|ηi− ηj|
ε
∀k > 1 следует
P |ηi− ηj| > 2
−k
6 2k· E|ηi− ηj| 6 2−k: i, j > nk.
В частности,
P |η
− η
n
k+1
n
k
| > 2
А отсюда уже следует, что последовательность (η
−k
6 2−k.
)
n
п.н. фундаментальна
k>1
k
(cм. стр. 47 – 49 ). Согласно предположению 2o, ∀f ∈ X∗, ω ∈ NCсуществуют N ⊂ Ω : P(N) = 0 и числовая последовательность (nk) ⊂ N+:
{f (ξ
n
k
(ω))}
– фундаментальная числовая последовательность.
k>1
В силу слабой полноты пространства X : ∀ω ∈ (Ω r N) (см. 1oпредположение (L2)) ∃ξ(ω) ∈ X : ξ
n
произвольно [ ξ(ω) = xo∈ X, ∀ω ∈ N ], получим ξ
f(ξ)
п.н.
= lim f(ξ
) : ∀f является случайной величиной, то ξ — F – измерима
n
k
слабо
(ω)
−−−−→ ξ(ω). Определяя ξ(ω) : ω ∈ N
k
слабо п.н.
−−−−−−→ ξ. Так как
n
k
и значит является случайным элементом.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]