подгон 2018 (легендарный) / 1 курс-20241122T213915Z-001 / _4.2_ Матан / Ефимов Поспелов - Сборник задач ч

36

Гл. 5.

Введение в анализ

Если в точие х0 нарушено

хотя бы одно из условий а)-в), то х0

называется

точиой

разрыва

фуниции

у

= f(x) . При этом различают

следующие случаи:

но фуниция не определена в точие Хо или на-

а)

lim

f (x)

существует,

х--.хо

lim

фуниции.

.

В этом случае хо называется mо'Чкой

рушено условие

о

f (x)

= f(xo)

б)

х--.

х

устранимого разрыва

Если при этом существуют оба одно-

lim

f(x)

не существует.

сторонних предела

х

--lim. о+О f (x)

и

lim

f

(x

) (очевидно, не равные друг

х

х--.х

о-0

в) В остальных случаях

то

х0

называется mо'Чкой разрыва 1-го рода.

другу),х--.х

о

хо.

называется mо'Чкой разрыва 2-го рода.

5.378. Используя

логичесиую символш у, записать на язьше

<сс-6)>

следующие утверждения:

точ:ке хо Е

D;

f (x)

а)

фуниция

у =

с областью определения D непрерывна в

б)

фун:кция у = f (x) не является непрерывной в точ:Rе х0 Е D.

До:казать, что следующие фун:Rции непрерывны в :каждой точ:ке

их естественной области определения:

5.379. J (x) = xn ,

п

Е

N.

Используя формулу бинома Ньютона, получаем

дf (хо , дх)

(хо + дх)n - х

[>

С х -1 дх + С х -2 (дх)2 + . . . + (дх)n .

Отсюда lim

дf (х0 ,

дх) = О.

дх--.о

а ЕIR.

5.380. J (x) = а,

а '#

1 .

5.381. J (

x

)

loga х;

а > О,

=

=

J (x)

arcsin x.

=

= sin x .

5.382. J (x)

5.383.

=

Задана фун:кция J (x) .

При :ка:ком выборе параметров, входя­

щих в ее определение, J (x) будет непl?ерывной?

j (x)

=

{

х2 + х - 2

х

#

,

5.384.

х _

1

'

х =

l

f (х)

.

А,

1 .

5.385.

=

{

х -

1

2,

х

1 ,

ах2

-'

х

> 1 .

5.386· . f (x)

ах + 1 ,

x r /2,r

= { sш. х + Ь,

х > rr/2.

38

Гл. 5.

Введещrе в анализ

5.404. Доказать ,

что если у =

J (x)

-

непрерывная на

[а,

Ь]

функция, то она:

а) ограничена на [а , Ь] ;

б) достигает на [а, Ь]

своих верхней и нижней граней (т е о р е­

м а В е й е р ш т р а с с а) ;

(а' ,

Ь') С [а ,

в) принимает на любом интервале

Ь] все промежу­

точные значения между J (a') и J (b')

(т е о р е м а

К о ш и) .

5.405. Доказать ,

что если функция у

= J (x)

непрерывна на

[а, +оо) и существует конечный

lim

f (x) , то эта функция огра­

ничена на [а , +оо).

х +оо

5.406. Поназать, что функция

J (x)

=

sin

,

х = / = ,О

о,;

х = о,

принимает на любом

отрезке

{ [О, а] все промежуточные значения

между f (О) и f (a) ,

однако не является непрерывной на [О, а] .

5.407. Дшшзать, что всякий многочлен нечетной степени имеет

по меньшей мере один действительный корень.

5.408. На языке

«t:-б»

сформулировать утверждение: функция

непрерывной на этом множестве.

В качестве примера рассмотреть

следующие фуннции:

а) J (х) = 1 /х, D = (О, 1] ;

б)

f (x) = lg x,

D = (О, 10] ;

в)

f (x) =

•

-7Г

,

D = (О, 1] .

sш

х

что если функция у =

J (x) непрерывна на

5.409. Доназать ,

[а , +оо) и существует конечный

lim J (x) ,

то эта функция рав­

номерно непрерывна на [а , +оо).

х +оо

5.410. Показать , что неограниченная функция f (x) = х + sin x

равномерно непрерывна на всей оси -оо < х < +оо.

Следующие фующии исследовать на равномерную непрерыв­

ность на заданных множествах:

х

D = [- 1 ,

1] .

5.411 . J (х) = 4 - х

-2 ,

5.412. J (x) = l x,

D = (О, 1] .

5.413. J (x) = sшх х

,

D = (О, 1Г] .

-

1

D = (О,

1] .

5.414. J (x) = ех cos

- ,

х