подгон 2018 (легендарный) / 1 курс-20241122T213915Z-001 / _4.2_ Матан / Ефимов Поспелов - Сборник задач ч
.2.pdf
290 |
|
|
|
Гл. 10. |
Дифференциальные уравнения |
|
|||||||||
Другой метод отысианин фуниции и(х, у) состоит в вычислении .ири |
|||||||||||||||
|
(х, у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
волинейного интеграла 2-го рода: |
|
|
|
|
|
||||||||||
и(х, у) = |
(ххо, Уо) |
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
у |
|
|
||
Хо |
J ) Р(х, |
у) dx + Q(x, у) dy = |
Уо |
|
Хо |
||||||||||
|
|
|
Уа) |
|
|
Уо |
|
|
|
|
|
||||
= J Р(х, |
dx + J Q(x, у)dy = |
J Q(xo, у) dy + J Р(х, у) dx, |
|||||||||||||
где точки |
М0(х0, |
у0 |
) |
и |
|
|
у) |
)и |
|
Q(x, у |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
J11(x, у |
|
путь интегрированин лежат в области |
||||||||
непрерывности фун.иций |
Р(х, |
|
и |
|
) и их частных производных, |
||||||||||
щщчем |
|
|
у0 |
- не:которан фиисированнан точ |
.иа. |
х |
|||||||||
П р иМм0( |
хр0,12. |
)Решить уравнение |
|
||||||||||||
|
с |
|
|
|
|
|
'1Lх dx + (у3 |
|
- = - уз + lnx) = -. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ lnx) dy = О, |
|
|
||||||
предварительно убедившись, что это есть уравнение в полных диффе |
||||||||||
ренциалах. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<З Проверим условие (16): |
|
|
ах |
дх |
|
х |
||||
ау |
|
а |
|
('1L) - |
|
|
|
|||
ар |
- |
|
х |
;1 |
• |
aQ |
а |
( |
1 |
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
||
Условие (16) выполнено, следовательно, заданное уравнение есть урав |
|||||||||||||||
нение в полных дифференциалах. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Найдем фун:кцию и |
(х, |
у). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П е р в ы й с п о с о б. |
Интегрирун по х при постоннном у равенство |
||||||||||||||
|
|
|
аи |
= |
Р(х, |
у |
) |
|
у |
|
|
|
|
||
получим |
|
-дх |
|
х |
|
|
|
|
|||||||
|
и(х, у) |
|
|
|
|
= -, |
|
|
|
|
|||||
|
= J dx + <р(у) |
= у lnx + <р(у). |
|
(18) |
|||||||||||
Заметим, что при вычислении первообразной мы здес1. пишем ln |
х, |
а не |
|||||||||||||
ln lxl, |
та:к 1ши исходное |
уравнение содержит |
ln |
|
|
|
|||||||||
|
|
х и, следовательно, имеет |
|||||||||||||
смысл .лишь при х ) > О. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставлнн (18) в равенство |
|
|
|
|
з+ ln |
|
|
|
|
||||||
|
аи |
|
|
( |
|
) |
|
|
|
х, |
|
|
|||
имеем |
аlп х + <р1х(у, |
) = у3 |
|
|
|
||||||||||
|
|
у |
= |
Q |
|
|
у = у' + ln |
|
|
|
|||||
х,
х + 1,
