подгон 2018 (легендарный) / 1 курс-20241122T213915Z-001 / _4.2_ Матан / Ефимов Поспелов - Сборник задач ч

1 . АJП'ебраичесние операциинад :компленсными числами.

Комп.л.екс­

ными 'Числами называются всевозможные упо{!ядоченные пары z = (х, у)

действительных чисел, для Rоторых следукi'щим образом определены

операции сложения и умножения:

+ У2),

(1)

(х1 , У1) + (х2, У2)

= (х1 + х2, У1

(х1 , У1)(х2, У2) = (х1х2 - У1У2

, Х1У2

+ Х

2У1).

(2)

\

Множество всех RомплеRсных чисел обозначается символом С.

Действительные числа

х и у называются

действительной и мнимой

'Част.ями RомплеRсного числа z =

(х, у) и обозначаются символами Rez

и Im z соответственно.

(х1 , у1) и z2 =

(х

2, У2) называются

Два RомплеRсных числа z1 =

равными тодьRо в том случае, Rогда х1

= х2

и У1

=

У2·

Из определений (1) и

(2) следует,

что

всяRое Rомпленсное число

(х, у) может быть записано следующим образом:

(3)

(х, у) = (х, О) + (О, l) (y, О).

Если теперь номпленсные числа вида (х, О) отождествить 1

с действи­

тельными числами х, а число (О, 1) обозначить символом i, то) равенство

(3) принимает вид

z = х + iy

пле:ксных чисел обладают следующими свойствами:

а

z1 + z2 = z2 + z1

( коммут ати в н о сть с. r ож ен и.я) ;

(

z1 + z2

+ zз = z1

+

(

z2 + zз

( а ссоци атив н о сть с.r ож

е ни.я) ;

в

= )

ат и в )

6)

z1 z2

z2 z1

( коммут

н о с ть умнож ени.я) ;

г )

z1 z2

zз

= z1

z2 zз

( ассоци ат и в н о с ть умнож ени.я) ;

д))

z

1

(z

2

zз

) =(

z1 z2

)+

z1 zз

( зако н дистр и бути в н о сти) .

(

)+

1) То есть установить взаимно однозначное соответствие О ) f-t

между

«сохраняет операциш{(х,

:1х

Е IR}

и !R.

Из ( 1 ) и ( 2) следует, что(хэто,

соответствиех

множествами

О)

(х1,(хО1,)+О)(х· 2,(х2,О) О) =(х1(х+1хх2,2,О) ff--ttхх11х+2.х2,

=

О)

Использование по:казательной .фliJрмы :компле:ксных чисел во многих

случая:х значительно упрощает вычисления:.

П р и м е р 3. Привести :к виду, удобному для:'логарифмирования::

S(cp) = sin < p +sin 2< p +. . . + sin n<p,

<р .:Р 27Гm,

т Е Z.

<] Та:к, RaR sin <р = Im ei<p, то, используя: формулу суммы геометричеСRОЙ

S(<p) = Im ei"' + Im ei2"' + . . . + Im ei

<p = Im (ei"' + ei2'P

+" . . + ein<p ) =

прогрессии, получаем:

n

Привести R виду , удобному для: логарифмиршщнин:

5.505. cos ер + cos 2r.p+ cos Зr.р+ . . . + cos пер.

5.506. cos <р + cos Зr.р + cos 5r.p + . . . + cos (2п - l)r.p.

5.507. sin<p + sin Зr.p+ sin 5<p + . . . + sin (2п - l)r.p.

2.

Многочлены и ашебраичесние уравнения. Много'Членом ( полино­

мом или целой рациональной функцией) п-й степени называется: фунR­

ция: вида

где z

Е С, а0 , а1, . . . , ап

(5)

- :коэффициенты (вообще говоря:, RомплеRс-

ные),

причем ап # О, п Е

N. Уравнение

·

·

(6)

называется: алгебраи•tеским уравнением п-й степени. Число z0 , для: RО­

торого Рп (z0 ) = О, называется: корнем многочлена (5)

или уравнения: (6).

Т е о р е м а

Г а у с с а

(основная:

теорема алгебры).

Вс.який . мно20

'Член ненулевой степени' имеет

по крайней мере о дин корень (вообще

говоря:, J\ОМПЛеRсный).

Число z0 я:вля:етсп Rорнем многочлена Рп (z) в том и. толЬRо в том

случае, Rогда Рп (z)

делится: без остатRа на бином z - zo ,

т. е.

(z-- z0) k ,

Рп (z)

= (z - z9)qп-1(z) ,

z0) k+1, z0делитш1 'без

-

(z

где qn-l(z)

многочлен (п

1)-й степени.

Если

Рп (z)

остатRа на

k

1, но не делится: на

-

то назь вается:

корнем кратности k многочлена Рп (z) ; при этом

-

'

=

(z -1

'

где qп-k (zo ) .:Р

О.

Рп (z)

zo) k qп-k

(z)

,

5.523. z4 - 1 .

5.524. z4 + 1.

5.525. z4 + z2

+ 1 .

5.526. z4

+4z3 + 1 1z2 + 14z+10; известен один 1юрень z1 = - l +i .

5.527.

z5 + z4

+ z3 - z2 - z - 1 ;

известен двукратный корень

Z1 = Z2 =

-

2 + i2.

1

. JЗ

5.528. z4 + 6z3 + 9z2 + 100; известен корень z 1 = 1 + 2i.

3. Предел последовательности номпленсных чисел.

Число

а назы­

вают предедом последовательности 1юмплексных чисел

(zп) nEN

и пишут

n-- +oo

а,

если для любого

е > О существует номер

N(

e

)

таной, что

lim Zn

=

при ri > N(e) выполняется неравенство lzn - al < е.

к бесконе'Ч

носrпи

Последовательность (zn)nEN называют сход.ящей

с.я

lim Zn =

оо,

если для любого

Е

> О существует номер

N(E)

и пишут n-- +oo

Zn =

Zn

f=. оо

Wn =

f=.

> Е.

такой, что при п > N(E)

выполняется неравенство

l zn l

lim

5.529. Пусть Xn = Re zn и Yn

= Im zп . Доказать , что

= а f=.

оо

тогда и только тогда,

когда lim Xn = Reа и

n4oo

lim

Yn =

= lm a.

Пусть

lim

= а

и

n4oo

Ь

n4oo

5.530.

lim

о о .

Доказать ,

что:

lim (zп +

n4oo

= а + Ь; б)

lim

n4oo

а)

Wn)

ZnWn = аЬ.

n4oo

lim

Zn

n4oo

lim

Wn =

Ь

f=. О.

Доказать ,

5.531. Пусть

= а f=. оо и

аn4oo

n4oo

llli - = - .

что 1.

Zn

Ь

n4ooWn