Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метризация топологических пространств
.pdf
Приложение A 161
A.21 Тихоновское произведение пространств
21.1 Рассмотрим семейство топологических пространств (Xα, τα), α ∈ J.
Положим X =
Q
Xα. Множество G =
α∈J
Q
Gα⊂ X, у которого Gα∈ ταи
α∈J
для всех α, кроме, быть может, одного, Gα= Xα, называемого элементар-
ным цилиндром в X. Пересечение конечного числа элементарных цилиндров
называется цилиндром в X.
Семейство всех цилиндров служит базой некоторой топологии τ на X (так
как это семейство даже мультипликативно, т. е. пересечение двух элементов
семейства есть элемент семейства). Отметим, что семейство элементарных
цилиндров служит предбазой топологии τ. Можно было бы с самого начала
определить топологию τ на X как наименьшую топологию, которой принадлежат все элементарные цилиндры. Топологическое пространство (X, τ) называется тихоновским (или топологическим, или прямым) произведением
семейства топологических пространств (Xα, τα) : α ∈ J.
Если G =QGα– элементарный цилиндр и Gα= Xα: ∀α 6= α1, где α
– некоторый элемент из J, то G назовем элементарным цилиндром с основанием G
G
α
1
. Аналогично цилиндр G =QGαназовем цилиндром с основанием
α
1
× . . . × G
, если Gα= Xα: ∀ α∈{α1, . . . , αn}.
α
n
21.2 В частности, произведение конечного числа n топологических про-
странств (X1, τ1), . . . , (Xn, τn) есть топологическое пространство (X, τ ), где
X = X1× ··· × Xn, а база топологии τ состоит из множеств вида G =
G1× . . . × Gn, где Gk∈ τk: ∀ k.
1
21.3 Введем проекцию X на Xα. Множество X =
x = {xα: α ∈ J}. Более точно, это означает, что X есть множество функций
x : J →
S
Xαтаких, что x(α) ∈ Xα. При этом полагаем xα= x(α).
α
Xαсостоит из точек
α∈J
С другой стороны, ∀α ∈ J определено отображение Pα: x 7→ xα, которое
называют проекцией X на Xα. Вместо Pαбудем писать просто α. Например, α(x) = xα. Ясно, что проекция Xα−→ Xαесть открытое непрерывное
отображение.
Q
21.3.1 Замечание. Если Xα= E – топологическое пространство ∀α ∈
J, то пространство X =
от J через w = card J и поэтому обозначается X = Ew. Точнее, пусть
X =
Q
Xα, Y =
α∈A
Q
β∈B
Q
Xαс точностью до гомеоморфизма зависит
α∈J
Yβ, Xα= Yβ= E – топологические пространства,
162 Приложение A
card A = card B, тогда X ∼ Y [ т. е. топологические пространства X и Y
гомеоморфны ].
Достаточно показать, что биекция Aϕ−→ B порождает биекцию Xϕ−→ Y
[ обозначенную тем же символом ϕ ], которая переводит (элементарный)
цилиндр одного пространства в (элементарный) цилиндр друго го.
Q
Если X
P
α
−→ Xα– проекция X на Xα, Y
β
−→ Yβ– проекция Y на Yβ, то
искомая биекция Xϕ−→ Y определяется так:
xϕ−→ y ⇐⇒ Pαx = Qβy : ∀ α ∈ A, β = ϕ(α).
Если теперь U – цилиндр пространства X с основанием A
то V = ϕ(U ) есть цилиндр пространства Y с основанием A
×. . . ×A
α
1
ϕ(α
)
1
α
n
×. . . ×A
⊂ En,
ϕ(αn)
Аналогично доказывается следующее более общее утверждение.
21.3.2 Ассоциативный закон тихоновского произведения.
Пусть X =
пространств Xα, α ∈ A, A =
Q
Xα– тихоновское произведение семейства топологических
α∈A
P
Ai, Yi=
i∈J
Q
α∈A
i
Xα, Y =
Q
Yi. Тогда X ∼ Y.
i∈J
В частности, для топологических пространств X1, X2, X3имеем (X1×X2) ×
X3∼ X1× (X2× X3).
21.4 Теорема. Тихоновское произведение любого семейства непустых топологических пространств есть T1– пространство [ хаусдорфово, регулярное,
вполне регулярное пространство ], если и только если все сомножители являются T1– пространствами [ хаусдорфовыми, регулярными, вполне регулярными, соответственно ].
Доказательство (в одну сторону). [Если X есть T1– пространство и т.д.,
то Xαесть T1– пространство и т.д.: ∀α]. Получается просто. Дело в том,
что подпространство T1– пространства [ а также хаусдорфова и т.д. ] есть T
– пространство [ хаусдорфово и т.д., соответственно ]. Пространство же X
есть подпространство [ или гомеоморфно подпространству ] пространства X.
.
1
α
Доказательство (в другую сторону).
21.4.1 Пусть (Xα, τα) : ∀α ∈ J есть T1– пространство. Если x и y –
две разные точки из X, то ∃ α ∈ J такое, что xα6= yα. Так как (Xα, τα) есть
T1– пространство, то существуют окрестности Aαи Bαточек xαи yα, соот-
ветственно, разделяющие точки [ т. е. xα∈ A
∋yα, yα∈ Bα∋ xα]. Тогда
α
Приложение A 163
элементарные цилиндры A и B с основаниями Aαи Bαявляются окрестностями точек x и y, соответственно, и разделяют эти точки.
21.4.2 Текст предыдущего пункта 21.4.1 остается верным, если T1–
пространства заменить на хаусдорфовы и считать окрестност и A и B, а также
Aαи Bαнепересекающимися.
21.4.3 Пусть теперь (Xα, τα) : ∀α – регулярное пространство, F –
замкнутое подмножество пространства (X, τ ) и точка x ∈ X не принадлежит
F. Так как x ∈ U = Fc, то существует цилиндр G с основанием G
такой, что X ∈ G ⊂ U. Это дает x
в силу регулярности пространства (X
окрестности A
цилиндры с основаниями A
и B
α
k
точки x
α
k
α
× . . . × A
α
1
k
c
∈G
α
k
α
= X
α
k
, τ
) существуют непересекающиеся
α
k
k
r G
α
k
: ∀k ∈ {1, . . . , n}, а
α
k
и замкнутого множества G
и B
α
n
× . . . × B
α
1
не пересекаются
α
n
×. . .×G
α
1
c
. Но тогда
α
k
α
и служат окрестностями точки x и множества Gc⊃ Uc= F.
21.4.4 Пусть, наконец, (Xα, τα) : ∀α – вполне регулярные простран-
ства. Топологическое пространство (X, τ ) вполне регулярно, если (и только
если) ∀α ∈ X и открытого множества G ∋ a существует непрерывная действительная функция f на X такая, что f(a) = 1, f = 0 вне G и 0 6 V f 6 1.
Более того, достаточно (и необходимо), если G выбирается из некоторой базы топологии τ [ в нашем случае база составлена из цилиндров ] и даже
предбазы [ составленной в рассматриваемом случае из элементарных цилиндров ], так как элемент G базы представляется в виде пересечения конечного
числа элементов G1, . . . , Gnпредбазы и поэтому в качестве функции fG, соответствующей открытому множеству G, можно взять произведение функций
f
, . . . , f
G
1
.
G
n
Итак, пусть a ∈ G ∈ τ, где G – элементарный цилиндр с основанием G
для некоторого α ∈ J. Тогда aα∈ Gα∈ ταи в силу полной регулярности
пространства (Xα, τα) существует непрерывная действительная функция g
на (Xα, τα) такая что g(aα) = 1, g = 0 вне Gαи 0 6 V g 6 1 на Xα. Теперь
функция f : X ∋ x 7→ f (x) = g(xα) = g(α(x)) = (g ◦ α)(x) является искомой
[ так как проекция α пространства X на Xαнепрерывна ], т .e. f (a) = 1, f = 0
вне G и 0 6 V f 6 1.
n
α
A.22 Компактное пространство, компакты
22.1 Определение. Топологическое пространство называют компактным
[ иногда называют бикомпактным ], если выполнено свойство [ Гейне – Бо-
164 Приложение A
реля – Лебега ]: всякое покрытие пространства открытыми множествами содержит конечное подпокрытие. Хаусдорфово компактное пространство называют компактом.
Естественным образом определяется компактное подмножество топологического пространства [ если рассматривать его как подпространство исходного топологического пространства ]. Подмножество A топологического
пространства X называют относительно компактным в X [предкомпактным ], если его замыкание A компактно.
22.2 Теорема [Джеймса Александера: критерий компактности].
( См. Александер [2, 1947] ). Топологическое пространство компактно, если
и только если существует такая предбаза, что всякое покрытие пространства
элементами этой предбазы содержит конечное подпокрытие.
Доказательство см. Kelley John [31, стр.187; 1956]. Из этой Теоремы просто получается:
22.3 Теорема [Тихонова]. Произведение компактных пространств компактно [ более подробно: тихоновское произведение семейства компактных
пространств есть компактное пространство ].
Доказательство. Пусть (X, τ) – тихоновское произведение компактных
пространств (Xα, τα), α ∈ J. Семейство τoэлементарных цилиндров является предбазой топологии τ. В силу предыдущей теоремы достаточно показать,
что если A ⊂ τoи никакое конечное семейство элементарных цилиндров из A
не покрывает множество X, то и A не покрывает X. Для α ∈ J обозначим A
семейство множеств Aα∈ τα, которые служат основаниями цилиндров из A.
Так как Aαне покрывает Xα[ иначе некоторое конечное семейство A
′
α
⊂ A
покрывает Xαи поэтому конечное семейство A′⊂ A элементарных цилиндров с основаниями из A
′
покрывает все X ], то существует точка xα∈ Xα,
α
не покрываемая множествами из Aα. Тогда точка x ∈ X с координатами
α(x) = xα, α ∈ J, не покрывается A, т.е. A не покрывает X.
Следствие. Произведение компактов есть компакт [ Так как еще со-
гласно Теореме 21.4 тихоновское произведение хаусдорфовых пространств
есть хаусдорфово пространство ].
22.4 Теорема. Топологическое пространство компактно, если и только
если каждая направленность имеет поднаправленность, сходящуюся к некоторому элементу пространства. В частности, всякая последовательность со-
α
α
Приложение A 165
держит сходящуюся [ к некоторому элементу пространства ] подпоследовательность.
Доказательство см. Kelley John [31, стр.183; 1956]. Из этой Теоремы про-
сто получается:
22.5 Определение. Топологическое пространство называют секвенциально компактным, если всякая последовательность содержит подпоследова-
тельность, сходящуюся к некоторому элементу пространства [ Условие Больцано – Вейерштраccа ].
Из компактности в силу предыдущей Теоремы следует секвенциальная
компактность. Приведем условия, при которых секвенциальная и обычная
компактности совпадают. Топологическое пространство называют линделё-
фовым [ или финально компактным ], если всякое покрытие пространства
открытыми множествами содержит счетное подпокрытие.
22.6 Теорема. Для линделёфовых пространств секвенциальная и обычная
компактности совпадают.
Доказательство. Требуется лишь показать, что секвенциальная компактность влечет обычную. Пусть A – покрытие пространства открытыми множествами. Можно считать, что A состоит из счетного числа элементов A1,
A2, . . . Предположим, что любое конечное семейство элементов из A не по-
крывает исходное пространство X. Пусть x
ствует подпоследовательность x
покрывает X, то x ∈ A
для некоторого mo, но тогда x
m
o
∀k > N при некотором N.
Получили противоречие с xn∈
, сходящаяся к некоторой точке x. Т.к. A
n
k
n
S
Ai: ∀ n > 1.
i=1
n
S
∈
n
Ai: ∀n > 1. Тогда суще-
i=1
∈ A
n
k
⊂
m
o
m
S
i=1
o
Ai:
22.7 Следствие. Для топологического пространства со счетной базой секвенциальная компактность совпадает с обычной [ так как топологическое
пространство со счетной базой линделёфово ].
22.8 Следствие. Для метрических пространств секвенциальная компактность совпадает с обычной.
Действительно, следует лишь убедиться, что секвенциальная компактность влечет обычную. В силу предыдущего следствия достаточно прове-
166 Приложение A
рить, что секвенциальное компактное метрическое пространство X с метрикой ρ имеет счетную базу или [ что эквивалентно ] сепарабельно или [ более
того ] вполне ограничено, т. е. ∀ε > o имеет конечную ε – сеть [конечное
множество A ⊂ X такое, что ρ(x, A) < ε : ∀x ∈ X ].
Итак, предположим, что пространство не вполне ограничено, т.е. для
некоторого εo> o не существует конечной εo– сети. Для x1∈ X выберем x
так, чтобы ρ(x1, x2) > εo. Если уже выбраны точки x1, . . . , xn, то точку x
n+1
выберем из условия ρ(xi, xj) > εo> o : ∀i ∈ {1, . . . , n}. Полученая последовательность {xn} удовлетворяет условию ρ(xi, xj) > εo> o : ∀i 6= j и поэтому не существует сходящейся подпоследовательности такой, что противоречит секвенциальной компактности.
22.9 Теорема. Компакт нормален.
Доказательство.
1) Проверим сначала, что компакт X регулярен. Пусть F – замкнутое
множество и a
∈ F. Так как X – хаусдорфово пространство, то любая
точка x ∈ F отделима от a окрестностью Gx, замыкание которой не содержит a. Семейство {Gx: x ∈ F } покрывает компактное множество
F [ всякое замкнутое множество компактного пространства компактно ], поэтому существует конечное подпокрытие {G
n
жим B =
S
i=1
G
, тогда a /∈ B, т. е. a ∈ A = X r B. Следовательно,
x
i
, . . . , G
x
1
}. Поло-
x
n
A и B – непересекающиеся окрестности точки a и множества F.
2
2) Пусть теперь F1и F2– непересекающиеся замкнутые [ и значит компактные ] подмножества компакта X. Так как любая точка x ∈ F
отделима от F2непересекающимися окрестностями, то любая точка
x ∈ F1имеет окрестность Gx, замыкание которой не пересекается с
F2. Семейство {Gx: x ∈ F1} покрывает F1и поэтому существует
n
конечное подпокрытие {G
A ⊃ F1,
A ∩ F2= ∅, т. е. F2⊂ B = X r A. Следовательно, A и
, . . . , G
x
1
}. Положим A =
x
n
S
i=1
G
x
, тогда
i
B – непересекающиеся окрестности множеств F1и F2.
22.10 Пример [Тихоновский куб ]. Рассмотрим семейство топологиче-
ских пространств (Xα, τα), α ∈ J , где Xα= [0, 1] с обычной топологией на
отрезке, т. е. рассмотрим "J экземпляров" отрезка I = [0, 1]. Так как каждый экземпляр есть компакт, то их тихоновское произведение есть компакт
1
Приложение A 167
(см. Теорему 22.3 Тихонова). Этот компакт называется тихоновским кубом
и обозначается Q или Iw, где w – кардинал [ мощность ] множества J (См.
Замечание 21.3.1).
В частности, если X – тихоновское пространство, не являющееся нормальным, и Qo– подпространство тихоновского куба Q, топологически эквивалентное пространству X, то получим пример подпространства Qoнормального пространства Q (т.к. компакт нормален, см. Теорему 22.9), не являющегося нормальным пространством. А если X – хаусдорфово или регулярное или
вполне регулярное пространство, то соответствующее свойство наследуется
(сохраняется) для подпространств (cм. Замечание 21.3.1). Можно представлять, что Q – множество функций J → [0, 1], а предбаза топологии составлена
из элементарных цилиндров {x : x(α) ∈ U }, где U – открытое подмножество
отрезка [0, 1] и α ∈ J [ элементарный цилиндр {x : x(α) ∈ U } – множество
функций, проходящих "ворота U в точке α" ].
Оказывается [ результат А.Н.Тихонова ], что всякое тихоновское пространство (X, τ) гомеоморфно некоторому подпространству тихоновского куба. Таким образом, любое подпространство тихоновского куба есть тихоновское пространство и этим исчерпываются [ с точностью до топологической
эквивалентности ] все тихоновские пространства.
[ Действительно, пусть F = {fα: α ∈ J} – расчленяющее семейство функ-
f
α
ций X
−→ [0, 1], см. Замечание 16.5. Определим (диагональное) отображение
Q
Xf−→ Q =
Xα, полагая Pα◦f = fα: Pα– проекция Q на Xα= [0, 1]. Так как
α
F – разделяющее семейство функций, то непрерывное отображение Xf−→ Q
инъективно. Биекция f : X → f (X) ⊂ Q есть нужный гомеоморфизм: f
−1
непрерывно, так как τ – слабейшая из топологий, при которых непрерывны
все fα∈ F ]. Это утверждение реализуется Теоремой 22.12.
Обычно множество J выбирается любым способом лишь бы его кардинал
был равен весу исходного пространства [ вес топологического пространства
есть наименьший кардинал базы пространства ].
Такое множество существует. См. Предложение 16.6.
22.11 Пример [Гильбертов кирпич ]. Пусть l2– гильбертово простран-
ство последовательностей x = (x1, x2, . . . ) действительных чисел, для ко-
торыхPx
2
< ∞. Рассмотрим подпространство H ⊂ l2, составленное из
n
точек x = (x1, x2, . . . ) ∈ l2, для которых o 6 xn6 2−n. H является
компактом [ топология порождается нормой ].
Оказывается [ результат П.С. Урысона ], что всякое сепарабельное метрическое пространство гомеоморфно подпространству гильбертова кирпича.
168 Приложение A
Таким образом, любое подпространство гильбертова кирпича есть сепарабельное метрическое пространство и этим исчерпываются [ с точностью до
гомеоморфизма ] все сепарабельные метрические пространства.
Этот результат следует из предыдущего результата Тихонова, так как
сепарабельное метрическое пространство является тихоновским пространством со счетной базой [ между прочим, верно и обратное утверждение,
см. 11. и Теорему 19.1 ]. Поэтому в предыдущем примере можно выбрать
J = {1, 2, . . . } и тогда тихоновский куб гомеоморфен гильбертову кирпичу
[ нужный гомеоморфизм есть
Q ∋ x = (x1, x2, . . . ) 7→ (2−1x1, 2−2x2, . . . ) ∈ H ].
22.12 Теорема. Пусть (X, τ ) – тихоновское пространство;
f
α
F = {fα: α ∈ J} – регулярное семейство функций X
−→ [0, 1] (см.
Замечание 16.7);
Q – тихоновский куб, равный тихоновскому произведению J экземпляров
отрезка I = [0, 1].
Тогда отображение XT−→ Q, определяемое соотношением
x 7→ T (x) = y = {yα= fα(x) : α ∈ J }
Q
[ или точнее, Pα◦ T = fα, где Pα– проекция Q =
Iαна Iα= [0, 1] ]
α
осуществляет гомеоморфизм X на образ T (X ) ⊂ Q.
Доказательство. Так как F разделяет точки из X, то отображение T инъ-
ективно и значит биективно. Отображение T непрерывно, так как прообраз
всякого цилиндра G ⊂ Q имеет вид
n
\
k=1
−1
f
Vk,
α
k
T−1G = {x : f
(x) ∈ V1, . . . , f
α
1
(x) ∈ Vn} =
α
n
где {α1, . . . , αn} ⊂ J, Vk– открытое подмножество отрезка [0, 1] и значит множество T−1G открыто. Остается проверить непрерывность обратного отображения T−1.
Пусть y = {yα} ∈ Q, x = T−1y и U – окрестность точки x. Покажем,
что существует окрестность V ⊂ T (X) точки y такая, что T−1V ⊂ U.
Для точки x и замкнутого множества F = Ucвыберем функцию f
разделяющую x и F, т.е. f
(x) /∈
α
o
f
F = E. Тогда V = (P
α
o
−1
Ec)TT (X)
α
o
α
o
∈ F,
– искомая окрестность точки y. Действительно, v ∈ V влечет v = T(u) для
некоторой точки u ∈ X и P
и
значит u ∈ U.
V = f
α
o
(u) ∈ E = f
α
o
F , откуда u ∈ F = U
α
o
c
Приложение A 169
22.12.1 Замечание. Q ∼ IW, где w = card J ( см. Замечание 21.3.1 ).
22.12.2 Так как расчленяющее семейство функций является регуляр-
ным, то Теорема 22.12 верна, если считать F расчленяющим семейством. В
случае бесконечного пространства X расчленяющее семейство тоже бесконечно, а регулярное семейство может быть конечным (см. Пример 16.7.1).
22.13 Теорема. Пусть X и Y – два компакта, h – непрерывная действи-
тельная функция на [компакте ] X × Y. Тогда ∀ε > o ∃n > 1, непрерывные действительные функции f1, . . . , fnна X и непрерывные действительные
функции g1, . . . , gnна Y такие, что
n
X
|h(x, y) –
fk(x) · gk(y)| < ε : ∀x ∈ X, y ∈ Y.
k=1
Доказательство. ( См. Понтрягин Л.С. [20, стр. 93; 1947] ).
A.23 Компактификация
23.1 Под компактификацией топологического пространства X обычно по-
нимается построение такого компактного пространства Y, что X гомеоморфно некоторой части Yoпространства Y и при этом Yoвсюду плотно в Y.
Так как X ∼ Yo[ т. е. топологически эквивалентны ], то можно X заменить
на Yo[ или Yoна X ] и при этом Y rYoназывают наростом компактификации
[ компактного расширения ].
В этой связи принимается следующее
Определение. Пара (f, Y ) называется компактным расширением или
компактификацией топологического пространства X, если:
1) Y – компактное пространство;
2) f – гомеоморфизм X на f(X ) = Yo⊂ Y ;
3) Yoвсюду плотно в Y.
Будем всегда предполагать компактификацию хаусдорфовой [ т. е. Y – хау-
сдорфово компактное пространство; другими словами Y – компакт ]. Отсюда следует, что компактификацию могут допускать лишь вполне регулярные
пространства [ т.к. Y – вполне регулярное и даже нормальное пространство,
см. Теорему 22.9, а X гомеоморфно подпространству Yoпространства Y ].
170 Приложение A
Замечание. Интуитивно под компактным расширением [ или компактификацией ] топологического пространства X понимается компактное пространство X, которое содержит X в качестве всюду плотного множества.
Такое понимание подсказывает следующее определение и конструкцию компактного расширения.
Естественным представлением компактного расширения (f, Y ) простран-
ства X называют компактное расширение (i,
X), где X = X ∪ {Y r f(X )},
Xi−→ X – тождественное отображение, а топология на X индуцируется то-
пологией на Y с помощью биекции
на X, ϕ(y) = y на Y r f (X). В этом случае действительно
Xϕ−→ Y, задаваемой соотношением: ϕ = f
X – компактное
пространство, содержащее X в качестве всюду плотного множества.
23.2 Приведем универсальный способ компактификации. Пусть X – вполне
регулярное пространство и F – регулярное семейство функций на этом пространстве ( см. Замечание 16.6 ), тогда X гомеоморфно некоторой части Y
тихоновского куба Iw: w = card F ( см. Теорему 22.12 ). Замыкание Yoв
Iw, которое обозначим Y = Yo, является компактом [ как замкнутое множество компакта Iw]. Полученное компактное расширение Y пространства X
зависит от w. Оказывается, что:
o
23.2.1 Всякое компактное расширение устроено [ с точностью до гомеоморфизма ] указанным образом. [ Точную формулировку и доказательство
см. ниже ].
23.3 Если в качестве F взять максимальное регулярное семейство функ-
ций (т. е. все непрерывные функции Xf−→ [0, 1]), то полученное компактное
расширение Y обозначаетсяβX и называется компактным расширением Стоуна – Чеха [ стоун – чеховской компактификацией ].
Если же card F = w равно весу топологического пространства X [ т. е.
минимальной мощности базы пространства X ], то Y назовем компактным
расширением А.Н.Тихонова [ тихоновской компактификацией ] и обозначимwX. Такое семейство F существует, см. например Теорему 16.6 и Замечание 22.12.2.
В случае хаусдорфова локально компактного пространства X [ так называется хаусдорфово пространство, каждая точка которого имеет окрестность с компактным замыканием ], не являющегося компактом, существует
компактное расширение [ которое обозначим через ]αX с минимальным наростом [ из одной точки ]. Это расширение предложил П.С.Александров [ и
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]