Добавил:
Nemo_Nemorino
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Шахмейстер А. Х. Серия Математика. Элективные курс в 16 книгах / Задачи с параметрами на экзаменах - 2009.pdf
180 181Логарифмические уравнения и неравенства
D
[
t
!
D
!
'D D D DD
'
Уравнение имеет единственный корень,
D
åñëè
D
; [
D
;
Так как
из корней подходит, а другой нет.
ª
'
;
«
¬
[
[
;
[[
D
;
.
, то возможен случай, что один
D
;
.
Это возможно, если
тогда
Ответ: уравнение
10. При каких значениях параметра
OJ OJ [D[
°
®
°
¯
D
единственный корень при
[
!
[D[
'D D D
'
DD
.
OJ OJ [D[
;
.
I
;
;
имеет только два корня?
[
!
°
®
[D[
°
¯
D
.
f
уравнение
имеет
D
;
.
^`
D
[
Решение тренировочной работы 8
Значит два корня есть, только если
°
°
®
°
°
¯
(
®
¯
!
I
!
'
!
D
!
;
D
!
D[
абсцисса вершины параболы)
D
Ответ: при
OJ OJ [D[
!
°
DD
!
®
°
D
!
¯
°
;
®
°
¯
D
D
D
;
D
!
уравнение
имеет только два корня.
11. При каких значениях параметра
VLQ FRV
[[
ORJ
D
из области определения
D
à) Åñëè
тогда
!
VLQ FRV
[[D
D
!
справедливо для любых
'+?
, òî
ORJ
\[
D
!
.
;
D
.
неравенство
возрастающая,
VLQ FRV [[D
!
VLQFRV VLQ FRV[[ [[
FRVVLQ VLQFRV VLQ[[[
SS S
, íî
§·
¨¸
©¹
.
182 183Логарифмические уравнения и неравенства
!
D
t
dd
d
t
d
D
>
@
>
@
Тогда
áûòü
ïðè
á) Åñëè
\[
°
°
®
°
°
¯
Тогда
Чтобы это выполнялось, необходимо чтобы
°
®
°
¯
Учитывая условие убывания, получим
VLQD[
справедливо всегда, то это возможно только
t
ORJ
D
VLQ FRV
[[
VLQ FRV
[[D
VLQ
°
°
®
°
VLQ
°
¯
D
d
D
t
S
!
D
; ò.å. D
D
убывающая и неравенство равносильно
D
[
!
[
D
;
®
D
¯
, и если неравенство должно
, òî D
!
.
S
S
D
, ò.å.
D
d
;
D
t
.
, тогда
DD
VLQ
.
S
[
D
.
.
VLQ FRV
[[D
Ответ: неравенство
справедливо для любых
или
D
12. При каких значениях параметра
ORJ ORJ
DD
любых
Òàê êàê
ORJ ORJ
DD
[[
['+
[
!
[
, ãäå
[[ D
ORJ
D
.
?
è
s'
['+
[
!
, то возможен переход
неравенство
ïðè D
справедливо для
при любых
.
!
t
t
t
!
>
@
D
Решение тренировочной работы 8
а) Пусть D!, тогда ORJ
\[
возрастает, значит
D
исходное неравенство равносильно
[[D
WW D
Тогда
но для W
не всегда, даже при положительном
. Пусть
WW D
;
дискриминанте, что по условию не подходит.
б) Пусть
переменные и то, что
получим
Таким образом, если
\[
Ответ: при
D
W
, åñëè D
ORJ
D
D
ORJ ORJ
DD
справедливо для любых
, тогда, учитывая введенные
ORJ
\[
WW D
!
, что возможно для любых
при этом убывающая,
D
.
D
, помня условия убывания
, окончательно имеем
D
неравенство
[[
[
W[
, что возмож-
.
.
( W
).
13. При каких значениях параметра
OJ VLQ
VLQ
[
для любых
OJ\[
[D
возрастающая функция, поэтому
ORJ FRV ORJ
!
s['
[
?
неравенство
D
справедливо
прологарифмируем обе части неравенства
по основанию 10, и при этом знак неравенства
не изменится.
OJ VLQ OJ
OJ VLQ OJ VLQ ORJ FRV ORJ[D [ [ D
OJ VLQ
[
!
[D
!
ORJ FRV ORJ
[
D
, тогда
.
184 185Логарифмические уравнения и неравенства
D
!
t
!
t
d
d
D
!
t
d
d
Пусть
Так как
ORJ FRV ORJ VLQ OJ VLQ OJ VLQ[ [[[
òî
Учитывая,
Если
при любом W
ò.å.
Ответ: неравенство
14. При каких значениях параметра
ORJ
По определению логарифма
ò.å.
Òàê
Учитывая, что функция
Ответ: при
OJ VLQ [W
!
÷òî VLQ [
ORJ D
D
справедливо для любых
ORJ
t
ORJ
êàê
ORJ [
D
D
, ò.å. D
имеет решение.
(VLQ [
ORJWD W W D
!
, то неравенство верно всегда
, íî
.
[
[
t
, значит
D
;
ORJ D
VLQ
[
D
имеет решение?
D
для любых
.
уравнение
).
!
, имеем
!
OJ VLQ
[D
ORJ
.
D
t
[
\
ORJ
ORJ WD W D
OJVLQ[
, тогда
возрастающая, получаем
ORJ FRV ORJ
!
s['
уравнение
[
, ò.å.
ORJ
, ò.å. W
ORJ D
ïðè
[
, òî
D
[
D
,
t
.
[
,
.
.
,
D
D
.
D
Примечание. Задача может быть сформулирована иначе,
[
например: для функции
найти
(\ (область изменения).
ORJ
ORJ
\
>
@
>
@
Решение тренировочной работы 8
15. При каких значениях параметра D уравнение
ORJ FRV ORJ FRV
[[
DD
имеет решение?
Òàê
êàê
то возможен переход
ORJ FRVFRV
D
ORJ FRVORJ FRV
DD
и уравнение примет вид
FRV FRV [[D
Пусть
тогда
W
FRV [
FRV [W
(абсцисса вершины параболы).
!
[[
[[
WW D
è
, ãäå
FRV [
;
ïðè
W
!
D
®
D
¯
,
всегда,
,
!
z
.
Чтобы существовал хотя бы один корень,
необходимо
ãäå
Значит
DD
Ответ: уравнение
DD
имеет хотя бы одно решение при
II
d
IW W W D
d
d
.
ORJ FRV ORJ FRV
,
.
[[
DD
;
D
.
186 Логарифмические уравнения и неравенства
@
>
!
!
>
>
16. Найдите все значения параметра D, при которых
[
\ D
система уравнений
°
®
°
¯
Из второго уравнения
ORJ
[\
ORJ[\
имеет решение.
. Подставляя в
первое уравнение, получим
ORJ
\
\D
;
ORJ
\
\D
.
Таким образом, система принимает вид
\ D
°
\
°
®
ORJ
[ \
°
°
\
!
¯
Проанализируем уравнение
;
'D D D
\ D\
°
[\
®
°
!
\
¯
ORJ
\D \
,
.
.
ò. å. ïðè
Íî
\
, значит, выясним, при каких D корни
D
f f
уравнение имеет решение.
положительны.
Используя теорему Виета для уравнения
\\ D
®
\\
¯
Получаем, что только при
\D \
;
®
¯
, получим
!
!
D
;
D
.
D
f
уравнение имеет
положительные корни.
[
\D
Ответ: при
D
f
система уравнений
°
®
ORJ
[\
°
¯
имеет решение.
9
d d
t
c
>
c
d
t
c
t
d
Задачи математического анализа
Практикум 9
1. При каких значениях параметра D
функции
c
\
[D [
c
\
тогда
Òàê êàê
\
; [D [
\
; [D [
Значит действительно при
Ответ: при
[[D
[[D
;
D[
\\
;
[
, òî
t
d
D
для функции \[D [
PD[
\[D [
?
;
'\: D[
\
; [D [
D[
D
f
; [D [
; [D [
.
D
.
.
\\
PD[
, ò.å. ïðè D
,
PD[
D[
t
D[
d
;
;
\\
äëÿ
;
.
.
