Добавил:
Nemo_Nemorino
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Шахмейстер А. Х. Серия Математика. Элективные курс в 16 книгах / Задачи с параметрами на экзаменах - 2009.pdf
@
`
S
!
19.
D
D
>
@
>
@
c
dSSdS
SdSdS
tt
При каких значениях параметра
[[D
°
®
S S
DUFFRV
D
°
¯
1) Рассмотрим уравнение
значение параметра
единственное решение.
Для этого обозначим
и исследуем ее область значений
имеет единственное решение?
[
, при котором оно имеет
система
[[D
I[ [ [
( I .
и найдем
Так как
наибольшего и наименьшего значений на отрезке
.
c
I[
[
I
I
I
ò.å.
Тогда только при
решение
2) Рассмотрим уравнение
Òàê êàê
D
[[[[
ïðè
I[
критическая точка.
DUFFRV
ddS
'I
[[
ªº
(I
¬¼
[
.
, тогда D
, то по сути это нахождение
.
D
существует единственное
DUFFRV
S S
[
[[
; [[
,
;
D
, òî D
.
,
;
[
;
.
;
Так как первое уравнение имеет единственное
решение при
уравнения, при условии, что его корнем будет
D
, òî D подходит и для второго
[
.
>
@
^
`
S
>
!
!
Практикум 9
211210 Задачи математического анализа
Проверим это. При
DUFFRV
S S
DUFFRV
Система имеет единственное решение, так как первое и
второе уравнения имеют единственное решение, и эти
решения совпадают.
Ответ: система
Примечания.
1. Так как
функция, то второе уравнение имеет только один корень.
2. Решать задачу можно было, сравнивая области
изменения функций.
\ J [
Тогда
при
[
единственное решение при
DUFFRV
[
.
[
;
[[D
°
®
S S
DUFFRV
°
¯
DUFFRV\ [[
\I[ [ [
S
D
второе уравнение примет вид
[
;
D
S S
; [
строго монотонная
[
( I (J
. Значит, подходит только
DUFFRV
.
[
имеет
[
D
.
ªº
(I
¬¼
(J
;
;
.
D
20. Найдите все значения параметра
уравнения
имеют одинаковое число решений.
I способ
1) Проанализируем уравнение
à)
è [
S[S[
'\
!
f
. Тогда так как при этом [
S
, òî
, при которых
[
è
[
S
, ò. å.
[
S
.
S
[
.
`
б) На основании свойств пропорции преобразуем
>
t
t
t
td
M
M
d
@
@
исходное уравнение. Получим равносильное
[[ S
уравнение
Попробуем оценить границы изменения левой
части уравнения на
[
; [
Воспользуемся свойствами действий над
неравенствами (если
[[
t
[[ S
SS
f
:
; [
DE
PQ
.
. [
t
!!
!!
, значит, учитывая, что
!
следует
.
; [
DP EQ
t
), тогда
.
2) Пусть
J[ [
По свойствам действий с монотонными функциями
I[ [ J[
означает, что каждое свое значение она принимает
только один раз.
Вывод: уравнение
единственное решение. Значит, и
3) Рассмотрим случаи, когда уравнение
S[S[
ïðè
à)
á)
[[
S
имеет единственное решение.
S
.
S
При этом существует единственный корень
ª
f
S
«
f
S
«
¬
;
'S S S S
возрастающая функция;
возрастающая функция.
возрастающая функция, а это
[[ S
[
S
S
f
;
имеет один корень
.
S
.
;
[
@
имеет
ïðè
[
.
^
`
>
d
d
Практикум 9
213212 Задачи математического анализа
Ответ: при
S[S[
S
уравнения
имеют одинаковое количество решений (одно).
способ (графический)
II
[
1) Рассмотрим уравнение
[
, график
S
[
M
,
убывающая функция (так как
возрастающая).
, òî
[
[
Mo
.
[[
[
M
\[
[
of
ïðè
Пусть
M
Åñëè
M
[
S
M
. Ïðè [
Необходимо, чтобы график функции
[
график функции
M
.
[
è
[
[
прямая;
S
íà
M
[
[
f
.
M
пересекал
.
, ò. å.
!
S
S[S[
°
®
°
!
¯
S
существует единственное решение.
Md
°
®
°
¯
Значит, при
2) Уравнение
единственный корень, если:
à)
S
;
S
d
S
S
, значит
;
®
¯
[
d
S
!
имеет
(решение есть).
S
;
S
.
D
D
D
D
D
D
@
Тренировочная работа 9
q
D
D
D
W
D
D
1. При каких значениях параметра D угол между
касательными к графику кривой
проходящими через точки пересечения графика кривой
с осью абсцисс, равен
2. Сторона прямоугольника, лежащая на оси абсцисс,
равна D, концы же параллельной стороны принадлежат
параболе
метра
3. При каких значениях параметра
к графику кривой
точку
4. Вычислите наименьшую площадь цельной фигуры,
ограниченную графиком функции
[N
5. При каких значениях параметра
[[ N
6. Сколько корней имеет уравнение
в зависимости от значений параметра D?
7. Сколько корней имеет уравнение
в зависимости от значений параметра
площадь прямоугольника будет наибольшей?
$D, будут взаимно перпендикулярны?
I [[ N [ NN
, [N
?
\[ [
.
имеет решение?
. При каких значениях пара-
\[ [
и прямыми \
N уравнение
\[ D[D
касательные
, проходящие через
[[ D[
[[D
?
,
,
[[W
8. Сколько корней имеет уравнение
в зависимости от параметра
9. Сколько корней имеет уравнение
[D[D[D
параметра
10. Сколько корней имеет уравнение
DD
[[[
параметра
?
?
в зависимости от значения
[
?
в зависимости от значения
D
D
D
D
D
D
>
@
Тренировочная работа 9
219218 Задачи математического анализа
11. Сколько корней имеет уравнение
ORJ ORJ[[D
в зависимости от значения параметра D?
12. Сколько корней имеет уравнение
ORJ ORJ D[ D[
от значения параметра
в зависимости
?
13. Сколько корней имеет уравнение
ORJ ORJ ORJ [[ [D
в зависимости от значения параметра
14. При каких значениях параметра
[[[
N уравнение
NN
?
имеет
единственное решение?
15. Найдите корни функции
I[ [ [ N
если касательная к ней, проведенная через точку
N
параллельна прямой
\[
16. При каких значениях параметра
точкой минимума функции
17. При каких значениях параметра
FWJ FRVI[ [ [
DD
.
число 5 является
\[D [ D
график функции
касается прямой \
если абсцисса точки касания отрицательна?
18. Найдите все значения параметра
график функции
касается прямой
\[
DD
в точке с отрицательной ординатой.
, при которых
FRV FRVI[ [ [
,
[
,
?
,
19. При каких значениях параметра
[[D
°
®
S S
DUFFRV
D
°
¯
имеет единственное решение?
[
20. При каких значениях параметра D площадь фигуры,
ограниченной параболой
проведенной к ней в точке с абсциссой
[
ìûìè
, [
принимает наибольшее и наименьшее
система
I[ [ [
, касательной,
D
, è ïðÿ-
значения?