Добавил:

vadikbee ИВТ (советую зайти в "Несортированное")rnПИН МАГА Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ефимов Поспелов - Сборник задач ч

.2.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.11.2024

Размер:

45.72 Mб

Скачать

☆

1 / 441 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

СБОРНИК

ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ

для втузов

Под редакцией А. В. Ефимова и А. С. Поспелова

Москва

Издательство Физико-математической литературы

2001

ББ.К 22.1
с 23
УД.К 51(075.8)
.Ко л л е н т и в а в т о р о в:
А. В . ЕФИМОВ, А. Ф. .КАРА.КУЛИН, С. М. .КО ГАН,
А. С. ПОСПЕЛОВ, Р. Я. ШОСТА.К	Ч. 2: Учеб
Сборник задач по математике для втузов. В 4 час:тях.	Ч. 2: Учеб

ное пособие для втузов /Под общ. ред. А. В . Ефимова и А. С . Поспе лова. -- 4-е изд. перераб. и доп. -М. : Издательство Физиио-мате

матичесиой литературы, 2001 .-432 c.-ISBN 5-94052-035-9 (Ч. 2) .

Содержит задачи по основам математичесного анализа, а танже дифферен циальному и интегральному исчислениям фуннций одной и неснольних пе ременных, дифференциальным уравнениям и нратным интегралам. 1\рат ние теоретичесние сведения, снабженные большим ноличеством разобран ных примеров, позволяют использовать сборнин для всех видов обучения.

Для студентов высших технИчесних учебных заведений.

Учебное издание

ЕФИМОВ Александр Васильевич, КАРАКУЛИН Анатолий Федорович, КОГАН Сергей Михайлович, ПОСПЕЛОВ Алексей Сегеевич, ШОСТАК Родион Якомевич

СБОРНИК2 ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ВТУЗОВ Часть

Редантор Л. А. Панюшкина Rоррентор Т. С. Вайсберг

Rомпьютерная графина М. В. Ивановский
№
Rомпьютерный набор и верстна Г. М. Красникова
Ид 01389 от 30.03.2000	№
Гигиеничесное занлючение		77.99.02.953.Д.003724.07.01
от 05.07.2001

Подписано в печать 05.11.2001. Формат 60х88/16. Печать№офсетная с готовых диапозитивов.

Усл. печ. л. 27. Уч.-изд. л. 30,5. Тираж 7000 энз. Заназ 486

Издательство Физино-математичесной литературы 117071 Моснва В-71, Ленинсний проспент, 15

Отпечатано в типографии ОАО •Внешторгиздатt 127576 Моснва, Илимсная улица, 7

ISBN 5-94052-035-9 (Ч. 2)		Rолле11тив авторов, 2001
ISBN 5-94052-033-2	© Физматлит, оформление, 2001
ISBN 5-94052-033-2	©

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ ТИТУЛЬНЫХ РЕДЛ:Е\ТОРОВ

Г л а в а

ВведеJШе в анаJIИЗ ....... .

§1 .

Действительные числа. Множества. Логичес:кансимволи:ка

1. Понятие действительного числа. 2. Множества и операции над

§2 .

ними. 3.

Верхние и нижние грани. 4. Логичесная символина

Фун:кции действительной 'переменной . . . . . . . . . . .

1. Понятие фуннции. 2. Элементарные фуннции и их графини

§з.

Предел последовательности действительных чисел . . .

Понятие последовательности.

Предел последовательности

§ 4.

Предел фун:кции.

Непрерывность . . . . . . . . . . . . . . .

Предел фуннции.

Беснонечно малые и беснонечно боль

шие. 3.

Непрерывность фуннции в точне. Rлассифинация точен

§5.

разрыва.

Непрерывность на1

множестве. Равномерная непре

рывность

1\омпле:ксные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Алгебраичесние операции над номпленсными числами.

Многочлены и алгебраичесние уравнения.

Предел после

довательности номпленсных чисел

Г л а в а

ДиффереIЩИальное исчислеJШе

фушщий одной переменной ..

§ 1.

Производнан

1. Определение производной. Дифференцирование явно задан

ных фуннций.

Дифференцирование фуннций,

заданных не

явно или

параметричесни. 3. Производные высших поряднов.

§2.

4.Дифференциал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Геометричесние и механичесние приложения производной

Дифференциал 1-го порядна.

2. Дифференциалы высших

поряднов

Теоремы о дифференцируемых фун:кцинх. Формула Тей-

лора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Теоремы о среднем. 2. Правило Лопиталя-Бернулли. 3. Фор

мула Тейлора

§ 4.

Исследование фун:кций и построение графинов . . . . . .

Возрастание и убывание фуннции. Энстремум.

2. Направле-

ние выпунлости. Точни перегиба.

3. Асимптомы.

Построение

графинов фуннций

§ 5.

Ве:кторные и

:компле:ксные

фун:кции

действительной

переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Определение вентор-фуннции действительной переменной.

Дифференцирование вентор-фуннции. 3. Rасательная н про

странственной нривой и нормальная плосность.

Дифферен

циальные харантеристини плосних нривых. 5. Дифференциаль4.

ные харантеристини пространственных 11ривых.

6. Rомпле11с

ные фун11ции действительной переменной

4			Оглавление
Г л а в а	7.	Интеrральное исчисление фушщий одной переменной									115
§ 1 .	Основные методы вычисления неопределенного интеграла										115
	1. Первообразная и неопределенный интеграл. Метод замены
	переменной. 3. Метод интегрирования по					частям
	переменной. 3. Метод интегрирования по								2.
§ 2 .	Интегрирование основных 1шассов элементарных
	функций . . . . . . . . . . . . . . . . . .						. . . . . . . .				126
	1. Интегрирование рациональных дробей.								Интегрирование
	тригонометричесних и гиперболичесний				фуннций. 3. Интегри
	тригонометричесних и гиперболичесний						2.
	рование неноторых иррациональных фуннций
§ 3 .	Смешанные задачи на интегрирование							. . . . . . .			142
§ 4.	Определенный интеграл и методы его вычисления										144
	2.	Определенный интеграл нан предел интегральной суммы.
	1	Определенный интеграл нан предел интегральной суммы.
		Вычисление простейших интегралов с помощью формулы
	Ньютона-Лейбница. 3.			Свойства определенного						интеграла.
		Замена переменной в определенном интеграле.								5. Интегри
	рование4.		по частям
§ 5.	Несобственные интегралы . . . . . . .						. . . . . . . . . . . .				156
	1. Интегралы с беснонечными пределами.						2.	Интегралы от не
	ограниченных фуннций						2.
§ 6 .	Геометрические приложения определенного интеграла . .										162
	1.	Площадь плосной фигуры. Длина дуги нривой. 3. Площадь
	поверхности вращения. 4.			Объем тела
	поверхности вращения. 4.			2.

§7. Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики . . . . . . .2.. . . . . . . .

1. Моменты и центры масс плосних нривых. Физичесние

задачи

177

Г л а в а 8. Дифферешщальное исчисление
фушщий неснольних переменных	185

1.Понятия фуннции неснольних переменных. 2. 4Предел. и не 185 прерывность фуннции. 3. Частные производные. Дифферен- циал фуннции и его применение /

§2 . Дифференцирование сложных и неявных функций . . . . 199

1.Сложные фуннции одной и неснольних независимых перемен-

	ных. 2.	Неявные фуннции одной и неснольних независимых
	переменных. 3. Системы неявных и параметричесни заданных
	ниях	4.	Замена переменных в дифференциальных выраже-
	фуннций.		Замена переменных в дифференциальных выраже-
§ 3 .	Приложения частных производных . . . . . . .							. . . . . .	214
	1. ·Формула		Тейлора.			Энстремум фуннции. 3.		Условный
	энстремум.		Наибольшее и наименьшее значения фуннции.
	энстремум.				2.
	5. Геометричесние4.			приложения частных производных
§ 4.	Приближенные числа и действия над ними . .							. . . . . .	230
	1. Абсолютная и относительная погрешности.						2. Действия над
	приближенными числами						2. Действия над

		Оглавление	5
Г л а в а	9.	Кратные m1тегра.лы . . . . . .	236
§ 1.	Двойной интеграл . . . . . . . . .		236
	1.	Свойства двойного интеграла и его вычисление в де11артовых
	прямоугольных :координатах. Замена переменных в двойном

интеграле.

Приложения

двойных интегралов

§ 2.

Тройной интеграл . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

254

1. Тройной интеграл и его вычисление в де:картовых прямо

угольных :координатах. Замена переменных в тройном инте-

грале. 3. Приложения

тройных интегралов

§ 3 .

Несобственные иратные интегралы . . . . .

. . . . . . . .

263

1. Интеграл по бес:конечной области.

Интеграл от разрывной

фун:кции

§ 4.

Вычисление интегралов,

зависящих от параметра . . . .

267

1. Собственные интегралы,

зависящие от параметра.

2. Несоб

ственные интегралы, зависящие от параметра

Г л а в а

10. ДиффереIЩИа.льные уравнения

276

§ 1.

Уравнения 1-го порядиа . . . . . . . .

276

1. Основные понятия.

Графичес:кий метод построения инте

гральных :кривых

метод изо:клин .

Уравнения с разделяю

Однородные) 3.уравнени11.

щимис11 переменными(

5. Линейные

уравнения.

Уравнение4.

Бернулли

7. Уравнения в полных

дифференциалах. 8. Теорема о существовании. .

и единственно-

сти реiпения.

Особые решения. 9.

Уравнения,

не разрешен-

ные относительно производной. 10. Смешанные задачи на диф

ференциальные уравнения 1-го поряд:ка. 11. Геометричес:кие и

физичес:кие задачи, привод11щие :к решению дифференциальных

§2 . Дифференциальные уравнения высших2. порядиов . . . . . 304

1.Основные пон11ти11. Теорема Коши. Уравнения, допус:каю-уравнений 1-го пор11д:ка

щие4. понижение поряд:ка. 3. Линейные однородные уравнени11. Линейные неоднородные уравнения. 5. Линейные однородные уравнени11 с посто11нными :коэффициентами. 6. Линейные неод нородные уравнени11 с посто11нными :коэффициентами. 7. Диф ференциальные уравнени11 Эйлера. 8. Краевые задачи в случае линейных дифференциальных уравнений. 9. Задачи физиче-

с:кого хара:ктера

§3.

§4.

Системы дифференциальных уравнений . . . . .

1. Основные понятия. Связь с дифференциальными уравнени-

ями п-го пор11д:ка. 2. Методы интегрирования нормальных4. си-

стем. 3. Физичес:кий смысл нормальной системы. Линейные однородные системы. 5. Линейные неоднородные системы

Элементы теории устойчивос2. ти . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Основные понятия. 4Простейшие. типы точе:к по:коя. 3. Ме- тод фун:кций Ляпунова. Устойчивость по первому приближе- нию

331

349

О Т В Е Т Ы И Уl\АЗАН ИЯ

358

ПРЕДИСЛОВИЕ ТИТУЛЬНЫХ РЕДАКТОРОВ

Настоящее издание «Сборнина задач по математине для втузов» подверглось значительной перестановне глав и их распределению по томам. В результате первый том содержит алгебраичесние раз делы нурса высшей математини, в том числе венторную алгебру и

аналитичесную геометрию, определители и матрицы, системы ли нейных уравнений, линейную алгебру и новый раздел - общую алгеqру.

Второй том полностью посвящен изложению основ математи чесного анализа, дифференциальному и интегральному исчисле ниям фуннций одной и неснолышх переменных, а танже диффе-

ренциальным уравнениям.

Втретьем томе собраны специальные разделы математиче сного анализа, ноторые в различных наборах и объемах изучаются

втехничесних вузах и университетах. Сюда относятся тание раз

делы, иан венторный анализ·,элементЬ1 теории фуннций номпленс

ной переменной, ряды и их применение, операционное исчисление, методы оптимизации, уравнения \в частных производных, а танже интегральные уравнения.

Нанонец, четвертый том содержит теоретиЧесние введения, ти повые примеры и цинлы Задач по теории вероятностей и матема тичесной статистине.

Уназанные выше измененИя составляют лишь струнтурную пе реработну Сборнина, ниноим образом не затрагивая ни расположе ния материала внутри соответствующей главы, ни последователь ности нумерации примеров и задач.

Всмысловом отношении авторы внесли тольно следующие из

менения. Во всех разделах Сборнина иснлючены теоретичесние введения и цинлы задач, связанные с численными методами. Дело

втом, что в настоящее время существует· целый ряд программных оболочен, наждая из ноторых реализует достаточно полный набор стандартных методов ·приближенного решения задач, а основные навьmи работы с номпьютером можно приобрести уже в шноле.

Авторы посчитали танже необходимым добавить один новый раз дел «Основы общей алгебры» и предложить цинл задач по тензорной алгебре в разделе «Линейная алгебра11 в первый, «алгебраичесний» том Сборнина. Это связано стем, что нруг идей и методов общей алгебры все глубже пропинает в науноемние отрасли промьIШЛен ности и, следовательно, становится необходимой частью образова ния и подготовни специалистов по инженерным специальностям.

:Кроме отмеченного выше, авторами вьшолнена стандартная техничесная работа по исп авлению ошибон, описон и других не точностей, учтены танже все замечания, вознинавшие в процессе работы с предыдущими изданиями Сборнина.

А. В. Ефимов, А. С.Поспелов

Глава5

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

§ 1. Действительные числа.

Множества. Лоrичесная симвоJIИНа

1. Понятие действительного числа. Из Rypca математиRи средней ШRолы известно, что всfшое неотрицательное действите.11ьное 'Число

х представляется бесRонечной десятичной дробью

(1)

где [х)

наибольшее целое число, не превосходящее х и называемое

'Це.11ой

Частью числа х, Xn

{О, 1,

2, .

. , 9} для любого

При этом дроби, у RоторыхЕ

для всех п п0

(пЕо

некото

рое натуральное число

, обычно

исключаются из

рассмотр

ения в силу

)

следующих равенств:

. = [х] + 1,

[х),999 . .

'#9) .

[х],х1 Х2 . . . Xn0-1999 . . .

[х],х1 х2 . . . (xno-1 + 1) (по > 1, Xno- 1

Действительное число х ра'Циона.11ьно,

т. е. представимо в виде от

Jxl

{ -

хх

если

х < О.

когда дробь (1)

ношения -п , т, п Е

в том и только в том случае,

периодическая. В противном случае число х ирра'Циона.11ьно.

Абсо.11ютной веди'Чиной или

модулем

действительного числа х на

зывается неотрицательное число

если

х О,

Предполагается, что правила сравнения действительных чисел, а также арифметические операции над ними известны из курса матема тики средней школы.

5.1. Доказать, что число

0,1010010001 . . . 1 n 1 . . .

иррационально. Выписать по три первых члена из последователь ностей :конечных десятичных дробей, приближающих это число с недостатком и с избытком.

Гл. 5.

Введение в анализ

5.2. Сшщующие числа представить в виде правильных рацио

нальных дробей:

а) 1,(2);

6) 3

,00(3); в) 0,110(25).

5.3.

Дш азать , что число lg 5 иррационально.

<] Предположим,

что lg5 - рациональное число, т. е.

;

т, п Е

= -

Тогда:

1omfn = 5,

= 5n , 2m · 5m = 5n .

10тп

Но последнее равенство невозможно:

число 2 входит в разложение левой

части на простые множители, но не входит в аналогичное разложение

для правой части, что противоречит единственности разложения целых

чисел на простые множители.

Поэтому исходное предположение неверно,

и, следовательно,

число lg5

иррационально.

До.казать , что следующие числа иррациональны:

5.4.

JЗ.

5.5. уГр,

- простое число, п > 1.

5.6. 2 +

vз.

5.7.

vз.

5.8.

log3

р, р

- простое число.

иррационально.

5.9.

7r +

7rn,

п Е

Z, если известно, что

В задачах 5.10-5.13 сравнить уRазанные числа.

5.10. J2 - V5 и V3 - 2.

<] Предположим, что верно неравенство

Тогда:	J2- J5< Vз- 2.			(2)
Тогда:	у'2 + 2	< J5 + Vз,
	6 + 4у'2	< 8	+ 2y'i5,
	2у'2 < 1		+ vl5,
	8 < 16 + 2vl5.

TaR RaR последнее неравенство верно, то в силу обратимости выполнен
ных преобразований верно и исходное неравенство									(2).		t>
	1	1	5.12.	(	1	)	lg	1	и	(	-1
5.11.	log1;2 З и log113	2.			-5		lg	1			1
5.11.	log1;2 З и log113	2.						с ;1)				)tg c1/s)
5.13.	log10g3 2 21 и 1.

1 / 441 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке _4.2_ Матан

#
23.11.202445.72 Mб13Ефимов Поспелов - Сборник задач ч.2.pdf
#
23.11.20247.77 Mб1Ефимов Поспелов - Сборник задач ч.3.pdf