Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метризация топологических пространств
.pdf
5.6 Свойства вероятностных мер 61
5.6 Свойства вероятностных мер
( См. Комментарий 5.3 стр. 58 )
Предположение. Существуют:
(замкнутое Fd(A, r) ) ⊂ A ⊂ (открытое Gd(A, r) ) : ∀r, d(r > o, d ∈ D);
T
Gd(A, r) = A [ = A для замкнутого множества A ];
r,d
S
Fd(A, r) = X r
r,d
Предложение. Следующие утверждения равносильны:
1oπd(Рα, Р) → o ∀d [ здесь Рα, Р ∈ proba(X, D) ];
2o∀ε, d(ε > o, d ∈ D)∃α(ε, d)∀A ∈ B(X) : α > α(ε, d),
Доказательство. Утверждение 1oравносильно утверждению:
Y 1o∀ε > o ∀d ∈ D ∃α(ε, d) ∀ α > α(ε, d) : Рα(F ) 6 Р(Sd(F, ε)) + ε, где
F замкнутое.
(X r A) [ = A для открытого множества A ].
Р(Fd(A, ε)) − ε 6 Рα(A) 6 Р(Gd(A, ε)) + ε. (1)
2o=⇒ 1o, т. к. 2oболее сильное утверждение.
Y 1o=⇒ 2oпроверим. Пусть A ∈ B(X). Для замкнутого множества F =
A ∪ ∂A имеем при α > α(ε, d) : Рα(A) 6 Рα(F ) 6 Р(Sd(F, ε)) + ε =
Р(Sd(A, ε)) + ε, так как Sd(F, ε) = Sd(A, ε) [ x ∈ Sd(
некоторого
a ∈ A =⇒ ∃a ∈ Sd(a, r) c r = ε − d(x, a), a ∈ A =⇒ ∃a ∈ A
A, ε) ⇋ d(x, a) < ε для
такое, что
d(x, a) 6 d(x, a) + d(a, a) < d(x, a) + [ ε − d(x, a) ] = ε =⇒ x ∈ Sd(A, ε) ].
Для тех же α > α(ε, d) это ещё даёт (вместо A взять (X r A)): Рα(X r A) 6
Р(Sd((X r A), ε)) + ε или (что тоже самое)
Р(Fd(A, ε)) − ε 6 Рα(A) [ Fd(A, ε) = X r Sd(X r A, ε) ].
Комментарий. Пусть Р ∈ smooth(X, D). Тогда
Р(A) = inf
P(Gd(A, r) ) (2)
r,d
[ по определению smooth(X) с учетом Gd(A, r) = Gd(A, r) ] и
62 Глава 5 Полуметрики Леви – Прохорова
P(Ao) = sup
P(Fd(A, r) ) , (3)
r>o,d
так как
sup
P(Fd(A, r) ) = 1 − inf
r>o,d
P(Sd(X r A, r)) = 1 − P(X r A) = P(Ao)
r,d
и
Ao= X r (X r A)
[ x ∈ Ao⇁ ∃ окрестность U точки x такая, что U ⊂ A ⇁ (X r U ) ⊃
(X r A) ⇁ (X r U) ⊃
X − A ⇁ U = X r (X r U) ⊂ (X r (X r A) ) ⇁
x ∈ (X r (X r A)); с другой стороны, x ∈ (X r (X r A)) ⇁ Ux= U ⊂
(X r A)) ⇁ (X r U) ⊃ X r A ⊃ ( X r A) ⇁ Ux⊂ A ⇁ x ∈ Ao].
(X r
Из правого неравенства в (1) и из (2) получаем lim Рα(F ) 6 Р(F ) для любого
замкнутого множества F.
Из левого неравенства в (1) и из (3) получаем Р(G) 6 lim Рα(G) для любого
открытого множества G. Если же Р(∂A) = o для A ∈ B(X), то из G = Ao⊂
A ⊂ A = F и (A r Ao) ⊂ ∂A, (A r Ao) ⊂ ∂A имеем
Р(G) 6 lim Рα(G) 6 lim Рα(A) 6 lim Рα(A) 6 lim Рα(F ) 6 Р(F )
и Р(F ) = Р(G) = Р(A) т. е.
∃ lim Рα(A) = Р(A) [ ⇐= Р(∂A) = o ].
5.7 Мультипольское пространство (МПП)
Назовём ММП (X, D) такое, что ∀d ∈ D метрическое пространство (Xd, d)
является польским. Здесь Xd– множество классов эквивалентных элементов
из X относительно полуметрики d : x ∼ y означает d(x, y) = o; d – метрика
в Xd. Более точно, пусть d ∈ D и kd(x) : ∀x ∈ X есть kd(x) = {y ∈ X :
d(x, y) = o} ⊂ X.
Положим Xd= kd(X). Если bx = kd(x), by = kd(y), то положим d(bx, by) =
d(x, y), что определяет метрику d на Xd. Если ∀d ∈ D метрическое простран-
ство (Xd, d) является польским, то ММП (X, D) назовём мультипольским.
5.8 Свойства метрики мультипольского пространства 63
5.8 Свойства метрики
мультипольского пространства (МПП)
Пусть (X, D) – ММП. Для d ∈ D положим k = kd: x 7→ kd(x) =
{y ∈ X : d(x, y) = o} ⊂ X. Для k(X) = Xdвведем метрику k(d), полагая
k(d)(k(x), k(y)) = d( x, y) : ∀x, y ∈ X.
Тем самым, [ k(X), k(d) ] – метрическое пространство.
8.1
8.2 Sd(A, ε) = k−1S
k−1k(A) ⊃ A : ∀ A ⊂ X.
(k(A), ε) : ∀A ⊂ X, ε > o.
k(d)
Действительно, отметим сначала, что
xd∼ y [d(x, y) = o] ⇋ d(x, a) = d(y, a) : ∀a ∈ X ⇋ d(x, A) = d(y, A) : ∀ A ⊂ X.
Достаточно убедиться, что ∀ε > o, A ⊂ X
Sd(A, ε) = k−1kSd(A, ε) , (1)
kSd(A, ε) = S
(k(A), ε) (2)
k(d)
Проверим ( 1). Согласно Разделу 5.8.1. достаточно убедиться, что правая
часть (1) содержится в левой. Имеем
y ∈ k−1kSd(A, ε) ⇁ y ∈ k−1k(x) для некоторого x ∈ Sd(A, ε) ⇁ yd∼ x,
d(x, A) < ε ⇁ d(y, A) < ε ⇁ y ∈ Sd(A, ε).
Проверим (2). Отметим, что
d(x, A) = k(d) k(x), k(A): ∀x ∈ X, A ⊂ X.
Поэтому
kSd(A, ε) = {k(x) : d(x, A) < ε} = {k(x) : k(d)(k(x), k(A)) < ε} = S
(k(A), ε).
k(d)
8.3 k : X → k(X) – непрерывное отображение топологического пространства
(X, D) в топологическое пространство [ k(X), k(d) ]. Непрерывность в точке
k(a) ∈ k(X ) следует из k(d)(k(x), k(a)) < ε : ∀x ∈ Sd(a, ε) [ в силу
k(d)(k(x), k(a)) = d(x, a) ].
−1
8.4 ЕслиbF – замкнутое множество в [ k(X), k(d) ], то k
b
F – замкнутое
множество в (X, D) (Следует из Раздела 5.8.3).
64 Глава 5 Полуметрики Леви – Прохорова
Приведём другое доказательство. Пусть
k
−1
b
F ∋ x
D
−→ x ∈ X,
α
тогда, в частности, d(xα, x) → o и значит k(d)(k(xα), k(x)) → o, т. е.bF ∋
k(xα) → k(x) ∈ k(X), что в силу замкнутости множестваbF даёт k(x) ∈bF и
−1
значит x ∈ k
b
F . [ Здесь (xα) – обобщенная последовательность
ность) элементов из X; например, если x ∈ k
−1
b
F , (∪α) – обобщенная после-
(направлен-
довательность окрестностей точки x (упорядоченных по вложению), xα∈ ∪α,
то x
D
−→ x ].
α
Обозначение. proba(X, D) ∋ Р 7→ k(Р) ∈ proba[k(X), k(d)], k(Р) =
Р · k−1= Рd.
Теорема. Пусть (X, D) – ММП и ∀d ∈ D в метрическом пространстве
[ kd(X), kd(d) ] из слабой сходимости следует сходимость по метрике Леви –
Прохорова [ т. е. эти сходимости эквивалентны ].
Тогда proba(X, D) ∋ Р
слабо
−−−→ Р ∈ smooth(X, D) влечёт (и значит эквива-
α
лентно, cм. Предложение Раздела 5.5 стр. 60):
πd(Рα, Р) → o : ∀d.
Доказательство 1. Если (E, ρ) – метрическое пространство, то
S(A, ε) = S(A, ε) : ∀ε > o, A ⊂ E. (1)
Ясно, что S(A, ε) ⊂ S(A, ε). Проверим обратное включение.
x ∈ S(A, ε) ⇋ ∃ a ∈ A : d(x, a) < ε ⇁ d(x, a) < ε, ∃a ∈ A : a ∈ S(a, r),
где
r = ε − d(x, a) ⇁ d(x, a) 6 d(x, a, ) + d(a, a) < ε : a ∈ A ⇁ x ∈ S(A, ε).
Доказательство 2. Пусть d ∈ D, k = kd. Проверим, что k(Pα)
слабо
−−−−→ k(P ).
Для любой непрерывной функции fd: k(X) → [ o, 1 ] ( непрерывной в топологии метрического пространства [ k(X), k(d) ] ) функция f = fd◦k : X → [ o, 1 ]
непрерывна в топологии пространства (X, D), т.к. k : X → k(X) непрерывна,
( см. Раздел 8.3, стр. 63 ). Поэтому ( Pα, f ) → ( P, f ).
Но согласно формуле замены переменной интегрирования
(P, f ) =
Z
fd(k(x))P (dx) =
X
Z
fd(y)k(P )(dy) = (k(P ), fd) : ∀P ∈ proba(X ).
k(X)
5.8 Свойства метрики мультипольского пространства 65
Это дает (k (Pα) , fd) → (k(P ), fd), что в силу произвольного выбора f
означает k (Pα)
слабо
−−−−→ k(P ).
По предположению теоремы отсюда следует, что k(Pα) → k(P ) в метрике
Леви – Прохорова, и значит ∀ε > o ∃α(ε, d) такое, что при α > α(ε, d) имеем
k(Pα)(E) 6 k(P ) S
( E, ε)+ ε : ∀E ⊂ k(X),
k(d)
если угодно можно ограничиться замкнутыми в [k(X), k(d)] множествами E.
Это дает ( см. Разделы 8.1 и 8.2 на стр. 63 – 63 ):
P Sd(A, ε) + ε = P k−1S
(k(A), ε) + ε = k(P )S
k(d)
(k(A), ε) + ε
k(d)
> k(Pα)(k(A)) = Pαk−1kA > Pα(A) : α > α(ε, d),
т. е. πd(Pα, P ) 6 ε : α > α(ε, d).
Комментарий. Теорема доказана без предположения P ∈ smooth(X) [ но
P ∈ proba(X) ], т.е.
слабо
P
−−−→ P =⇒ πd(Pα, P ) → o : ∀d ∈ D.
α
Отметим, что согласно Предложению 5.5 стр. 60
P ∈ smooth(X ), πd(Pα, P ) → o ∀d =⇒ P
слабо
−−−−→ P, т. е.
α
d
в smooth(X, D) слабая сходим ость эквивалентна сходимости
по семейству: (πd, d ∈ D) полуметрик Леви – Прохорова
Однако
если P ∈ smooth(X, D), то P
слабо
−−−−→ P ⇐⇒ πd(Pα, P ) → o : ∀d ∈ D
α
.....
В действительности, при доказательстве теоремы доказаны два утвер-
ждения:
Предложение 1. Если Рα, Р ∈ proba(X, D) и Р
слабо
−−−→ Р , то kd(Рα)
α
слабо
−−−→
kd(Р) : ∀ d ∈ D.
Предложение 2. Если d ∈ D и kd(Pα) → kd(Р) в метрике Леви – Прохорова
[ соответствующей метрике kd(d) на kd(X) ], то πd(Рα, Р) → o.
66 Глава 5 Полуметрики Леви – Прохорова
Замечание 1. Возникает вопрос, при каких условиях относительно метрического пространства слабая сходимость влечет сходимость в метрике Леви –
Прохорова [ и, тем самым, слабая топология метризуема ].
Например, если Р является τ – гладкой мерой (это понятие ввел Le Com),
( Cм. Вахания Н.Н. [4, стр. 50, 33; 1972] ), то справедливы следующие достаточные условия того, чтобы вероятностная мера Р была τ – гладкой:
Р – борелевская мера в топологическом пространстве со счетной базой
или
Р – радонова мера
( Cм. Вахания Н.Н. [4, стр. 34 и 39; 1972 ] ).
Борелевская (вероятностная) мера Р в полном метрическом пространстве
X радонова ⇐⇒ существует сепарабельное множество Y ∈ B(X) такое, что
Р(Y ) = 1.
( Cм. Вахания Н.Н. [4, стр. 35; 1972] ).
Замечание 2. Сумма двух случайных элементов (измеримых функций) со
значениями в несепарабельном нормированном пространстве может не быть
случайной величиной.
( Cм. Вахания Н.Н. [4, Комментарий к § 2 стр. 76; 1972] ).
в хаусдорфовом топологическом пространстве.
;
Проблема. А что будет, если каждое из пространств Фреше [k(X), k(d)]
является сепарабельным?
Замечание 3 (Dadly). В несепарабельных пространствах σ–алгебра, по-
рожденная шарами, может иметь преимущество перед борелевской.
( Cм. Вахания Н.Н. [4, §1 стр. 75 и §3 стр. 77; 1972] ).
5.9 Критерии сходимости случайных величин
Пусть (X, D) – ММП. Так как для любого d ∈ D, полагая k = kd, имеем
d(ξα, ξ) = k(d)(k(ξα), k(ξ)) и значит
P {d(ξα, ξ) > ε} = P {k(d)(k(ξα), k(ξ)) > ε},
P{limαd(ξα, ξ) = o} = P{limαk(d) (k(ξα), k(ξ)) = o}.
Отсюда получаем
5.10 Свойства сверток вероятностных мер 67
Предложение. Для любого d :
o
1
o
2
п.н.
ξ
−−→ ξ ⇐⇒ kd(ξα)
α
по вер.
ξ
−−−−→ ξ ⇐⇒ kd(ξα)
α
п.н.
−−→ kd(ξ).
по вер.
−−−−→ kd(ξ).
Кроме того,
o
3
слабо
ξ
−−−→ ξ =⇒ kd(ξα)
α
слабо
−−−→ kd(ξ).
(Относительно 3oсм. Предложение 1 из Раздела 5.8 стр. 65).
5.10 Свойства сверток вероятностных мер
Относительно свертки вероятностных мер на ЛТП см. Раздел 2.8 стр. 15.
Предложение. Пусть X – ЛТП и d – инвариантная полуметрика на X.
Тогда
πd(P1∗ P2, Q1∗ Q2) 6 πd(P1, Q1) + πd(P2∗ Q2) ,
n
X
πd(P1∗ . . . ∗ Pn, Q1∗ . . . ∗ Qn) 6
для всех Pi, Qi∈ proba(X, B(X )).
Доказательство. Пусть A ∈ B(X ), πd(P1, Q1) < ε1, πd(P2, Q2) < ε2.
Имеем
Z
(P1∗ P2)(A) =
=
Z
P1(A − x)P2(dx) 6
X
Z
Q1(Sd(A, ε1) − x)P2(dx) + ε1= (Q1∗ P2)Sd(A, ε1) + ε1.
X
πd(Pi, Qi) ,
i=1
[ Q1Sd(A − x, ε1) + ε1]P2(dx)
X
Здесь использовано
Sd(A − x, ε) = Sd(A, ε) + ε. (∗)
Аналогично (используя коммутативность свертки) получаем
(P1∗ P2)(A) 6 (P2∗ Q1)Sd(A, ε1) + ε16 (Q2∗ Q1)Sd[ Sd(A, ε1), ε2] + ε1+ ε
= (Q1∗ Q2)Sd(A, ε1+ ε2) + ε1+ ε2.
2
68 Глава 5 Полуметрики Леви – Прохорова
Здесь использовано включение Sd(Sd(A, ε1), ε
⊂ Sd(A, ε1+ ε2).
2
{x : d(x, Sd(A, ε1)) < ε2} = {x : ∃y ∈ Sd(A, ε1) (d(x, y) < ε2)}
= {x : ∃a ∈ A (d(y, a) < ε1, d(x, y) < ε2)}
⊂ {x : d(x, a) < ε1+ ε2}.
В силу произвольности выбора A ∈ B(X) πd(P1∗ P2, Q1∗ Q2) 6 ε1+ ε2.
Осталось устремить εi↓ πd(Pi, Qi).
Проверим (∗). Имеем
d(x + z, A + z) = d(x, A) [= inf
d(x, y) = inf
y∈A
d(x + z, y + z)] : ∀ z.
y∈A
Это дает
Sd(A − x, ε) = {y − x : y ∈ X, d(y − x, A − x) < ε}
= {y − x : d(y, A) < ε} = Sd(A, ε) − x.
Следствие.
πd(P ∗δa, Q ∗ δa) = πd(P, Q) : ∀ P, Q ∈ proba(X), a ∈ X.
Действительно, так как πd(δa, δa) = o, то Предложение дает
πd(P ∗δa, Q ∗ δa) 6 πd(P, Q) = πd(P ∗δa∗ δ−a, Q ∗ δa∗ δ−a)
6 πd(P ∗δa, Q ∗ δa) + πd(δ−a, δ−a) = πd(P ∗δa, Q ∗ δa).
5.11 Инвариантная по сдвигу полуметрика
Пусть d – инвариантная (относительно сдвига) полуметрика на линейном
пространстве X : [ d(x, y) = d(x − y) ], x ∼ y означает d(x, y) = o;
k(x) = {y ∈ X : y ∼ x}, k(a) + k(b) = {x + y : x ∈ k(a), y ∈ k(b)}.
Лемма. k(a) + k(b) = k(a + b).
Доказательство. Отметим, что a ∼ x, b ∼ y =⇒ a + b ∼ x + y; в
частности, при b = y a ∼ b =⇒ a + c ∼ b + c. Иначе: a ∼ b, c ∼ d =⇒
a + c ∼ b + d, в частности, при d = c a ∼ b =⇒ a + c ∼ b + c.
Ясно, что k(a) + k(b) ⊂ {z : z ∼ a + b} = k(a + b).
С другой стороны, z ∈ k(a + b) ⇁ z ∼ a + b ⇁ z − a ∼ b ⇁ z = x + y, где
x = a ∈ k(a), y = z−a ∈ k(b) ⇁ z ∈ k(a)+k(b).
5.12 Последовательности случайных элементов 69
5.12 Последовательности случайных элементов
Пусть ξ1, ξ2, . . . последовательность независимых случайных элементов.
Sn= ξ1+ . . . + ξn, n = 1, 2, . . . слабо сходится (Ho)
[ или сходится в полуметрике Леви – Прохорова ].
Положим Pn= P
, Pni= P
S
n
S
семейство E = {Pni: n > 1, i > 1} ⊂ proba(X) плотно. (Y1)
Имеем, Pnслабо сходится к некоторому распределению Р, поэтому
. Проверим, что
−S
n
n+i
семейство (Pn)
плотно, (H1)
n>1
т. е. ∀ ε > o ∃ компактное множество K = Kε⊂ X : ∀n (Pn(K) > 1 − ε).
Множество K – K = {x−y : x, y ∈ K} является компактным множеством
( если A конечная ε – сеть в K, то A − A конечная 2ε – сеть в K − K):
Рni(K − K) = P(S
= 1 − Р [ (S
− Sn∈ K − K) > P(S
n+i
∈K) ∪ (Sn∈K) ] > 1 − Р(S
n+i
∈ K, Sn∈ K)
n+i
∈K) − Р(Sn∈K)
n+i
> 1 − ε − ε = 1 − 2ε : ∀n, i,
и значит семейство (Pni) плотно. Это дает
семейство (Pni) слабо предкомпактно. (H2)
H : Предположим, что последовательность сл. элементов (Sn) не является
фундаментальной по вероятности и значит ∃ (S
P {d (S
− S
m
k
) > ε} > α : ∀k > 1 и некоторых ε > o, α > o. (1)
n
k
Положим mk= nk+ ik, k > 1. Согласно H2семейство (P
предкомпактно и без ограничения общности можно считать, что P
m
), (S
k
) : mk> nk→ ∞ и
n
k
)
nki
k
k>1
nki
слабо
при
k
k → ∞ слабо сходится к Q ∈ proba(X). Имеем при k → ∞
π (P
, P ∗ Q) = π (P
m
k
∗ P
n
k
, P ∗ Q) 6 π(P
n
kik
, P ) + π (P
n
k
, Q) → o.
n
kik
Кроме того, π (P
, P ) → o : k → ∞. Это дает
m
k
P = P ∗Q
Лемма. Если справедливо: P = P ∗ Q, то Q = δo.
Итак, P
nki
k
Значит (Sn)
слабо
−−−→ δo. Это дает S
– фундаментальная по вероятности последовательность.
n>1
nk+i
k
− S
по вер.
−−−−→ o, что противоречит (1).
n
k
70 Глава 5 Полуметрики Леви – Прохорова
Комментарий. Эти рассуждения верны, по крайней мере, для сепарабельного пространства Фреше.
5.13 Сходимость рядов случайных элементов
Предложение. Пусть X =
изведение сепарабельных пространств Фреше (Xd, d) (с инвариантной мет-
рикой d на Xd) d ∈ D. X – линейное топологическое пространство: если
x = x
d
∈ X, y = y
d
∈ X, λ ∈ R1, то x + y = xd+ y
(ξn)N– последовательность независимых X – случайных элементов.
Тогда эквивалентны сходимости почти наверное, по вероятности и слабая
рядаPξn.
(Утверждение следует из Раздела 5.12 стр. 69 – 70, Предложения Раздела
5.9 стр. 67 и нижеследующих лемм ).
X является вполне регулярным пространством (как тихоновское произведение вполне регулярных пространств: метрических пространств Xd).
Более того,
Q
Xd– топологическое (тихоновское) про-
d∈D
d
, λx = λx
D
d
D
.
Лемма 1. Рассмотрим на X семейство D инвариантных полуметрик d,
полагая
d(x, y) = d xd, y
d
: x = x
d
, y = y
D
d
D
(используя ту же самую букву d, как для метрики на Xd, так и для
полуметрики на X, и ту же букву D для соответствующих семейств
метрик и полуметрик).
Тогда линейное ММП (X, D) эквивалентно (т.е. существует линейная то-
пологическая биекция) линейному топологическому пространству
X =QXd, а
[ kd(X), kd(d) ] ≈ (Xd, d).
Ясно, что семейство D полуметрик на X разделяет точки X. Идентичное отображение есть соответствующая линейная топологическая биекция.
Линейность сохраняется очевидным образом. Элементарный шар S
(a, r) в
d
o
(X, D) соответствует элементарному цилиндру:
A =YAdв X =YXd, где Ad= Xd: d 6= doи A
= S
d
o
(ad, r) ⊂ X
d
o
.
d
o
Известно, что если определять случайный элемент ξ : Ω → X стандартным образом как борелевское отображение ξ : (Ω, F) → (X, B(X)), то
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]