подгон 2018 (легендарный) / 1 курс-20241122T213915Z-001 / _4.2_ Матан / Ефимов Поспелов - Сборник задач ч
.2.pdf
§ 2. Дифференциальные уравнения высших порядков |
311 |
10.264. Найти форму гибиой однородной нерастяжимой нити
сза:ирепленными ионцами, находящуюся в равновесии под дей
ствием силы тяжести, если линейная плотность нити= равна q (го ризонтальная проеиция силы натяжения нити Н const ) . Распо
ложитьа = нить таи, чтобы вершина иривой совпадала с точиой (а, О) ,
где H/qg.
10.265. Гибиая тяжелая однородная нерастяжимая нить в поло жении равновесия подвергается натяжению, пропорциональному переменной площади ее поперечного сечения. Найти форму нити, если линейная плотность нити равна q (горизонтальная прое:иция
силы натяжения нити Н = const) . Расположить нить таи, чтобы нривая проходила через начало иоординат и имела в ней горизон тальную иасательную. т
10.266. Тело массы движется прямолинейно под действием
постоянной силы F. Найти с:иорость движения тела и пройденный им путь нан фунюiии времени, если в начальный момент они оба равны нулю, а сопротивление среды пропорционально нвадрату с:иорости.
10.267* . Мяч массы 400 г падает с высоты 16,7 м без начальной с:иорости. Сопротивление воздуха пропорционально :ивадрату сио
рости мяча и равно 0,0048 Н при сноростй 1 м/с. Вычислить время |
||
падения и снорость мяча в ионце падения. Принять g = 10 м/с2. |
||
10.268. Тело массы т поднимается вертинально вверх с началь |
||
ной с:иоростью |
Полагая сопротивление воздуха пропорциональ |
|
ным нвадрату |
vсноростиo. |
тела (ноэф фициент пропорциональности |
k > О) , найти высоту подъема тела и снорость, с ноторой оно вер нется в исходное положение, а таиже время подъема и спусиа тела.
10.269* . Мяч массы 400 г брошен вверх со с:иоростью 20 м/с. Вычислить время подъема мяча и наибольшую высоту подъема, если сопротивление воздуха пропорционально нвадрату с:иорости мяча (:иоэффициент пропорциональности=k > О), причем оно равно
0,0048 Н при снорости 1 м/с. Принять g 10 м/с2 .
10.270. Натйти за:ион прямолинейного движения материальной точ:ии массы под действием оттал:иивающей силы, обратно про порциональной :иубу расстояния от точни до неподвижного центра (:иоэф фициент пропорциональности k > О). В начальный момент точна находится в поное и отстоит от цент тра на расстояние хо .
10.271. Материальная точ1 а массы движется прямолинейно н неподвижному центру, притягивающему ее с силой, обратно про порциональной -кубу расстояния от центра (ноэф фициент пропор циональности k > О) . Найти занон движения, если оно начинается с состояния по:иоя, ногда точна отстоит от центра на расстояние хо . Определить время, по истечении :иоторого точна достигнет центра.
312 Гл. 10. Дифференциальные уравнения
10.272. Ранета движется верти:кально вверх под действием силы отдачи от истечения газовт. Масса ра:кеты изменяетто ся в зависимо сти от времени по за:кону = morp(t), где = const (за:кон сго
рания тоnлива) . Относительная с:корость истечения газов посто янна и равна ио . Начальная с:корость ра:кеты у поверхности Земли
равна нулю. Найти высо у подъема ра:кеты :ка:к фун:кцию времени,
если сопротив.riение воздухат = не учитывается. Рассмотреть та:кже частный случай, :когда mo(l - at), и вычислить для этого случая, на :ка:кую высоту поднимается ра:кета через 10 с, 30 с и 50 с
при и0 = 2000 м/с и а = О,О1 с- 1 . Положить g = 9,8 м/с2 .
. 10.273. Определить, через с:коль:ко времени упадет на Землю тело, притягиваемое Землей по за:кону Ньютона (с ус1юренйем,
обратно пропорциональным :квадрату расстояния между ними) ,
если в начальный |
момент с:корость тела равна нулю, а расстоя |
|
ние его от центра |
Земли равно Н. |
Сопротивлением атмосферы |
пренебречь. Ус:корениеg. свободного падения на поверхности Земли постоянно и равно
Хл 10.274* .R3Тело, находящееся от центра Земли на расстоянии = 60,27 (что соответствует расстоянию от Луны до Земли) , падает на Землю из состояния по:коя под действием силы тяжести с ус:корением, обратно пропорциональным :квадрату его расстояния от центра Земли. Пренебрегая сопротивлением атмосферы, опре
делить, через с:коль:ко времени |
оно упадет на Землю. Принять |
R3 = 6,377 · 106 м, g = 9,8 м/с2 . |
|
10.275. Определить с:корость, с :которой метеор ударяется о Зем лю, если он падает с неограниченно большого расстояния из со стояния по:коя и если при его движении :к Земле ус:корение при
нимается обратно пропорциональным :квадратR3 у его расстояния от центра Земли. Принgять радиус Земли = 6377 :км, ус:корение
свободного падения = 9,8 м/с2 .
10.276. По оси Оуvв положительном направлении движется с по стоянной с:коростью точ:ка А (цель) . На плос:кости Оху движетсяv
точ:ка М (преследователь) с постоянной с:коростью и (и > ) та:к, что ве:ктор с:корости всегда направлен в точ:ку А. Найти трае:кто
рию точ:ки М (:кривую погони) , если в начальный момент времени
t |
= |
О точ:ка |
А |
находилась в начале :координат, а точ:ка |
М |
- |
на |
оси Ох на расстоянии а > О от цели. |
|
|
|
||||
|
|
10.277* . |
Бал:ка длины l, лежащая :концами на двух опорах, |
||||
находится подq.действием равномерно распределенной нагруз:ки ин тенсивности Найти уравнение изогнутой оси бал:ки и ее ма:к симальный прогиб, выбрав начало :координат в середине ненагру
женной бал:ки. l,
10.278* . Бал:ка длины заделанная правым :концом в стену, изгибается силой F, приложенной :к левому :концу, и равномерно
316 |
Гл. 10. Дифференциальные уравнения |
|
|
Раснрывая определитель, получим то |
самое уравнение (6) (прове |
||
рить!). |
Деля обе части уравнения (6) на |
получаем |
|
|
1 |
1 |
(7) |
|
у'" - -у" + у' - -у = о. |
||
Уравнение (7) и является ис1юмым линейным однородным дифференци |
|||||||||
альным уравнением. |
1> |
|
зависимость |
|
|
||||
Исследовать |
на |
линейную |
следующие системы |
||||||
фующий: |
|
|
же |
|
|||||
|
|
|
|
х, |
|
|
|
||
10 |
.286. х, ln |
|
|
. 10.287. |
sin 2x, |
sin x, |
cos x. |
||
10 |
.288. е-х , хе-х. |
х 10.289. х,х 2х, |
х2 . |
|
|||||
10.290. ех , хех , х2ех . |
10.291 . sin x, |
cos x, |
sin 2x . |
||||||
10 |
.292. cl1 x, |
sl1 x. |
10.293. |
ex+ I . |
|
|
|||
10.294. х, О, |
;ех.с. . |
|
10.295. |
еХ1 , , sin x, cos 2х. |
|||||
Знан фундаментальную систему решений линейного однород-
ного дифференциального уравнения, составить это уравнение:
10.296. 1 , е-х . |
10.297. |
е2х cos х, е2х sin х. |
||||
10.298 |
. х3 , х4 . |
10.299. |
1 , |
х, |
ех . |
COS Х. |
10.302 |
. езх ' е5х . |
1 0,303. |
е2х |
, |
SI.П X, |
|
10.300. 1 , siн x, cos x. |
10.301. |
2х, |
х - 2, |
ех + 1 . |
||
10.304** . Дш азать , что если У1 (х), У2 (х ), . . . , Уп (х) - решенинп
линейного однородного диф ференциальногоа,уравнения порядна с непрерывными в неиотором интервале ( Ь) ноэф фициентами
и вронсниан W (x) |
этой системы равен нуJ1ю при хо |
Е |
(а, |
Ь), то |
|
W (х) = О при а < |
х < Ь. |
|
|
||
10.305* . Дана система фуннций |
(х) , У2 (х), . . . , Уп х), причем |
||||
на ненотором интервале вронс:киан |
YWl (x) этой системы(отличен от |
||||
нулн. Составить линейное однородное дифференциальное уравне ние, для 1юторого эта система является фундаментальной системой решений.
10.306. Знан фундаментальную систему решений ех , cos x, sin x линейного однородного дифференциального уравнения, найти его частное решение, удовлетворнющее начальным условинм: у(О) =
= 3, у'(О) = 4, у" (О) = - 1 .
10.307. Знан фундаментальную систему решений ех , е2х , е3х линейного однородного дифференциального уравнения, найти его
частное решение, удовлетворяющее начаJ1ьным условинм: у (О) =
= 6, у' (О) = 14, у" (О) = 36.
