Добавил:
Nemo_Nemorino
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Шахмейстер А. Х. Серия Математика. Элективные курс в 16 книгах / Задачи с параметрами на экзаменах - 2009.pdf
10 11Дробно-рациональные уравнения
D
z
z
\
, òî
D
абсциссы всех
I[ [ [ D
[DD
!
J[ [ D[
больше
7. При каких значениях параметра
общих точек графиков функций
è
Пусть
I[ J[
D[ D
DD
Ответ: при
J[ [ D[
больше
; тогда
. Òàê êàê
;
D
абсциссы общих точек графиков
I[ [ [ D
è
D ?
[[D[D[
D
.
D
8. Найдите все значения параметра E, при которых
отношение дискриминанта уравнения
к квадрату разности его корней равно E
'E E
'E
!
[[
Тогда
[[
Значит
относительно
Отметим,
E
E
'
EE
E
÷òî ïðè
Ò
, ò.å.
E
;
E
ª
«
E
¬
E
ª
«
«
E
z
«
«
¬
[[
, ò.å.
EE
.
[
[
E
. Получим уравнение
'
, ò.å. [
E[ [
.
E
E
, тогда
E
E
.
E
§·
E
EE
¨¸
E
©¹
.
, ò.å.
;
D .
.
Ответ: при
E
отношение дискриминанта уравнения
к квадрату разности корней уравнения
E[ [
равно
E
.
Практикум 1
9. Найдите все значения параметра D, при которых
больший корень уравнения
[D[DD
меньше 9.
Графически это можно изобразить так:
åñëè
I[ [ D [ D D
,
°
°
òî
®
°
°
¯
°
°
®
°
°
¯
°
°
D
®
°
°
¯
DD
°
°
D
®
°
°
¯
DDD
!
D
DDD
!
!
DD
!
DD DD
!
;
D
r r
!
!
I
E
'
D
!
, тогда
, значит
;
;
D
ª
«
D
«
¬
;
Ответ: при
D
больший корень уравнения
[D[DD
D
.
меньше 9.
12 13Дробно-рациональные уравнения
D
D
^
`
D
10. Найдите все значения параметра
[D[DD
корень уравнения
больше, чем его меньший корень.
[[
по условию, тогда, учитывая теорему Виета,
[[ [ D D
!
°
имеем
®
[[ [ D
°
¯
[
°
Получим
DD D D
DDDD
DD
D
ª
D
«
«
D
«
¬
°
®
°
[
°
¯
r r
;
D
f f
DD
. Тогда
D
;
ª
f
D
«
D
f
¬
, при которых больший
â 6 ðàç
.
.
DD D D
;
;
;
.
;
Ответ: при
D
[D[DD
больший корень уравнения
в 6 раз больше,
чем его меньший корень.
Примечание.
Можно решить иначе, если сразу найти корни исходного
уравнения, но тогда необходима проверка.
à)
á)
[ D
;
[ D
[ D
. Тогда
. Тогда
;
DD
DD
D
;
; D
; D
.
.
[ D
В данном случае такой способ проще, так как корни рационально выражаются через
.
D
Практикум 1
11. Найдите все значения параметра E, при которых
[[
J[
функция
числовой оси и принимает только положительные
значения.
Òàê êàê
òî
знак функции зависит только от знаменателя.
Чтобы знак был положительным, необходимо, чтобы
EE
[[
'E
!
[
E[
äëÿ [ èç-çà
,
E
определена на всей
!
®
'
¯
D
!
;
EE
.
,
.
Значит
[E[
тогда
Ответ: при
12. Найдите все значения параметра
уравнения
относительно точки
После преобразований получим
Òàê êàê
корни
ïðè
!
определена на всей числовой оси и принимает
только положительные значения.
[D[D[D[D
[D[D
[W
[W
симметричны относительно числа 12.
J[
äëÿ
E
!
E
[D [D
,
( [),
ff
функция
[
.
[
.
.
[[
J[
, при которых корни
симметричны
;
[
E[
14 15Дробно-рациональные уравнения
D
Тогда
[[ D
Проверим, будут ли корни при
[[
; с другой стороны, по теореме Виета
, значит D , ò.å. D
D
относительно числа 12.
D
Пусть
[[
ò.å.
. Тогда
[
r
Действительно,
Ответ: при
D
[ D [ D
относительно точки [
13. Найдите все значения параметра
[D [D
уравнение
[[
;
[
r
.
ª
[
«
[
«
¬
условия выполнены.
корни уравнения
симметричны
.
, при которых
различных корня, равноудал¸нных от точки
[D [D
Уравнение
[D [D
, ò.å.
.
симметричны
;
,
имеет два
[
равносильно
.
[D [D [D [D
[D
Значит
Òàê
значит
ª
«
[D
¬
[W
êàê
[W
DD
DD
.
D
D
, òî
[[
;
; D
ª
[
«
, íî
DD
«
[
«
¬
;
D
.
,
;
;
D
.
Практикум 1
Это можно проверить:
;
[
[[
[
[
Действительно,
что требовалось доказать.
D
Ответ: при
имеет два различных корня, равноудал¸нных
от точки [
;
уравнение [D [D
[
;
.
,
.
14. Есть ли на графике функции
\[[
относительно которой график функции центральносимметричен?
Условие центральной симметрии
относительно
\I[
$DID означает, что
ID [ ID ID ID [
èëè
ID [ ID [ ID
.
точка $ ,
16 17Дробно-рациональные уравнения
#
D
I D [ D [ D [
I D [ D [ D [
ªºªº
D [ D [ D [ D [
¬¼¬¼
DD[D[[D[D[
DD[D[[D[D[
DD[ D [
Óº
I DDD DD
Тогда
DD[D[DD
Значит
[D
координаты точки
Ответ:
ªº
D[ [
график функции
симметричен.
¬¼
I
$
I D [ID [
;
, ò.å. ïðè
точка, относительно которой
D
. Таким образом определили
$
.
\[[
.
.
центрально-
15. При каких значениях параметра
два различных корня уравнения
[ D[ DD[D
Решим уравнение
[
[D [ DD[DI[
ID D D D D DD D
DDD DD D
и какие?
I[
, ãäå
существуют только
;
.
#
Практикум 1
Значит
I[ [ D
, тогда числитель уравнения
примет вид:
[D[D
' DDD
[
Èòàê,
уравнение будет иметь вид
[D [ D [ D
DD
r
;
[
ª
;
«
[D
¬
.
;
.
[D [ [ D
[
.
Чтобы было только два различных корня, необходимо
чтобы либо один из корней числителя совпал с корнем
знаменателя, либо какие-то два корня числителя совпали
и корни числителя не обращали знаменатель в ноль, что
возможно, если:
[D
à)
®
[
¯
[D
ã)
®
[
¯
; á)
; ä)
[D
®
[
¯
[D
®
[
¯
; â)
,
[D
°
[D
®
°
[
¯
z
;
;
[
[
D
ª
«
D
«
«
D
;
.
[
ª
;
«
[
¬
[
ª
;
«
[
¬
[
ª
«
¬
;
[
;
;
«
D
«
«
D
«
¬
D
ª
«
D
«
тогда
à)
á)
â)
«
D
«
«
«
¬
D
D
D
D
D
[[[
;
[[[
;
[[ [
;
[
18 19Дробно-рациональные уравнения
D
[
ã)
[[[
D
;
[
ª
;
«
[
¬
;
D
ä)
Ответ:
[[[
;
уравнение
[
[
D[ DD[D
[
корня при
1)
2)
3)
4)
5)
D
Сколько корней имеет уравнение
16.
D
D
D
D
ª
«
¬
ª
«
¬
ª
«
¬
ª
«
¬
ª
«
«
¬
[
[
[
[
[
[
[
[
[
;
;
;
;
.
[
зависимости от значения параметра D?
ª
«
;
«
¬
[
.
[
[[ D
â
имеет два
Решим вопрос графически.
Построим
графика
\[
\ [[ [
вправо на единицу и вниз на 4.
Для того чтобы построить график
. Имеем сдвиг
\I[
, необходимо
часть графика, находящуюся в верхней полуплоскости,
сохранить, а часть графика, находящуюся в нижней
полуплоскости, симметрично отразить в верхнюю
полуплоскость.
D
z
Практикум 1
Ответ: в уравнении
1)
2)
3)
4)
5)
17. При каких значениях параметра
одна общая точка для графиков функций
è
\D[
Это значит, что уравнение имеет только один корень.
[[ D[
à)
D
' DD
тогда
Èòàê, ïðè
D
, òî два корня;
D
D
, òî три корня;
D
f
?
;
;
D
[[ D
, åñëè
, òî четыре корня;
f
, òî два корня;
D
, то корней нет.
существует только
D[ [
.
;
[[
.
единственный корень,
'
;
D
,
\[ [