подгон 2018 (легендарный) / 1 курс-20241122T213915Z-001 / _4.2_ Матан / Ефимов Поспелов - Сборник задач ч
.2.pdf
156 |
Гл |
.
7.Интегральное исчисление функций одной переменной
§5. Не собсrвенные интегралы
1. |
Интегралы с беснонечными пределами. Если фушщин f(x) не- |
|||||||||||||||||||
прерывна при а х |
|
< +оо, то по определению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
+оо |
|
|
Ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! f(x) dx |
|
Ь--limt+ооJ f(x) dx. |
|
|
|
|
|
(1) |
|||||||
Если существует нонечный предел в правой части формулы (1), то |
||||||||||||||||||||
несобственный интеграл называетсн сход.ящимс.я, если этот предел не |
||||||||||||||||||||
существует, то - |
расход.ящимс.я. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> О есть |
|||||||
Геометричесни несобственный интеграл (1) в случае f(х) |
||||||||||||||||||||
площадь фигуры, ограниченной графином фуннции у |
= |
|
f(x), |
прнмой |
||||||||||||||||
х = а |
и осью Ох (асимптотой) . |
= |
|
ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
а |
|
f(x) dx. |
Далее, по опреде- |
||||||||
Аналогично uпределнетсн интеграл |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
лению |
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
+оо |
f(x) dx = |
|
|
-f |
+оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|||||||
|
|
- |
оо |
|
f(x) dx + |
|
j |
f(x) dx, |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где с, |
-оо < |
j |
|
|
-j |
|
|
|
|
|
|
интеграл |
|
в левой |
||||||
с |
< |
+оо, - произвольно, |
причем |
|
||||||||||||||||
части равенства |
(2) |
считаетсн сходнщимсн, если сходнтсн оба интеграла |
||||||||||||||||||
в правой части. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
с т и |
приведем тольно |
||||||||
П р и з н а н и |
с х о д и м о с т и и р а с х о д и м |
|||||||||||||||||||
длн интегралов вида |
(1). |
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1) Если F(x) - первообразнан длн f(x) и существует нонечный пре |
||||||||||||||||||||
|
F(x) |
= |
F |
|
oo), |
|
|
(1) |
сходитснс |
и равен |
|
|
||||||||
дел : t -lim- t + o o |
|
(++ оо то интеграл |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
f f(x) dx = F(+oo) - F(a); |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
если же x --limt+ooF(x) не существует, то интеграл (1) расходитсн. |
|
|
||||||||||||||||||
2) |
Пусть при а х < +оо |
О f(x) g(x). |
|
|
|
+оо |
|
|
||||||||||||
EcJIИ |
|
g(x) dx схо- |
||||||||||||||||||
дитсн, то с одитсн и |
+ оо |
|
|
+оо |
|
|
|
|
+оо |
|
|
|||||||||
а |
f(x) dx, причем |
|
f(x) dx |
|
fg(x) dx. Если |
|||||||||||||||
+ оо |
|
|
|
|
f |
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
||
f f(x) dx расходитсн, |
то расходитсн и |
j g(x) dx (п р и за |
н а н и е р а в- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
а а
н е н и н) .
§ 5.
Несобственные интегралы
157
3) |
Если при |
а |
х |
< |
+оо |
. j(x) > О, g(x) |
> О |
|
|
+ оо |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
и существует ионеч- |
|||||
ный предел x -limt+oo jg(x)(x) |
-:/; |
О' |
|
|
+= |
(x) dx и |
|
J g(x) dx |
|||||
то интегралы |
J f |
|
|||||||||||
сходятся |
или расходятся |
одновременно (п р ед е л ь н ы й |
|
п р и з н а R |
|||||||||
с р а в н е н и я). |
|
+оо |
f(х) |
|
|
+оо |
(по_следний |
||||||
4 Если сходится |
а |
|
dx, то сходится и |
f(х) dx |
|||||||||
интеграл) |
называется |
|
|
случае1 |
|
а |
|
|
а |
||||
jэтом1 |
абсолютно асходj.ящимс.я). |
||||||||||||
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П р и м е р <1 Имеем:
+оо J e-3"' dx =
о
1 |
+оо |
|
|
. Вычислить J |
е-зх dx. |
||
|
о |
|
|
|
Ь |
lim |
(- е-3 |
lim f e-3x dx = |
|||
|
о |
Ь-t+оо |
3 |
Ь-t+оо |
= 31 |
||
|
|
|
|
ь |
) |
" ' 1 |
|
О |
|
lim (1 - е-зь) = _1 • 1>
Ь-t+оо 3
На праитиие в иачестве интеграла, с иоторым производится сравне ние, обычно используются интегралы вида
|
|
! |
__!_ dx, |
а > О, |
а > О, |
|
|
|
|
+оо |
|
|
|
|
|
<1 |
При х -i +оо |
имеема |
х<> |
|
|
! xbl+ 1 |
dх. |
иоторые сходятся при а > 1 и расходятся при а 1. |
+оо |
|
|||||
|
П р и м е р 2. |
Исследовать на сходимость интеграл |
|
|
|||
х + 1
bl
х(1
+1
хз/2
/х)
"' xI1/2 |
· |
Таи IШR интеграл |
+оо |
dx |
расходится |
( |
а = 1/2 < 1), то |
и |
заданный |
интеграл таиже расходится/1 xI/2 . |
!> |
|
|
||||
