Добавил:
Nemo_Nemorino
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Шахмейстер А. Х. Серия Математика. Элективные курс в 16 книгах / Задачи с параметрами на экзаменах - 2009.pdf
20 21Дробно-рациональные уравнения
D
DDD
DD
D
D
S
^
`
D
ò.å. ïðè
á)
Ответ: при
Графическая иллюстрация решения задачи приведена
ниже.
D
;
[
I
точка для графиков функций
и
\D[
существует только одна общая точка
; [
r
.
[[
;
.
D
существует только одна общая
.
\[ [
D
D
D
z
D
D
D
D
S
Òренировочная работа 1
Тренировочная работа 1
1. Сколько различных корней имеет уравнение
[[ N[
2. Сколько различных корней имеет уравнение
от значений параметра
3. Для каждого значения параметра
уравнения
4. Найти все значения параметра
уравнения
имеют хотя бы один общий корень.
5. Найдите все значения параметра
уравнения
общий корень.
6. Сколько корней имеет уравнение
в зависимости от значения параметра D?
в зависимости от значения параметра N ?
[[[ N[
в зависимости
N ?
[D [ D[
[
[
D
[[D
D
è
D
[D
è
[
найдите число корней
, при которых
[[D
, при которых
имеют хотя бы один
[
[[
.
D
7. При каких значениях параметра
общих точек графиков функций
è
J[ [ D[
не больше
8. Найдите все значения параметра
больший корень уравнения
D
абсциссы всех
D ?
I[ [ [ D
, при которых
[D[D D
в 10 раз больше, чем его меньший корень.
9.
Найдите все значения параметра
, при которых
больший корень уравнения
[D[DD
10. Найдите все значения параметра
уравнения
относительно точки
11. Найдите все значения параметра
уравнение
различных корня, равноудал¸нных от точки
12. Найдите все значения параметра
уравнение
меньше 8.
, при которых корни
[ D [ D
[
.
симметричны
, при которых
[D [D
имеет два
, при которых
[S[S[S
имеет
[
.
рациональные корни.
22 23Дробно-рациональные уравнения
D
!
Решение тренировочной работы 1
1. Сколько различных корней имеет уравнение
[[ N[
в зависимости от значений параметра N?
[[ N[
всегда:
Исследуем
à)
á) '
они не совпали с
N
â)
Ответ: в уравнении
;
[
.
[[N
N
;
[[
!
два корня, правда, хотелось бы, чтобы
;
корней нет.
два корня;
один корень;
N
два корня;
N
f
'
1)
2)
3)
4)
;
;
N
; N
N
N
N
[[ [N
[[ N[
. 'N
;
[
. Это возможно, если '
три корня.
. Один корень есть
;
;
ïðè
2. Сколько различных корней имеет уравнение
[[[ N [
значений параметра
[[[ N [
ªº
[[[N
¬¼
[[[N
Исследуем
N ?
[[ N
в зависимости от
один корень есть всегда.
;
.
.
[
;
'NN
;
!;
z
z
D
Решение тренировочной работы 1
à)
á)
'
;
N
'
;
[[
два корня
[
N
r
.
, но хотелось бы,
чтобы эти корни не совпадали. Так как
'
значит
N
â)
'
; корней нет;
Ответ: в уравнении
1)
2) N
3) N
4)
. Выясним, при каких N это возможно.
; N
N
;
[[[ N [
один корень;
два корня;
два корня;
N
f
3. Для каждого значения параметра
решений уравнения
D[ D D[ D [
DD[DD
DD
à)
DD D D
[D [ D[
;
D
;
r
r
;
N
.
три корня.
найдите число
;
ª
D
«
;
«
D
«
¬
[
,
ïðè
.
;
á)
DD
DD D D
;
D
r
Итак, уравнение приобретает вид
DD[DD
r
ª
«
D
«
¬
.
.
D
;
24 25Дробно-рациональные уравнения
D
[
z
D
à)
°
единственное решение
®
°
¯
,
D
z
[
D
D
;
D
D
, тогда [
, [
z
D
°
®
°
D
z
¯
2)
3)
D
D
, ò.å. [ решение;
, [
единственное решение
,
.
[
бесконечное множество решений;
решения нет.
á)
â)
Ответ: 1)
4. Найти все значения параметра D, при которых
уравнения
[[D
è
[[D
имеют хотя бы один общий корень.
Вычтем одно уравнение из другого и получим
[D
, ò.å.
D[
подставим в любое из
уравнений.
D
D
DD D D
D
;
;
D
;
D
DD
Ïðè
желании проверки убеждаемся, что для двух
;
D
r
r
уравнений существует общий корень.
Ответ: при
D
è D
[[D
уравнения
è
[[D
имеют хотя бы один общий корень.
D
ª
;
«
D
¬
.
z
z
[
Решение тренировочной работы 1
5. Найдите все значения параметра D, при которых
уравнения
[
D
[
D
è
D
[D
[
имеют хотя бы один
общий корень.
Пусть
D[ D[
Из первого уравнения
òî
[
Подставляя значение
§·
D
¨¸
©¹
DDD DD
DDDDDD
DD D D
Пусть
à)
б) Пусть
[D
(
' \ ), тогда
.
D[ D
DD
(ïðè
).
D
во второе уравнение, получим
DDD
DD
D
, тогда
, тогда
D
;
;
[
[
[
[
[D[D
, ò.å. åñëè D
;
;
DD
; [
;
[
;
[[
ª
«
;
«
¬
[
è
D
; [
,
D
.
.
,
значит
è
[[
Значит
Ответ: при
[
[
[
D
è
[[
;
[
[
общий корень.
есть общий корень для уравнений
D
è
D
[D
[
D
;
[[
r r
.
; [
[
ª
;
«
[
¬
,
26 27Дробно-рациональные уравнения
D
D
D
D
D
z
!
6.
Сколько корней имеет уравнение
зависимости от значения параметра D?
1) Òàê êàê
то
Выясним, при каких значениях параметра
уравнение имеет корни [
эти значения параметра
а) Пусть
Такого корня нет при любых значениях параметра
б) Пусть
значит и в этом случае такого корня нет при
любых значениях параметра
2) После преобразований уравнение примет вид
.
а) Пусть
' \ :
D[D[D
DD
[[
[D[ [
[
, тогда D
[
, тогда D
D
, тогда
;
.
z
.
[
[[
, ò.å.
è [
ëîæü.
ëîæü,
.
'D DD D D
D
â
[
z
®
[
¯
,
z
, и исключим
.
'
ïðè
DD D
[
á) D
â)
ã)
Ответ: уравнение
1)
2)
3)
4) D один корень;
5)
r
, тогда [
D
D
, тогда
D
, тогда
[[
D
f f
D
один корень;
D
D
D
f f
есть два корня.
один корень.
[
один корень.
[
[[
один корень;
корней нет.
;
D
имеет при
[
два корня;
, тогда
один корень.
z
z
@
@
D
Решение тренировочной работы 1
7. При каких значениях параметра
общих точек графиков функций
è
J[ [ D[
не больше
Найдем абсциссу общих точек, где
[[D[D[
Òàê êàê
Значит
D
, òî
[
[DD
d
Ответ: при
D
f f
точек графиков
è
J[ [ D[
;
D[ D
D
D
;
t.
D
f f
не больше
8. Найдите все значения параметра
больший корень уравнения
D ?
I[ J[
.
DD
абсциссы всех общих
I[ [ [ D
, при которых
[D[D D
в 10 раз больше, чем его меньший корень.
D
абсциссы всех
I[ [ [ D
.
.
.
D
.
[[
Ïî
условию
, тогда, учитывая теорему Виета,
получим систему
!
[[ [ DD
°
®
[[ [ D
°
¯
Тогда
°
®
°
¯
DD DD
DD DD
DD
DD
[
[
D
. Значит
;
DD
DDD
;
;
D
ª
«
D
!
¬
.
;
.
28 29Дробно-рациональные уравнения
D
^
`
D
D
r r
ª
D
«
«
«
D
«
¬
Ответ: при
r r
;
ª
D
«
«
D
«
¬
;
f f
D
больший корень уравнения
.
в 10 раз больше,
;
f
;
[D[D D
чем его меньший корень.
Примечание. Можно проще.
' DDDDDDD
!
D[
r
[[
[[
;
; DD
; DD
à)
á)
[ D
è
; D
; D
[ D
.
;
;
D
D
;
.
;
9. Найдите все значения параметра
, при которых
больший корень уравнения
[D[DD
меньше 8.
Графически это выглядит так,
!
I
°
E
°
что соответствует
®
°
'
°
¯
ãäå
I[ [ D [ D D
.
D
!
,
D
Решение тренировочной работы 1
Получим систему неравенств
°
°
®
°
°
¯
°
°
D
®
°
°
¯
DD
°
°
D
®
°
°
¯
DDD
!
D
DDD
DD
!
!
!
DD DD
!
.
D
r r
!
;
;
ª
«
;
D
«
¬
D
.
D
D
Ответ: при
больший корень уравнения
[D[DD
10. Найдите все значения параметра
уравнения
[D [D
относительно точки [
.
меньше .
, при которых корни
симметричны
.
После преобразований получим
[D[D[D[ D
[D[ D
ò.å.
Òàê êàê
но по теореме Виета
[W
[W
, òî
.
[[ D
,
[[
,
.