подгон 2018 (легендарный) / 1 курс-20241122T213915Z-001 / _4.2_ Матан / Ефимов Поспелов - Сборник задач ч
.2.pdf
230 Гл. 8. Дифференц. исчисление функций нескольких переменных
Исследовать особые точ:ки 1,ривых:
8 |
.240. |
х2 + у2 = х4 + у4• |
|
х2 + у4 = х6. |
||||
8.241. |
у2 (а2 + х2) = х2(а2 - х2). |
8.242. |
||||||
8 |
.243. |
у2 = (х - 1)3. |
|
8.244. |
(у - 2х2)2 = х5. |
|||
8 |
.245. |
4у2 = х5 + 5х4. |
8.246. |
у2 |
= ах2 + х3. |
|||
8 |
.247. |
у2 = 1 - е - х2 |
• |
8.248. |
у2 |
= 1 - е - х3 • |
||
8 |
.249* . у = |
х l / . |
8.250* . у = хх . |
|||||
1 + е |
х |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
8.251. Найти огибающую семейства прнмых у = ах + а2.
8.252. Найти огибающую семейства прнмых х cos а+у sin а = р
(р = const, р > О).
8.253. Найти огибающую семейства 01,ружностей х2+(у-С)2 =
= R2 (R = const). |
= 2рх + р2. |
|
8.254. |
Найти огибающую семейства парабол у2 |
|
8.255 |
. Найти огибающую семейства парабол у = 3а2 +2ах - х2. |
|
|
х2 |
у2 |
8.256. Найти огибающую семейства эллипсов а2 + (l _ а)2 = 1 |
||
(l = const). |
|
|
8.257. |
Найти огибающую семейства окружностей, проходящих |
|
через начало :координат и имеющих центр на параболе у2 = 4ах. 8.258. Исследовать характер дис:криминантных :кривых семей-
ства следующих линий (С - переменный параметр) : а) :кубических парабол у - 1 = (х - С)3;
б) полу:кубичес:ких парабол (у - С)2 = (х - С)3; в) парабол Нейля (у - 1)3 = (х - С)2;
г) строфоид (а - х)(у - С)2 = х2(а + х).
§ 4. Приближенные числа и действия над ;ними
1. Абсоmотная и относительная погре1шшсти. Пусть число а есть
приб.11ижение числа А. Например, А = v'зи а = 1,7. При а > А число а
называется приб.11ижением по избытку, при а < А - по недостатку.
Та:к, число 1,73 есть приближение .J3 по недостат:ку, а( число 1,74 - по избыт:ку. А бсо.11ютна.я погрешность приближения приближенного числа) а определяется равенством
д = \а - А\ .
Посноль:ку точное число А во многих случаях неизвестно, то неиз вестна и абсолютная погрешность д, одна:ко при этом может быть уна зана верхняя грань абсолютной погрешности. Наименьшая из верхних
§ 4. Приближенные числа и действия над ними |
235 |
8.290х . С какой точностью следует взять приближех нное значение угла 25° , чтобы найти значение sin с четырьмя верными знаками в узком смысле?
8.291. С каким числом верныхх знаков в широком смысле сле дует взятуь значение аргумента 2, чтобы получить значение функции = е х с точностью до 0,001?
8.292. С наким числом верных знанов должен быть известен
свободный член уравнения x2 -2x+lg 2 = О, чтобы получить корни этого уравнения с ·четырьмя верными знанами в узном смысле?
8.293. Требуется измерить с точностью в 1 % площадь боновой поверхности усеченного конуса, радиусы оснований ноторого 2 м и 1 м, а образующая 5 м. С каной точностью нужно для этого измерить радиусы и образующую и со сколышми знанами нужно взять число 7r?
Г л а в а 9
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
|
§ 1. Двойной интеграл |
|
|
|
|||
1. Свойства двойного интеграла и его вычисле1Ше в денартовых пря |
|||||||
моугольных ноординатах. |
Пусть фующия f(x, у) |
= f(P) |
определена |
||||
и непрерывна на замннутой ограниченной области G плосности |
Оху, |
||||||
а = {да1 , да2 , . . |
., Лап } |
- |
неноторое разбиение области G на элемен |
||||
тарные подобласти |
даk , |
|
|
|
|
даk , |
|
|
площади ноторых танже обозначим через |
|
|||||
а диаметры - через dk . |
|
Зафинсируем точ1ш Pk Е |
даk , k |
= 1, . . . , п . |
|||
Выражение |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
Sn = L f(Pk ) Лаk |
|
|
|
|
|
|
|
|
k==1 |
|
|
|
называется интегральной суммой для фуннции j(P) по области G. |
|||
Если существует предел Последовательности интегральных сумм Sп при |
|||
::;;::;;11 dk -+ О (при этом п -+ оо) и если этот предел не зависит ни |
|||
1maxk |
|
|
ни |
от способа разбиения области G на элементарные подобласти даk , |
|||
от выбора точен |
Pk |
Е даk , то он называется двойным интегралом |
от |
фун:кции f(x, у) |
по области G и обозначается через JJ f(x, у) dx dy. |
|
|
Та.ним образом, |
G |
|
|
!!G f(x, у) dx dy = maxlim 0 k==lt f(Pk)дak .
dk -+
Для двойного интеграла справедливы свойства линейности и аддитивно сти (см. задачу 9.1).
Вычисление двойного интеграла сводится н вычислению повторных |
||||||
интегралов следующим способом. Пусть область G (рис. 37) ограничена |
||||||
нривыми |
у = <р1 (х), у |
= <р2 (х) , х = |
а, |
х = |
Ь, причем всюду на |
[а, Ь] |
фуннции |
<р1 (х) и <р2 (х) |
непрерывны и <р1 |
(х) <р2(х). Тогда |
|
||
|
Jf f(x, |
Ь |
|
'1'2(х) |
f(x, у) dy, |
(1) |
|
у) dx dy = J dx J |
|||||
|
G |
а |
'1'1(х) |
|
|
|
