подгон 2018 (легендарный) / 1 курс-20241122T213915Z-001 / _4.2_ Матан / Ефимов Поспелов - Сборник задач ч

§ 2. Дифференцирование сложных и неявных функций

199

8.110. Найти d3z, если z

=

еУ sin x.

8.111. Найти d3u,

если

и

=

х3 + у3 + z3 - Зхуz.

8.112. Найти d6u,

если

и =

ln (х + у + z).

8.113. Найти dmu, если

и =

еах+ьу+сz.

§ 2. Диф ференцироваmt:е сложных и неявных фуннций

1. Сложные фушщииодной и неснольних независимых пере:ме1mых.

Если

и = f(x1

, х2

,

,

Xn)

дифференцируеман фующин переменных

х1

, х2

, . . ., Xn,

ноторые сами нвлнютсн дифференцируемыми фующинми

независимой переменной t:

Xn = it'n(t),

-dt

tдх1 dt

дх2

dt

. . .

.'. + дхn dt

.,

<pr/(t))

вычи­

то производнан сложной фующии

и = /(<p1 (t), <p2

(t), . .

слнетсн по формуле

. • •

-

du

ди dx1

ди

dx2

ди dxn

(1)

= -- + -- + . -- .

Xi,

В

частности,

если

совпадает,

например,

с переменной

то

«пол­

нан»

производнан фующии

и

по

равна

du

ди

ди

dx2

ди

dxn

(2)

- = - +

-- +

. . . + -- .

dx1

дх1

дх2

dx

1

дхn

dx1

П р и м е р

1.

du

если и = xyz,

где х

= t

2

+ 1,

у =

1n t,

Найти dt

,

tgt.

Х1

z<J=По формуле (1) имеем

du

1

+ ху · sec2 t =

dt

= yz · 2t + xzt

(t2

+ l) tgt

+ (t2 + l) lntsec2 t. [>

= 2tlnttgt +

t

дz

dz

П р и м е р 2. Найти

-8х

и

х

, если z = у

х, где у = <р(х).

<J

-d

дz

По формуле (2) получим

Имеем дх = ух ln у.

[>

; = ух lп у + хух-l ·<р1

(х).

§ 2. Дифференцирование сложных и неявных функций

203

! (хо, Уо)

(5)

! (хо , Yoi i

! (хо , Уо)

при условии,

что

О, где Уо = у(хо),

f(xo ,

Уо)

=

О.

Производные высших пор11дков вычисл11ютс11 последовательным

дифференцированием формулы

(5).

П р и м е р 4.

Найти

dy

и

d2y

,

если

dx

dx2

1

+

ху - ln (еху

+

е-ху) = О.

у).

<J Обозначим левую часть данного уравнени11 через f(x,

Тогда

!

'

)

хеху

- хе-х

у

2хе-ху

'

(х

у

х -

----

-

еху + е-ху

еху + е-ху

У

По формуле (5)

получаем

dy

_

2

уе-ХУ

=

У

dx

2xe-xv

х

Дифференцируем вторично, учитыва11, что у есть фующи11 х:

d2y =

!!_

(- 1!_)

= _x(dy/dx) - у

= у - х(-у/х)

=

2у . [>

dx2

dx

х

1

, х2

,

. .

х2

Хщ

и)

=

х2

х2

ма11

Пусть уравнение F(x

.,

О, где F

дифференцируе-

функци11

переменных х1 ,

х2

,

.

. .,

Xn

,

и,

определ11ет и 11ак функцию

независимых переменных х1

,

х2 ,

·

-

. .

.,

Xn

Частные производные этой

не11вной фующии и = и(х

1 , х2 , . .

" Хп)

в

точке М0

(х? , xg , . . ., х ) вы­

числ11ютс11 по формулам

(

X0l

0

X0n

U

0)

FI

'

, . . .

'

,

1,

(6)

F(M0, u0) = о.

FI

Х2

0

i

О,

u

. . . , п

Xk

(

. .

. . .

,

u0

где

)

и

Х0р Х02,

Xn,

U0)

(k

=

2,

при

условии,

что

F (x? , xg ,

., х ,

)

0

и(М0)

и