Добавил:
Nemo_Nemorino
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Шахмейстер А. Х. Серия Математика. Элективные курс в 16 книгах / Задачи с параметрами на экзаменах - 2009.pdf
30 31Дробно-рациональные уравнения
S
[
S
_
`
D
Значит
D
Пусть
[[
, ò.å.
D
. Тогда уравнение примет вид:
;
D
. Проверим.
[
r
, ò.å.
[
[
значит корни симметричны относительно числа 3.
D
Ответ: при
[ D [ D
относительно точки [
11. Найдите все значения параметра
уравнение
[D [D
корни уравнения
симметричны
.
, при которых
имеет два
различных корня, равноудал¸нных от точки
Уравнение
уравнению
[D [D [D [D
[D
ª
«
[D
¬
D[
òî
[D [D
[ D [ D
равносильно
, ò.å.
;
DD
.
D[
, è òàê êàê
.
[[
,
,
[
.
;
DD
DD
D
Ответ: при
[D [D
;
D
D
уравнение
;
;
D
равноудал¸нных от точки [
;
.
имеет два корня,
.
S
_
^
`
Решение тренировочной работы 1
12. Найдите все значения параметра S, при которых
уравнение
[S[S[S
имеет
рациональные корни.
В данном случае мы имеем уравнение 4-й степени
относительно [, решать которое технически очень
сложно. Заметим, что относительно
это уравнение
квадратное, решать которое значительно проще.
[S[S[S
.
Перегруппируем и решим.
SS[[ [[
.
Используем формулу четного коэффициента:
[[ [ [ [[
S
[[ [ [ [
r
Òàê êàê
только при
Åñëè [
r
[[
[
ª
«
[
¬
, тогда S
[[ [ [
t
, то решение возможно
.
r
_
.
.
Åñëè
[
Ответ: при
, тогда
[S[S[S
S
уравнение
r
S
.
имеет
рациональные корни.
Примечание. Подставляя в уравнение
è S
, убежда-
S
емся, что корней, отличных от 0 и 6, нет.
D
D
2
\
Системы уравнений и неравенств
Практикум 2
1. Для каждого значения параметра D решите систему
[\
уравнений:
[\
°
°
®
°
°
¯
Исключив
параметра можно написать уравнение
Преобразуя, получим
°
[\ D
®
°
[\DD
¯
\\D
\\DD
из второго и третьего уравнений, для
;
DDD
1
.
[\
°
\D
®
°
¯
\D D
DDD
.
.
.
Тогда
à)
Пусть
è òàê êàê
1
Подробнее см. Шахмейстер А. Х. Уравнения и неравенства
с параметрами. СПб.: «ЧеРо на Неве», 2006. Гл. 1, 2.
DD
D
. Значит так как
[\
;
, òî
ª
«
D
¬
[
.
D\
, òî
;
[
D
\
,
.
D
S
!
dd
Практикум 2
33
б) Пусть D
òî
òî
\
[
Ответ: в системе уравнений
1) ïðè
2) ïðè
3) ïðè
. Тогда так как
, ò.å. \
, ò.å.
D
единственное решение
D
D
z
®
¯
D
z
, è òàê êàê [\
[
[\
°
[\ D
®
°
[\DD
¯
единственное решение
;
[\
2. При каких значениях параметра
фигуры, заданной системой неравенств
d
\[ D[ D
°
®
[
d
°
¯
, равна
D\
,
.
;
(решений нет).
площадь
6
?
,
n
После преобразований систему неравенств можно
переписать
°
°
[
®
°
[
°
¯
d
[D \
d
t
, ò.å.
°
°
[
®
°
[
°
¯
d
[D \
d
t
.
Тогда имеем в первом неравенстве системы круг
5
радиуса
D вправо, если D
Òàê êàê
но в силу ограничений
центр круга имеет координаты
, сдвинутый по оси абсцисс на величину
, и влево, если D.
65
}¯
S
, то независимо от D
[
6
n
6
}¯
S
èëè
S
, только если
(êâ. åä.),
.
D
S
D
D
Значит,
Ответ: площадь фигуры, заданной системой неравенств
°
®
°
¯
равна
ª
åñëè
«
D
¬
d
\[ D[ D
[
d
, площадь фигуры равна S (êâ. åä.).
ïðè D
; ïðè D
,
.
3. Найдите все значения параметра
система уравнений
DD[ \DD
°
®
°
¯
имеет не менее четыр¸х решений.
Преобразуя,
Тогда
à)
[\
DD[ \DD
имеем
первое уравнение будет иметь вид
DD[ [ DD
DD[ [ DD
DD [DD
DD
DD D D
°
®
°
¯
;
[\
.
D
r r
.
, при которых
;
;
ª
«
;
«
¬
D
.
D
;
D
Практикум 2
á)
DD
DD D D
;
D
Итак, уравнение имеет вид
DD[DD
r r
ª
«
;
D
«
¬
.
.
3534 Системы уравнени è неравенств
D
;
Только при
D
уравнение имеет бесконечное
множество решений (не менее четыр¸х), а значит и
система имеет не менее четыр¸х решений.
Ответ: при D
DD[ \DD
°
®
[\
°
¯
система уравнений
имеет не менее четыр¸х решений.
Найдите все значения параметра
4.
, при которых
система уравнений
[\
°
®
[[\\D[D\DD
°
¯
имеет единственное решение.
По смыслу второе уравнение должно иметь только один
корень. Преобразуем его:
[ \ D[ \ DD
Значит относительно
W[ \
мы имеем квадратное
.
уравнение.
'D D D
t
DD D
,
значит
Тогда
D
d
WW D
, ò.å.
, значит
[\
®
[\
¯
D
'
.
.
D
z
z
Ответ:
D
[
z
ïðè
[\
°
®
[[\\D[D\DD
°
¯
D
система уравнений
имеет единственное решение.
5. Найдите все значения параметра
уравнений
v'
:
®
¯
°
[\
°
®
°
[\
°
¯
[
z
\
z
(
D
D
v'
область определения системы).
имеет хотя бы одно решение.
, при которых система
Приравняв коэффициенты при слагаемых, найд¸м
°
[\
°
à)
®
°
[\
°
¯
°
[\
°
á)
®
°
[\
°
¯
[
Отметим, что [\
\D
D
D
;
D
;
D
D
\
D
z
D
.
, ò.å.
;
;
D
z
;
\D
;
.
D
[
v
DD
;
'
è \.
.
Ответ: при
имеет хотя бы одно решение.
z
D
°
®
°
D
¯
система уравнений
z
°
[
\
°
®
°
[\
°
¯
D
D
D
z
z
Практикум 2
6. Даны две системы уравнений
°
®
°
¯
значения параметра
[\
[\DD
è
[\D
®
[\ D
¯
. Найдите все
, при которых каждая система
имеет единственное решение и эти решения совпадают.
3736 Системы уравнени è неравенств
v' : [\
.
Преобразуем первую систему.
[\
°
1)
®
[\DD
°
¯
\ DD
°
®
[D D
°
¯
[\D
2)
®
[\ D
¯
Значит
à)
äëÿ
äëÿ
решения
D
:
системы
системы
(
;
DD
[\
;
\
°
°
®
DD
°
[
°
¯
;
;
\
®
[
¯
\
®
[
¯
).
DD
.
\
°
®
\ D
[
°
¯
DD
.
D
ª
;
«
D
¬
;
значит есть общие
.
á)
D
äëÿ
системы
äëÿ
системы
:
\
®
[
¯
\
®
[
¯
;
общего решения нет.
>
D
Ответ: при D
D
^
`
]
t
è
®
¯
è
эти решения совпадают.
системы уравнений
[\D
[\ D
имеют единственное решение,
°
®
°
¯
система уравнений
\D [
°
®
[D [ D
°
¯
Заданная система имеет единственное решение, если
уравнение
решение, что возможно только при '
D
ª
«
D
¬
à)
á)
Ответ: при
найти
' DDDDDDD
, тогда
D
, тогда [
D
, тогда [
\D [
°
®
[D [ D
°
¯
наименьшее значение
[[
имеет единственное решение?
[D [D
è \
è \
D
система уравнений
®
¯
D
.
.
имеет единственное решение.
[\ D
[\ D
имеет единственное
;
имеет решение,
(
.
).
;
Решая систему и используя теорему, обратную теореме
Виета, приходим к уравнению
корнями которого являются
Это уравнение разрешимо при
W[
WD WD
;
W\
'
.
или наоборот.
,
@
>
t
D
Практикум 2
3938 Системы уравнени è неравенств
Òàê êàê
òî
íî
Значит
тогда
' DDDDD
DD D D
DDDDDDD
]]
ÓÈÒä
[ \ DD
] DD D
, ãäå
Исследуем это условие.
D
;
\]D
D
;
\]D
Èòàê,
]
ÓÈÒä
В данном случае
n
;
]]
p
;
]]
ïðè D
, и система имеет решение.
[\
.
Ответ: полагая, что система
решение,
]
ÓÈÒä
получим наименьшее значение
(
] [ \
;
[\ [\ [\
,
,
;
D
f f
ÓÈÒä
ÓÈÒä
[\ D
®
[\ D
¯
имеет
).
.
.
;
.
[\ D
9. При каких значениях параметра
система
®
[\ D
¯
имеет два решения, прич¸м абсциссы этих решений
имеют
разные знаки и абсолютная величина
положительной абсциссы больше абсолютной величины
отрицательной абсциссы решения?
[
!
°
Пусть
[ \ [ \ решения системы
[
®
°
[[
!
¯
.