Добавил:
Nemo_Nemorino
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Шахмейстер А. Х. Серия Математика. Элективные курс в 16 книгах / Задачи с параметрами на экзаменах - 2009.pdf
50 Системы уравнений и неравенств
z
z
[\ N
Èòàê,
°
®
°
¯
ª
«
[\ N
¬
[ \
[ \N
ª
«
[ \N
¬
а) из первой системы следует, что
íî ïðè
равносильна уравнению [\
, т.е. система приобретает вид
, значит
N
система уравнений
ª
[\
®
«
[\ N
¯
«
«
[\
«
®
[\ N
«
¯
¬
, тогда
N
, ò.å. N ,
[\
®
[\
¯
, т.е. система имеет
бесконечное множество решений;
N
á) ïðè
в) из второй системы
ò.å.
система решений не имеет;
[\
®
[\ N
¯
N
, тогда система имеет вид
следует, что N
[\
®
[\
¯
,
и имеет бесконечное множество решений.
[\
При
не имеет.
ã) ïðè N
N
первая система
®
[\
¯
вторая система решения не имеет.
решения
Итак, подведем итоги.
Ïðè
ª
«
N
¬
исходная система имеет бесконечное
N
множество решений, т.е. не единственное.
Ïðè
®
¯
исходная система решений не имеет,
z
N
N
z
т.е. единственного решения нет.
[\
Ответ: система
°
®
[ [\ \ N[ N\ N
°
¯
при любых значениях N единственного решения
не имеет.
3
z
Неравенства
1
Практикум 3
1. Найдите все значения параметра D, при которых
решением неравенства
объединение двух непересекающихся интервалов.
Рассмотрим ' для знаменателя.
ò.å.
Тогда исходное неравенство приобретает вид
[[
[[D
Графически условия задачи выглядят так.
Таким образом, выполнение условия возможно, если
Ответ: при D
1
Подробнее см. Шахмейстер А. Х. Уравнения и неравенства
с параметрами. СПб.: «ЧеРо на Неве», 2006. Гл. 4, 5, 6, 7.
'D DD
[D [D
непересекающихся интервалов
[D [D[D[
, ò.å. ïðè [
[[
решением неравенства
[[
[D [D
является объединение двух
,
[
DD
r
[D
.
[
является
;
.
D
[D
ª
«
[
¬
,
D
.
.
D
[D
[D
[D
Найдите все значения параметра
D
[D
z
2.
[D [D
решением неравенства
[D [D
, при которых
является
объединение двух непересекающихся интервалов.
Разложим на множители числитель и знаменатель
неравенства.
à)
[D [D
;
DD D
[
á)
[
Èòàê,
ïðè
[D D[D[
[D [D
DD D
r
неравенство примет вид
r
[[
DD
r
;
;
[D
ª
«
[
¬
;
.
DD
r
[D [
[D [
;
.
[D
ª
«
[
¬
;
.
.
Чтобы решение неравенства разбилось на объединение
двух непересекающихся интервалов, необходимо,
чтобы
D
.
Тогда графически это будет выглядеть так.
Ответ: при D
[D [D
[D [D
непересекающихся интервалов
решением неравенства
является объединение двух
DD
.
[D
!
!
[D
!
[D
!
!
Практикум 3
3. При любом значении параметра Dрешите неравенство
D
!
[D
.
5352 Неравенства
D[ D
[D
1)
à)
á) D
2)
à)
!
;
D
[
°
®
°
!
[D
¯
[
!
°
®
°
[ D
!
¯
;
D
.
D[ D
!
;
D
;
D
;
D
;
D
D[ D
;
;
§·
¨¸
©¹
D
DD
D[ D
;
D
;
§·
¨¸
©¹
D
D
D
;
.
;
!
D[ D
;
3)
á)
[
°
®
°
[ D
¯
[
°
®
°
[ D
¯
D
;
D
!
;
D
D
;
D
;
D
[
!
[
, ò.å. [
.
D
.
D
D
^`
^`
D
Ответ: решением неравенства
D
!
!
!
!
§·
1) ïðè D!
2) ïðè
3) ïðè
D
D
[D
[D
D
¨¸
©¹
§·
f f
¨¸
©¹
[
f
D
!
D
;
является
;
[
D
D
D
.
4. При любом значении параметра
неравенство
1) Пусть
à)
á)
2) Пусть
à)
á)
3) Ïðè D
Ответ: решением неравенства
1) ïðè
2)
D
[D
!
[
°
D
;
®
°
[
¯
[
°
D
;
®
°
[
¯
[
°
D
;
®
°
[
¯
[
°
D
;
®
°
[
¯
неравенство не определено.
ïðè
D [
!
!
D [
!
!
!
.
; тогда
D
D
;
D
D
;
, тогда
D
D
;
D
D
;
D
[
D
D
[
D
D[ D
D[ D
D
D
D
решите
!
; D[ D
!
является
[D
;
.
D[ D
DD
DD
;
;
.
;
;
^
`
^
`
D
Практикум 3
5. Найдите все значения параметра D, при которых
решением неравенства
[D [ D
d
является
[D [ D
объединение интервала и точки, не принадлежащей
интервалу и не являющейся его концом.
5554 Неравенства
Очевидно, что корни числителя
Если они совпадут, что возможно при
неравенство будет иметь вид
ò.å.
[[
[D
è
D
, òî
[
d
,
[
Других возможностей, чтобы решением неравенства
была точка вне интервала, не являющаяся
его концом, нет.
D
Ответ: при
[D [ D
[D [ D
решением неравенства
d
является объединение
интервала и точки, не принадлежащей интервалу
и не являющейся его концом,
6. При каких значениях параметра
[[
неравенства
[[
!
D[ D
D[ D
D[ D
!
D[ D
;
является луч?
решением
[D
.
.
.
[D[D[
D
à) Åñëè D
DD[
[[D
DD[
!
!
, òî
;
.
[[
!
не подходит.
D
@
!
@
á)
z
z
z
Åñëè
D
,
'D D DD
Решим уравнение
D
ª
[
«
«
[
«
¬
D
;
D
D
D
Èòàê,
D[
[
ª
«
D
[
«
¬
D
[[
D
D
D
.
D[ [ D
.
!
.
;
в) Пусть
D
. Тогда для того чтобы решением
неравенства являлся луч, необходимо, чтобы любые
два корня числителя или знаменателя совпали
и исключ¸нная точка не попадала в решение.
Значит
D
D
D
[[
D[ D
ª
DD
«
;
D
«
«
DD
¬
D
[[
D
[
[
!
;
[[
[
!
.
!
;
решением неравенства
!
D[ D
является луч
D
ª
«
D
«
«
D
¬
, íî D
;
f
.
ª
«
«
«
«
D
«
«
DD
¬
Èòàê, ïðè
Следовательно,
Ответ: при
.
>
@
!
!
>
@
Практикум 3
7. При каких значениях параметра D неравенство
[
D
[D
Корни числителя и знаменателя
Пусть
à)
DD
тогда
DD
á)
тогда графически это выглядит так.
Значит
справедливо для любых
; D
®
DD
!
¯
;
®
!
¯
,
;
;
D
!
°
®
°
D
¯
D
!
®
D
¯
D
D
;
[D
ª
«
[D
¬
.
[
D
f
.
?
;
5756 Неравенства
Ответ: при
отрезок
D
решением неравенства является
.
D
D
Тренировочная работа 3
D
D
D
D
D
>
1. Найдите все значения параметра D, при которых
[[
решением неравенства
[D [D
объединение двух непересекающихся интервалов.
является
2. Найдите все значения параметра
[
D[D
решением неравенства
[D[D
, при которых
является
объединение двух непересекающихся интервалов.
3. При любом значении параметра
неравенство
!
[
DD
.
4. При любом значении параметра
неравенство
D
[D
!
.
5. Найдите все значения параметра
[D [ D
решением неравенства
[D [D
решите
решите
, при которых
d
является
объединение интервала и точки, не принадлежащей
интервалу и не являющейся его концом.
6. При каких значениях параметра
D
[
неравенства
[D
является луч
частью решения
f
?
z
D
Решение тренировочной работы 3
Решение тренировочной работы 3
1. Найдите все значения параметра D, при которых
[[
решением неравенства
[D [D
объединение двух непересекающихся интервалов.
Рассмотрим дискриминант знаменателя.
ò.å.
Тогда неравенство примет вид
ò.å. ïðè
'D DD
[ D [D [D [
[
[
, тогда
[
.
D
Графическая интерпретация задачи выглядит так.
является
DD
[
.
[[
[
D[
r
,
[D
ª
;
«
[
¬
5958 Неравенства
,
Такое решение возможно только при D
Ответ: при
[[
[
D
решением неравенства
D[D
является объединение двух
непересекающихся интервалов
2. Найдите все значения параметра
решением неравенства
[ D [ D
[ D [ D
, при которых
.
D
является
.
объединение двух непересекающихся интервалов.
Разложим на множители числитель и знаменатель
неравенства.
;
à)
[
[D [D
DD D
r
[ D [D [D [
DD
r
;
.
[D
ª
«
[
¬
;