Добавил:
Nemo_Nemorino
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Шахмейстер А. Х. Серия Математика. Элективные курс в 16 книгах / Задачи с параметрами на экзаменах - 2009.pdf
t
tdd
t
Ответ: в уравнении
!
D
c
t
1)
2)
3)
4)
5)
D
существует единственный корень;
D
существуют два корня;
D
D
существуют два корня;
D
существует единственный корень.
WWD
существуют три корня;
ïðè
13.
1) При каких значениях параметра
решение?
2) При каких целых значениях
рациональное число?
1) По сути мы исследуем область изменения функции
Для решения этого вопроса используем идеи
математического анализа.
c
\
[[[ [[[
[[ [[ D
NN NN D
[[ [[
\
t
\[[ [[
[[
[[
[[ [[
t
.
уравнение имеет
N уравнение
имеет решение, где D
.
;
;
'\
f f
\ [[ [[
.
.
c
t
c
t
d
c
d
t
Практикум 9
203202 Задачи математического анализа
à)
á)
[
t
;
[ [ [[ [ [ [[
t
[[[[[[[[
t
[[[[[[[ [
t
°
®
°
¯
dd
d
[[
t
[
\
[
;
всегда, так как для исходного
d
[[
°
®
t
[
°
¯
ªº
«»
¬¼
;
[
.
неравенства правая часть всегда неположительна
и левая неотрицательна.
â)
[
[ [ [[ [ [ [[
d
;
;
.
Òàê êàê åñëè
[[
t
°
®
°
¯
Èòàê,
[
\
äëÿ [
Соответственно
Значит
PD[
D
®
¯
, òî DEt
E
DE
d
;
.
\
\\
äëÿ [
.
.
;
[
`
_
]
D
[
Рассмотрим
@
@
_
_
_
]
ã)
[
OLP OLP
[[
of of
[[ [[
[
OLP
§·
of
[
[
¨¸
©¹
[
[[
[[
[[ [[
.
OLP
ä)
[
of
Òàê êàê
I\\
È ïðè
2) При каких целых
IN
ò.å.
IN N N N N
рациональное, если
[[ [[
[[
ÓÈÒ
D
[[ [[ D
(\
, ãäå
N
IN NN NN
(_ множество рациональных чисел)?
.
[[
°
°
®
°
°
¯
(в силу непрерывности).
PD[
уравнение
!
[[
имеет решение, или
рационально,
[
[
[
[
\[[ [[
N
NN NN
,
.
N
à)
á) Òàê êàê
или целое, или иррациональное, и так как
I N
NN
°
®
°
NN
¯
по условию, то
IN
.
_
, но корень из целого есть
_
I N
(] целое число).
@
@
^
`
_
]
D
[
!
Практикум 9
205204 Задачи математического анализа
Íî
N
[см. пункт 1), в)].
Ответ: уравнение
I N
;
IN
;
I N
;
IN
, поэтому
NN NN
NN NN
NN NN
D[[ [[
имеет решение
1)
ïðè
2) ïðè
;
N
I N
D
14. При каких значениях параметра
монотонна на
[[
Äàíî
\
\
[[[[[[
OQ OQ OQ
c
[
DD
f
D
. Íàéä¸ì \c.
?
[
ª
IN
«
IN
«
«
IN
«
¬
, åñëè N
\
;
; N
;
;
[[
D
[
N
; N
.
;
] ;
[[ [ [
OQ OQ OQ
[[[
Íî
только от знака
Пусть
OQ OQ OQ
[[
[
OQ
!
[W
D OQ OQ OQ
D
äëÿ
M
;
, тогда знак производной зависит
[[
[
[[[ [
DD
[
[[ [
OQ
D
.
D
.
WW WD
;
'D
;
D
.
@
`
M!
!
z
!
f
!
t
D
n
.
Значит
\
°
ò.å.
®
°
D
¯
Ответ:
W ïðè
[
z
!
\ возрастает на
\ I [
°
D
[
!
D
®
°
[
z
¯
;
[[
15. Сколько корней имеет уравнение
W ,
ïðè
D
.
ORJ ORJ ORJ [[[D
в зависимости от значения параметра D?
1) Òàê êàê
ORJ \[
à)
òî
á)
òî
â)
òî
J[ \
ORJ \[
J[ \
ORJ \[
J[ \
строго убывающая функция,
тоже строго убывающая функция.
строго убывающая функция,
тоже строго убывающая функция.
строго убывающая функция,
тоже строго убывающая функция.
Значит
I [ J [ J [ J [
ã)
строго убывающая
функция. Тогда каждое свое значение она
принимает только один раз. Значит, если
уравнение имеет решение, то оно единственное.
2) Пусть
Пусть
тогда
W
M M M
ÓÈÒä ÓÈÒä
ïðè
ORJ W[
M
W
M
строго возрастающая.
наименьшее значение, тогда
D
t
решение есть.
'\
, íî
WWW W
W
: W
,
.
, значит
Ответ: 1) при
решение;
2) ïðè
D
t
D
существует единственное
решения не существует.
>
@
^
`
Практикум 9
16. При каких значениях параметра
[
значение функции
\[
WJ FRV
D D
D S
наименьшее
Так как мы имеем дело с квадратичной функцией
207206 Задачи математического анализа
равно ?
ветвями вверх, то при
WJ
Тогда
ò.å.
D
ÓÈÒä
WJ WJ FRV \[ \
D D D
[
\\ \
ED
D
WJ[
WJ
WJ FRV \[ \
D D
.
D
PLQ ÓÈÒä
Решим это уравнение.
WJ
WJ WJ WJ WJ
WJ WJ
WJ
Èòàê,
D
D D D D
D D
D
ª
WJ
«
r
D
«
WJ
D
«
¬
WJ
D
WJ
D
;
;
ª
D S
«
«
D S
«
¬
§·
FRV
¨¸
©¹
ª
r
DUFWJ
WJ
«
;
«
WJ
«
¬
DUFWJ
WJ
D
WJ
D
D
D
QQ
NN
ª
Учитывая ограничения для D, получим
Ответ:
наименьшее значение функции
[
\[
D S
WJ FRV
D D
DUFWJ DUFWJ
.
равно
«
«
«
¬
.
D
;
]
.
]
DUFWJ
D
D S
ïðè
.
,
;
.
DUFWJ
.
S
!
S
D
точкой минимума функции
c
^
`
число 2 является
\[D [ D
?
c
1)
[D [D [ D
\[D [ D [ D [ D
2) Найдем критические точки,
т.е. решим уравнение
D
3)
DD
DD
D
DD
.
ª
[
«
«
\ [
[D
:
«
«
[
«
¬
D
.
D
D
Значит, из совпадения двух критических точек
[
следует
совпадение и с третьей точкой. Тогда
4) Чтобы установить, в каких точках имеется минимум,
необходимо расположить корни производной в
порядке возрастания.
а) Пусть
D
!
. Тогда
D
DD
, значит
.
\\D
PLQ
\\
PLQ
б) Пусть
D
D
, ò.å. D
, ò.å.
. Тогда
D
; D
DD
; D
.
;
D
.
Рассматривая аналогично, получим те же значения
параметра.
Ответ: число 2 есть точка минимума функции
\[D [ D
ïðè
D
.
S
c
c
c
!
S
Практикум 9
18. Дано уравнение
[[S[T
.
Найдите наибольшее целое значение параметра
при котором уравнение имеет три различных корня,
один из которых равен
Обозначим
.
I[ [ [ S[ T
.
209208 Задачи математического анализа
,
1)
2)
IST
тогда
TS
.
,
Функция примет вид
c
I[ [ [ S
.
Для того чтобы функция
\I[
I[ [ [ S[ S
имела три корня,
необходимо (но не достаточно), чтобы уравнение
I[
имело два различных корня.
I[
Рассмотрим
S
;
[[S
'S
; S
наибольшее подходящее целое число.
I[
.
[[
z
;
.
Так как достаточности нет, то проверим
В этом случае уравнение примет вид
.
S
.
Ответ:
ª
[[[
;
[[ [
наибольшее целое значение
уравнение
[[S[T
«
;
«
«
¬
, при котором
имеет три
различных корня, один из которых равен
[
[
[
.
, åñòü 2.