Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1323 вуза, 5413 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
ИВТ (советую зайти в "Несортированное")rnПИН МАГА Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный исследовательский университет «МИЭТ»
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

подгон 2018 (легендарный) / 1 курс-20241122T213915Z-001 / _4.2_ Матан / Ефимов Поспелов - Сборник задач ч

.2.pdf
Скачиваний:
13
Добавлен:
23.11.2024
Размер:
45.72 Mб
Скачать
☆

 

 

§ 4. Элементы теории устойчивости

349

Находим D1

= 1, D2 = О, В1 = О, В2 = 3/2, А1 = - 1/2, А2 = 1/2.

Следовательно,

 

--1 t2

+

 

 

 

 

 

 

 

1

з

 

 

 

 

X(t) = t

2

 

t,

 

 

 

1

 

3

е

 

 

 

(

 

 

 

 

 

 

-2 t2 +

-2 t)

 

 

 

и ис.комое общее решение запишетсн в виде

Найти решения следующих систем уравнений:

10.441

.

х = Зх - 2у + t,

у = Зх - 4у.

10.442

.

х = х - у, у = х + у + et.

10.443

.

х = 5х - Зу + te2t, iJ = Зх - у + e3t.

10.444.

х = х + у - cos t,

iJ = -2х - у + sin t + cos t.

10.445

. x = y + tg2 t - 1,

i J =-x + tg t.

10.446

* .

х

= 2х + Зу, ii = 4х - 2у.

10.447* .

Вещество А разлагается на два вещества Р и Q. С1ю

рость образования .каждого из них пропорциональна массе нераз­

ложившегося вещества А. Найти за.коны измененин масс х и у

веществ Р и Q в зависимости от времени t, если через час после

 

 

 

 

а

За

 

 

начала процесса разложения х = S,

у = S, а

 

первоначальная

масса вещества А.

 

·

 

 

О

10.448* . Материальная точка массы т притягивается центром

 

с сило

,

пропорционально

 

 

-

 

из точки А на расстоянии а от центра с начальной сноростью vo ,

перпендинулярной .к отрезну ОА.

Найти траенторию движения.

§ 4. Элементы теории устойчивости

 

1 . Основные понятия. Пусть задана нормальнан система дифферен­

циальных уравнений

 

 

 

 

 

X1 (t)

= f1 (t, Х1

, Х2,

· · ·

Хп),

(1)

±2(t)

= f2(t, Х1

, Х2,

· · ·

, Хп),

 

=

 

 

,, Хп)

 

Xn(t)

fп(t, Х1 , Х2 , . . .

 

350

 

 

 

 

Гл. 10. Дифференциальные уравнения

 

 

с начальными условиями в точне t0.

Решение Xo(t) = (<p1 (t),

. . .,

<f?n(t)) т

системы (1) называется

устойчивым по Л.япунову,

если для

любого

Е; >

О

найдется

таное

б(Е:) >

О, что для веяного

решения

X(t) =

= (x1

(t), . . ., Xn

(t)) т той же системы,

значения ноторого в точне t0 удо­

влетворяют неравенствам

 

 

 

 

i = 1 , 2,

 

 

 

(2)

 

 

 

lxi(to) - <p;(to)I

< б(Е:),

 

 

 

 

для всех t > t0

справедливы неравенства

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

lxi(t) - Ч?i(t)I

< Е;,

i = 1 , 2,

 

 

 

(3)

 

 

-limt+oolxi(t) - <f?i

(t)I = О,

i = 1 , .2,. . , п.

 

 

 

 

Если же при сноль угодно малом

б

> О хотя бы для одного реше­

ния X(t) неравенства (3)

не выполняются, то решение X0(t)

называется

неу

стойчивым.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. . . ,

п,

(2)

Если решение X0(t) не тольно устойчиво, но, нроме того,

при условии

удовлетворяет соотношению

 

 

 

 

 

 

 

то это решение называется асимптотически устойчивым.

 

 

 

П р и м е р 1 .

Исследовать на устойчивость решение дифференциаль­

xo(to) = Со.

 

х

= ах

(а

 

JR),

определяемое начальным условием

ного уравнения

 

 

 

 

<J Если а =1 О, то решение имеет вид

 

 

. . .

, п,

 

 

Пусть x(t) = Cea(t-to) удовлетворяющее условию

lx(t) - Xo(t)I = ICea(t

xo(t) = Coea(t-to) .

- произвольное решение этого уравнения IC - Col < б = Е;. Тогда при а < О получаем

-to) - Coea(t-to) I = ea(t-to) IC - Col < Е: ,

,

отнуда

 

lim

ea(t-to) = О,

lim

lx(t) - xo(t)I = IC - Col

t-t+oo

 

t-t+oo

 

т. е. решение асимптотичесни устойчиво. При а > О

lx(t) - xo(t)I = ea(t-to) IC - Col

может быть сноль угодно большим числом при ·достаточно больших t. Значит, при а > О решение неустойчиво.

Если а = О, то решение имеет вид xo(t) = С0.

§ 4. Элементы теории устойчивости

Для вся:кого решения x(t) = С с условием IC - Col jx(t) - xo(t)I = IC - Col < е.

351

< 6 = е имеем

Но

lim lx(t) - xo(t)I = IC - Col =/:- О, t - t + o o

а потому решение устойчиво, но не асимптотичес:ки устойчиво. t>

Исследование на

устойчивость решения X0(t) системы (1) может

быть сведено

исспедоnанию на устойчивость тривиnльнGго (нулевого)

10.451.

i:х

н= х -+

у, у = х - у; х(О)

= у(О) = О.

 

решения -

то·ч:ки поко.я неноторой системы, аналогичной системе (1)

(см. задачу 10.454) .

 

 

 

 

 

Исследовать на устойчивость решения следующих уравнений

и систем уравнений:

 

 

 

 

10.449.

i:

= t(x - 1 ) ,

х (О) = 1 .

 

 

 

10.450.

i:

= t

1 , х (О) = - 1 .

 

 

 

10.452.

= -2х - Зу, у = х + у;

х

(О) = у (О)

= О.

10.453.

х

= о:х - у,

у = о:у - z,

z

= az -- х;

х (О) = у(О) =

= z (O) = О,

 

а Е IR.

 

 

 

 

 

10.454* . Написать систему дифференциальных уравнений, ис­ следование на устойчивость точви повоя :которой равносю1ьно

исследованию на устойчивость решения X0 (t) системы ( 1 ) . 10.455. СформуJrировать определения устойчивости, асимпто­

тичесвой устойчивости и неустойчивости для точви повон системы

диф ференциальных уравнений.

 

2. Простейпше тш1ы точен поноя. Для исследованин на устойчивость

точ:ки по1:юn системы двух линейных однородных дифференциальных

уравнений с постоянными ноэффициентами

 

х =

аz11 х

+ а1

2У,

(4)

fJ

 

+

az

2

Y,

 

 

= a 1X

 

 

 

надо составить хара:ктеристическое уравнение

и найти его корни ,\1 и Л2 • В табл. 4норней.1 риведен,\1, Л2класеифинациn точен

покоя системы (4) в зависимости от харс.::ктеристического уравненин.

352

Гл. 10. Дифференциальные уравненИя

 

I\орни Л1

, Л2

 

 

 

Действитель-

Л1

< О

Л

=/= Л2

Л2

< О,

ные:

ЛЛ2

> О,

 

 

 

> О,

 

 

 

> О

 

+ i{З,

ЛЛ21

< О

Л1

Q

 

о

 

Номпле11сные:

<

 

,

Л2

= а - i{З

{ 3 = / =

 

 

 

 

о

 

 

 

{3Q

=/=>

о,

 

 

о

 

Характер точ1ш покоя

у,тuйчи•ый

*

 

узел

 

:;у; тийчио ы..,.

Т а б л и ц а 4 . 1

Устойчивость точки покоя

Асимптотически устойчива

Неустойчива

Седло

 

 

Устой'Ч.ивый

фокус

(®)

фику'

 

(®)

Неустой'Ч.ивый

Неустойчива

Асимптотически устойчива

Неустойчива

 

 

{ 3

=

тиДействитР2 :

 

=

.ш.-

Q

 

Л <

ный, 11ратнос-

Л1 = Л2 = Л

Л >

/0,= о

О

О

Центр

@J

Устой'Ч.ивый узел

~* Неустойчивый узел

Устойчива

Асимптотически устойчива

Неустойчива

;t

*

354

Гл. 10. Дифференциальные уравнения

из :корней хараптеристичес:кого уравненин имеет положительную действительную часть, то точ:ка по:кон неустойчива.

Использун результат задачи 10.465, исследовать на устойчи­

вость точ:ку по:кон :каждой из следующих-:-Х систем:

10.466. х = 2х, у = Зх + 2у, z = - у - z. 10.467. х = - 2х - у, iJ = х - 2у, z = х + Зу - z.

3. Метод фующий Ляпунова. Этот метод в применении :к автономной системе

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5)

где

fi

(O, . . .,

О)

=

О, i = 1,

 

2,

 

. . .,

п ,

состоит в непосредственном иссле­

довании устойчивости ее точ:ки пшюя при помощи подходящим образом

подобранной фу·н:ки,u.и Л.япунова V(x1 , . .

. ,

Хп).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Верны следующие теоремы Ляпунова:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о р е м а

1

 

об устойчивости .

Если существует дифферени,ируе­

ма.яТфующие .я V(x(1

, . .

 

 

удовлетвор)

.яюща.я в окрестности на'Чала

координат следуюш,. им услови)

.ям:

 

 

·

 

 

 

 

 

 

= . . . =

 

 

= О;

 

а)

V(x1 ,

. п. .,

дV)

О, при•tем V = О лишь при

Х 1

Xn

 

 

 

 

 

 

 

 

Х

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

dV

=

 

L -8

fi(X1 , .

.

.,

Xn)

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=I

Xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то точка поко.я системы (5) устойчива.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

2

 

(

об асимптотичес:кой устойчивости .

Если существу­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

функи,и.я

 

V

(x1 ,

. . ., Хп

 

,

удовлетвор)

.яюща.я в

ет дифферени,ируема.я, хп

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

окрестности на•tала координат следующим услови) .ям:

 

 

 

 

а

)

':'(х1 ,

. .

.,

х

п) О, при•tем V = О лишь при

Х 1

= . . . = Xn = О,

 

 

dV

=

п

дV

 

 

 

 

.

 

 

 

)

 

 

 

 

при•

 

ем

dV

= О

лишь при

 

б)

dt

iL:=l

-8Xi

f;(x1

, .

., Х

п

О,

 

dt

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

Х 1

=

. . . =

Xn

= 0 ,

системы (5) асимптоти•1,ески устоu'tива.

 

 

 

то

то'tка поко.я

 

 

 

 

 

 

о р е м а 3

 

о неустойчивости .

Если существует дифферени,иру­

ема.Тя фе унки,и.я V(x(1 ,

.

. ., хн),

удовлетвор)

.яюща.я в окрестности на'tала

координат

услови.я.м:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

·

 

а)

V(O,

. . .

, О) = О и сколь угодно близко от на'tала координат

имеютс.я то

1Lки,

в которых V(x1 , . . ., х11) > О;

 

dV

 

 

 

 

 

б)

dV

 

 

 

п

дV

 

 

 

.

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3;!

dt

Xn

 

iL:=1

дXi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

=

. . . =

= 0,

 

 

 

,

 

 

. ., Хп

 

о, пpи1LeJ.t

 

 

= о

лишь при

 

 

 

-

=

 

 

-f;(x1

 

 

 

 

 

то то'Чка поко.я системы (5)

ueycmou•iuвa.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 4. Элементы теории устойчивости

 

 

 

355

П р и м е р 3.

С помощью фующии Ляпунова исследовать на устойчи­

вость точ:ку по:коя системы

 

± = -х + у,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у = -2у3 - х.

 

 

 

 

 

 

 

V

<J В :качестве фун:кции Ляпунова возьмем V = х2

+ у2.

Тогда

dt =

= 2х(-х + у) + 2у(-2у3 - х) = -2(х2 + 2у4), и фун:кция V вместе с

V

 

 

 

 

 

 

 

Значит, точ:ка по:коя системы

dt удовлетворяет условиям теоремы 2.

асимптотичес:ки устойчива.

1>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р и м е р

4.

Исследовать на устойчивость точ:ку по:коя системы

 

 

 

 

х

= х(2 + cosx),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

iJ

= -у.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<J Возьмем фун:кцию V(x, у) = х2 - у2•

 

 

 

V

 

 

 

 

Тогда dt = 2х2(2 + cosx) +

+ 2у2 = 2(2х2

+ у2 + х2 cos х)

= 2

х2 + 2х2 cos2

 

+ у2

 

> О всюду,

:кроме начала

ноординат.

:Кроме того( , с:коль

угодно близ:ко :к

началу

 

 

 

 

 

 

i

 

)

 

 

ноординат найдутся точ:ки, в :которых V >

О

(например, вдоль прямой

у = О V = х2

> О). Следовательно, выполнены условия теоремы 3, и

точ:ка по:коя неустойчива. 1>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В про­

Общего метода построения фун:кций Ляпунова не существует.

стейших случаях ее следует ис:кать в виде:

V = ах2

+Ьу2, V = ах4 + Ьу4,

V = ах2 + Ьу4

, подбирая надлежащим образом постоянные а > О и Ь > О.

П р и м е р

5.

Исследовать на устойчивость точ:ку по:коя системы

 

 

 

х = -х + 1

у + 3ху

3,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у. = -х - -у - 2

х2у2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<J Фун:кцию Ляпунова будем ис:кать в виде V = ах2

+ Ьу2,

 

а > О,

Ь > О.

Тогда имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

: = 2ах

(-х + у + 3ху3) + 2Ьу (-х - - 2х2у2) =

 

 

 

 

 

 

 

= -

(2ах2 + Ьу2)

+ (ху + 2х2у3)(3а - 2Ь).

Полагая Ь

=

3

 

что

dV

= -а(2х2

+ у2)

 

О при

вся:ком

-а, получим,

-d

 

 

 

2

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а > О. Из теоремы 2 выте:кает, что точ:ка по:коя системы асимптотичес1ш

устойчива.

1>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

356

Гл. 10. Дифференциальные уравнения

Исследовать на устойчивость точ1ш повон следующих систем:

10.468.

i:

= -х - у - хз - у2' у = х - у + ху.

10.469. i:

у + хз,

iJ = -х + уз.

10.470.

i:

= ху4, у

= -х4у.

10.47i.

i:

= -у + х5, iJ = х + у5.

10.472.

 

 

 

х

5

,

у = -2х - 2хзу -

 

 

 

i: = у + х2у2 - 4

 

2уз

10.473. i: = -2х + 4ху2,

у = у + 2х2у.

 

 

 

4. Устойчивость по первому·11рибJШжеюnо. Предположим, что правые

части системы (5),

т. е. фующии f;(x1 , . . " хп),

i = 1, 2, .." п, диффе­

ренцируемы в начале ноординат достаточное число раз.

Разложим их по

формуле Тейлора в онрестности начала ноординат:

 

 

 

f;(x1

, . . ., Хп) = l : a;j Xj + F;(x1 ,

. . " Хп),

где a;j =

 

 

 

 

j = l

 

 

 

 

 

дf;(О, . . " О)

, а F; - члены второго пор11дна малости относи-

1 ,

дХj

 

тельно х

. . " Хп-

Тогда исходна11 система (5)

может быть записана в

виде

 

 

 

п

 

"

 

 

 

 

 

 

 

 

±1

= l : a1 j Xj + F1 (x1 , " .

, Хп),

 

 

 

 

Хп

j = l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= L anj Xj + Fп(Х1 , . .

. ,

Хп).

 

 

 

 

 

j = l

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим систему

 

 

 

i = 1, 2,

 

 

, п,

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

. .

 

 

 

 

Х; = L a;j Xj ,

.

(6)

 

 

 

 

j = l

 

 

 

 

 

 

 

называемую системой уравнений первого приближени.я дл11 системы (5). Справедливо следующее утверждение: если все норни харантеристи­ чесного уравнени11 системы (6) имеют отрицательные действительные части, то точна поно11 системы (6) , а танже исходной системы (5) асимп­ тотичесни устойчива; если хот11 бы один из норней харантеристичесного уравнени11 системы (6) имеет положительную действительную часть, то

точна поно11 системы (6) (и системы (5)) неустойчива.

Говор11т, что в этих случа11х возможно исследование системы (5) на

устой•tивость по первому приближению. В остальных случа11х таное

исследование, вообще говор11, невозможно, тан нан начинает сназыватьс11 вли11ние членов 2-го пор11дна малости.

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ

Глава 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.1. Приближение с недостатиом

0,1 ;

0,10;

0,101.

 

Приближение с

избытиом:

 

0,2; 0,11 ;

0,102.

5.2. а)

11

б)

901

;

в)

2183

.

5.11.

log

 

 

1

 

 

 

9;

 

 

 

 

 

1/2

3 >

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y

 

 

 

 

 

 

300

 

 

 

1

9800

 

 

 

 

 

 

 

 

}·

 

-

 

(

 

121.

 

(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{ ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

 

 

 

 

(

 

> log1;3

 

5.12.

 

Y

g

t

=

 

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.13. log10g3 2

 

1 . 5.18.

 

 

 

 

 

 

 

5.19. { - 1 ,

 

О } . 5J20.

u

5.21. {О,t2}.

.

 

 

5.22.

 

- о о , 2) .

 

5.23.

 

- о о , 1)

 

у

 

 

 

 

 

 

+

оо ) .

 

 

5

-

(3,JiЗ4) .

 

5.25.

5 -

Ji7,5

+

+

/5).

 

 

 

 

 

 

 

[3,

 

 

5.24.

 

 

[1 -/5

 

- 1

 

/5

) .

 

 

 

 

 

5. 26.

( -о о ,

 

 

 

2

)

 

u

 

(

 

2

 

,

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

5.27.

(- о о ,

 

 

 

 

5.28.

а)

{ 1 , 2} С { 1 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

- 1)

.

 

2, { 1 ,

 

2,

3}}

о

 

 

 

 

б)

 

обе записи

верны.

 

 

 

5.29.

А

=

 

 

{О, 1 , 2} .

 

 

 

 

5.30. А = { 1 } .

5.31. А = { 1 ,

2,

3,

4} .

5.32. А =

 

 

 

 

 

= { -2, - 1 ,

О,

1,

2} .

5.33. А = { 1 ,

2, 3} .

 

5.34. А =

Рис. 5 1

 

 

= {rr/2, rr, 3rr/2,

 

2rr} .

5.35. См. рис. 51 .

 

 

5.36. См.

рис. 52 (граница заштрихованной области не принадлежит множеству).

5.37. См. рис. 53х. у 5.38. См.

рис. 54 (штрихован линину

 

 

не принадлежит

 

 

1

 

 

х

-1

о

 

 

 

х

 

 

-2

 

 

 

 

Рис. 52

 

Рис. 53

 

множеству) . 5.39. См. рис. 55 (граница заштрихованной области не при­ надлежит множеству). 5.40. Точиа (2, 2) . 5.41. См. рис. 56. 5.42. См.

рис. 57 (граница заштрихованной области не принадлежит множеству).

Соседние файлы в папке _4.2_ Матан
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности