подгон 2018 (легендарный) / 1 курс-20241122T213915Z-001 / _4.2_ Матан / Ефимов Поспелов - Сборник задач ч

N1 (х)М2 (у) соответственно эти уравнения приводятся :к виду

fi (х) dx =

2

1(y) dy ,

М1

(х)

dx = _ N2

(y) dy

f

N1

(x)

М2

(у)

dy =

2х

<J

Разделяем переменные:

dx

3у

2

+ 1 ·

Интегрируем:

(Зу2 + 1)dy = 2х dx .

j 2x dx + С,

или

/(зу2 + l) dy =

у

+ у - х2

= С

(общий интеграл уравнения)

. [>

Если в уравнении с разделяющимися переменными у' =

fi (x) f2 (y)

фун:кция f2

(Y) имеет действительный :корень Уа, т.

е. если f2(Yo)

=

О,

то

диться непосредственной подстанов:кой).

При делении обеих частей этого

может быть потеряноf2(y) .

з

)

решение

у(х)

dx +а

уравнения на

(при разделении переменных

=

У

Аналогично,

при

интегрировании

уравнения

М1

(х)М2 (у)

(у)

=

+N1 (х)N2 (

у)

dy

= О могут быть потеряны

-

интегральные

:кривые х

=

ха и у(х)

= Уа

, где ха

Уа

- действительный :корень уравнения

переменных

Поэтому,

получив у:казанным выше методомМ2(у) разделения= О.

общий интеграл уравнения, надо проверить, входят ли в его состав (при

подходящих

числовых

значениях

параметра С) упомянутые

решения.

Если входят,

то потери решений нет. Если не входят, то в о:кончательном

П р и м е р

6.

Решить уравнение

Возвращаясь и фушщии у, находим:

Е z.

у = х (2 arctg Сх -

+ 27Гn) ,

п

k ,

При делении на cos и могли быть потеряны решения у = х

+

=

k Е Z.

Но для k = 2п - 1

они входят в общее решение (при( %С

О)) .

Следовательно, 01юнчательно получаем:

%

n E Z.7Г

[>

y = x (2 arctg Cx + % + 7Г(2n - 1)

и

у = х

(

+ 21Гn ;

Дифференциальные уравнения)

вида

)

в случае -

=f.

-Ь

приводятся и однородным уравнениям с помощью

а2

Ь2

а1

замены переменных

х = и + т ,

у = v + п,

где т и п находятся из системы уравнений

i

a1m + b1 n + c1

= 0,

a2m + Ь2п + с2 = О.

(6) :иреобразуется и

Посиольиу здесь dx =

du,

dy

dv, то уравнение

виду (4) относительно фуниции v(u):

dv

a1u + b1 v + a1m + b1n + c1

(а1 + Ь1 (v/и) )

( ) .

dи

f

(а2и + b2v + a2m +(Ь2aп1u++с2b)1v )

= f

= ip

= f

а2= + b

2v

а2 + b2 (v/u)

и

и

Еели в уравнении (6) а2 __ Ь2

=

,\

и, следовательно, а2

х + Ь2у =

= Л=(а1х + Ь1у),

то оно примета1

видЬ1

=

dy

х=

у

а1х + Ь1у + с1

х

у = х + у

+

-х

-dх

f (,\(а1х + Ь1У)

с2 ) = ip(a1 x

и

урав­

Подстановиой и(х)

= а1х + Ь1у(х) это уравнение преобразуется

нению с разделяющимися переменными.

Решить дифференциальные уравнения:

- .

10.48.

-- .

10.46. у

1

=

- + - .

10.47. у

1

=

у

+ sш

1

у

х

.

у

х

у

Решить дифференциальные уравнения:

10.67. у'

+ 2ху = хе-х2 •

1

10.68.

у

'

Зу

10.69.

у

'

+ y tg x =

.

= - + х.

10. 70.

(1 + х2)у'

= 2ху + (1 + х2)2.

--

10.71. у' + 2у = е3х.

10.72. у' + '}!х_ = 2 ln x + 1.

10.73. у'

= -х3Jf+ 1 + ех(х + 1)2.

10.74* .

у' = ·

10.75.

(1 + у2) dx = (arctg у - х) dy.

х + у

10.76. ху' = у + х2 cos x.

10.77. ху' = ех + ху.

10.78. ху' + х2 + ху = у.

10.80. у - у' = у2 + ху'.

10.81. (х + 2у3)у' = у.

10.82* . у' + tg у = cos y

__::____.

Найти частные решения

уравнений, удовлетворяющие задан­

ным начальным условиям:

10.83. у'

1

;

у(О) = О.

+ y tg x = --

10.84.

у'

cos x

·

= 2у + ех - х;

у(О) =

10.85.

у

'

у

= 2у 1ny + у - х

; y ( l ) = 1.

ренциальное уравнение 1-го поряд11а вида

(13)

где=т :j:. О,

у' = Р(х)у + Q(x)ym,

т :f 1 (при т

= О уравнение (13) F1Dш1ется линейным, а при

т

1 - уравнением с разделяющимисп переменными).

Так же как и линейное,

равнение Берну.'lли можно проинтегрир ­

или свести к линейному уравнению

с помощью подстановни z

= у1

-т"

Следует учесть,

что при т > 1

может

быть потеряно решение у = О.

П р и м е р

10. Решить уравнение

ху

+ - .

у = -

<З Полагая

у

приводим уравнение

у

=:

()

= uv,

'V

d:c

·

+

,fxх2

,

(14)

:с

i•'!: