подгон 2018 (легендарный) / 1 курс-20241122T213915Z-001 / _4.2_ Матан / Ефимов Поспелов - Сборник задач ч

§ 2. Дифференциальные уравнения высших порядков

З19

= - 41 ех является частным

31 е2х

частным решением уравнения у11 - 2у' - Зу = е2х, найти общее решение

уравнения

у11 - 2у' - Зу = ех + е2х.

·

<J

Согласно принципу суперпози- 1u.ии

1

2

-

нения является фующия у = - 4ех-

3е

х.

щегu линейного одн

о

родного уравнения

фующиА.у0

С1е3х

+с2е -х

естr..

(см. задачу 10.282).

По формуле (9)

общее решение данного уравнения

имеет вид

4

3

!>

у = С'1езх + С2е-х -

-ех - -е2х.

10.298,

написать

общее

решение уравнения х у" - 6ху' + 12у =

Зх, предварительно убе­

нения.

2

=

решение уравнения у111 - 2у11 + у' - 2у = 10е3

х , предварительно

убедившись в том, что фун:кция е3х

есть одно из решений этого

уравнения.

-

= х образуют

10.310. Проверив, что фун:кции У1 (х) = ех и v2 (x)

ctg x

·

у" + 2у(' + (22 tg x

+ ctg x)y = cos2 х .

--

х

'

--х - 1 у

+

фундаментальную систему решений уравнении у"

1

+ х -

--

1)2.

+

5у

fi2(x)

+ у = (х

=

cos :.r;

и У2 (х)

=

x cos x

о

б 10.311. Проверив, что фун:кции Y1(:z:)

+2 tg x · у'

+ 2 tg х + 1)у = О, найти обшее решение уравнения

10.312. Проверив, что фушщия 1J1 (x)

=

5:z: + 6 является част­

ным решением уравнения у" - 6у'

= 25х, а фун:кции

=

=

е

2

х -

е

уравне

я

у"

'

5

у е

Зе2х,

-

частным реш

нием

ни

6у

+

найти общее решение уравнения у" - 6у

'

(см.

+ З

2

х

(

см.

+ 5у = 25х

задачу 10.28 1 ) .

10.313. Проверив, что фун:кция 11'1 (х) =

являетr.я частным

111

'

кция

-

-

решением уравнения у

=

=

=

ех

=

sin 2х

+ у

ех, а фун:

частным решением уравнения у'!' +

у'

6 cos1722{хх),

найти общее

решен:Ие уравнения у111

+ z/

ех + 6 cos 2x

-

задачу 10.

=

300) .

320

10.

5.

ЛШiейные однородные уравненил

с

постояю1ыми

ноэфф1ЩИен­

тами.

заменой производных

k

= О, 1, . .

)

исномой фунн­

где а;

(i

= 1,

<п)

(n-l)

'

2, . . ., п)

действительнь1е постоянные.

(12)

ниFI

(

12)

:

у

+ a1y

+ .

. . +

ап

-

1

У

+ апу

=

о,

-

Уравнение

(13)

полученное

y(k)

(

,

п

цииу

стспею1(ми12).>.k ,

называетс11 характерисmи'Ческим,\ уравнением дл11

ра

нени11

r

Каждому

действительному

норню

уравнени11

(13)

нратности

соответствуют

r

линейно независимых

решений уравне­

е>.х'

ХС>.х' .

.

'

Xr-le>.x '

s пар линейно независмых решений:

.

в

е"'х cos{Jx,

хе"'х cos {Зх, . .

'

х•-

1

е"'х cos {Зх,

е"'х sin {Зх,

хе"'х sin {Зх, . .

х•-

1

ео:х sin{Jx.

тельных

орней

0:1

+

{J1 , а:1 - .{J1 ,

, а:1. +.,

rk

0:

1 -

сопрFiжснных

норней

. . .,

Лk нратностей r1 , .

и l

нратностей

а

. ., s1

(1·1

Л1

,

пар номпленсно

1

,

+ . . . +rk +2s1i

+ . . . +2s1i

п• ).

,.

то общееif31,

решениеif31 уравнения

s

запишетс11 в виде

=

(

12)

++Pk. .(x)e. + >.•(Qx1(x) cosf31x. . '

+ R1(x)

(14)

=

(x)e>.ix

+ . . .

у (х )

Р1

+

(Q1 (х) cosf31x +

sin f31x)eщx,

+

R1

(x) sin /11x)e°'1x

k,

а

где Pv(x)

- произвольный многочлен степени rv

- 1,

v = 1, . . .,

и

- произвольные многочлены степени s

-

1,

µ = 1, .

. .,

l.

Q1,(.Пx)р иRµм е(рx)

14.

у" + Зу' + 2у = О.

= О имеет норни ,\1

= -1,

<J Харантеристичесное уравнение >.2

+ ЗЛ + 2

Л2

=

-2.

Запишем фундаментальную систему решений

У1

= е-х

,

У2

=

ет

е-2х .

Следовательно, общее решение имеет вид

у = С1

е-х +С2е-2х.

=

П р и м е р

15.

µ

1>

у" + 2у' + 5у = о.

норни >.1, 2

=

<J Харантеристичесное уравнение

,\2

+ 2,\ + 5 = О имеет

=

-1 ± 2i.

Следовательно, фующии у1

= е-х cos2x,

У2

= е-х sin 2x

для f(х) = fi (х) или в виде

(17)

для f(x) = f2

(x).

Dv,

Bv и Cv - неопределенные :коэффициенты,

1n = max(m1

, m2)Здесь.

Если же Л или а ± i{J совпадают с некоторым :корнем уравнения (13)

Rратности r (случай резонанса) , то выражения в правой части (16) или

(17) следует домножить

на xr, т. е. исRать решение соответственно в

виде

= xr(Doxm + . . . + Dmk\x

(18)

у(х)

для f(x) = /1(х) или

у(х) = xr ((Boxiii+.. . + Вт) cos {Jx + (С0х'1' + . . .

+ Ст) sinfJx)e"x

для f(x) = f2

(x).

(19)

Найти общее решение уравнения

П р и м е р

19.

у" - Зу' + 2у = (х2 + х)е3х.

<J ХараRтеристичесRое уравнение соответствующего однородного урав­

нения >.2 - ЗЛ + 2 =

О

имеет норни Л1 = 1,

Л2

=

2.

Следовательно,

у1

= ех,

У2 = е2х

,

а об­

фундаментальная система решений имеет вид

ех + С2е2х.

щее решение однородного уравнения есть

у0(х) = С1

Для нахождения частного решения неоднородного уравнения вос­

3

не

является норнем харантеристичесного уравнения, то частное решение бу­

дем иснать в виде

у

= (D0

x2

+ D

1

x + D2)e

3

x

.

Найдя производные

у

"

',

у

и подставив у, у' и у"

в исходное уравнение, получим (после сонращения

на еах)

+ 2D2) :::х2 + х.

Сравнивая ноэффициенты обеих частей этого тождества, получим си­

стему уравнений для определения неизвестных D0, D1

, D2:

2Do = 1,

6Do + 2D1 = 1,

отиуда D0 = 1/2,

2Do + ЗD1 + 2D2 = О,

D1 = -1, D2 = 1.

следовательно,

Итан,

у =

х2 - х + 1

езх =

(х2 - 2х + 2)е3х,

общее

У = (Уо

+ у = С1е

х)+ С2е2х

+ (х2 - 2х + 2)еи3,х. 1>

решение уравнения имеет вид

П р и м е р 20. Найти частное решение уравнения

у" + 4у = 4(sin 2x + cos 2x),

1, 2

= О ±

<J Харантеристичес1юе уравнение Л2

+ 4 = О имеет .корни Л

± 2i.

Общее решение соответствующего однородного уравнения есть

Уо = С1

Частное решение неоднородного уравнения будем иснать в виде у =

= х(В cos 2х + С sin 2х),

тан на.к О ± 2i

норни харантеристичесного

уравнение, получим -4В sin 2х +у',4Су"cos2х

= 4 sin 2ух,

+у',4уcos"

2

отнуда

уравнения нратности

Найдя

и -

х,

В = -1, С = 1 и, следовательно,

Общее решение будет

у= х(sin 2х - cos 2х).

Для нахождения

С1

и С2 воспользуемся начальными условиями,

предварительно продифференцировав общее решение:

;<J Харантеристичесное уравнение Л2

- 4Л + 4 = О имеет двунратный

норень Л = 2.

Общее решение соответствующего однородного уравнения

есть Уо = (С1

+ С2

х)е2

"'.

fj

= х2

(D0x + D1)е2"'

,

данного уравнения

будем иснать

в

виде

=

Частное

решение

тан нан поназатель энспоненты в правой части урав­

нения совпадает с двунратным норнем харантеристичесного уравнения.

fj",подставив fj,

fj' и fj" в исходное

х)

D0 = 1/6, D1 = О.

уравнение, сонратив на

е

и сравнив ноэффициенты

при одинановых степенях

находим

Следовательно,

у =

1

х3е

2

"',

а общее решение принимает вид

6

fj

(

)

е2"'.

[>

У = Уо

+

= (С1 + С2х)е

2"' + х3е2"' =

с1 + С2х +

х3

6

6

10.346.

у" - 8у1 + 16у = (1 - х)е4х .

10.347.

у" + 16у = sin (4х + а) (а = const).