подгон 2018 (легендарный) / 1 курс-20241122T213915Z-001 / _4.2_ Матан / Ефимов Поспелов - Сборник задач ч
.2.pdf
Г л а в а 6
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. Производная
1 . Определение производной. |
Дифференцирование явно задаш1ых |
||||||||||||||
фушщий. |
Пусть |
дf (хо , дх) = |
! (хо + дх) - f(xo ) - приращение функ |
||||||||||||
ции у = f |
(x) |
в |
точне хо |
, |
соответствующее приращению ар |
гумента дх, |
|||||||||
Произв одной |
1-го порядна (или первой произв одной) фуннции у = f (x) |
||||||||||||||
в точне х0 |
называется предел |
|
. |
|
дf(хо , дх) . |
|
1 |
|
|||||||
|
|
|
!' (Хо ) |
- |
|
|
( |
) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1lffi |
|
ДХ |
|
|||||
Числа |
|
|
!' |
(Хо ) |
= |
дх--tО |
|
дf (хо , дх) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
Лх |
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
1lffi |
|
|
|
|
||
|
|
+ |
( |
хо |
) |
= |
д |
|
+ |
о |
дх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
!'- |
|
|
д |
х |
дf (хо , дх) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
х1 |
.--t-0 |
|
|
|
|
||
называются соответственно левой |
и правой производными фуннции у |
= |
|||||||||||||
= f (x) в точне хо . Для существования производной f' (xo ) фуннции f (x) |
|||||||||||||||
в точне х0 |
необходимо и достаточно, чтобы ее левая и правая производ |
||||||||||||||
ные в этой точне существовали и совпадали, т. е. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
f' _ (xo ) = J-f- (xo ) . |
|
|
|
||||||
П р и м е р 1. |
Найт:И |
f'_ (O) и J- f - (0) |
для фуннции f (x) = |
l x l . |
|
|
|||||||||
<J Имеем по определению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
f'_ (O) = |
|
lim |
|
l дx l = |
|
lim |
- Лх = |
- 1 |
|||
|
|
|
|
Лх |
|
|
Лх |
|||||
и |
|
дх--t-t0 |
|
дх--t-0 |
|
Лх |
|
|||||
|
, |
|
|
1 |
. |
|
I Лx l |
|
. |
|
1. |
|
|
!+ (О) = |
|
1m |
- = |
lrm |
|
- = |
|||||
|
|
|
д |
х-- |
+О дХ |
|
дх--++0 |
дХ |
|
|||
Заметим, что фуннция f (x) = l x l не имеет производной в точне
хо = О . [>
