подгон 2018 (легендарный) / 1 курс-20241122T213915Z-001 / _4.2_ Матан / Ефимов Поспелов - Сборник задач ч
.2.pdf
§ 2. |
Функции действительной переменной |
21 |
Фующия f(x) называется периодu'Чес-кой, если существует положи |
||
тельное число Т |
(период фующии) такое, что V х Е D (f(x+Т)= f(x)) . |
|
Вьшснить, 1.аRие из заданных фунRций являются периодиче
СRими, и определить их наименьший период Т: |
|||||
5 |
.141. f(x) = 5 cos 7х. |
5.142. |
f(х) = cos2 |
2х. |
|
5 |
.143. |
f(x) = х sin x. |
5.144. |
f(x) = cos х + sin ( J3x) . |
|
5.145. |
f(х) = sin x2 . |
5.146. |
х |
х |
|
f(x) = tg 2 |
- 2 tg з· |
||||
Установить, I>aRиe из уRазанных ниже фунRций имеют обрат ные, найти соответствуюшие обратные фунRции и их области опре деления:
5.147. |
ах + Ь. |
5.148. |
5.150. |
ln 2x. |
5.151. |
5.153. |
х2 + 1. |
|
(х - 1)3. 5.149.
2х/2 . 5.152.
<] Для функции у= х2 |
+ 1 естественная область определения есть вся |
||
числовая прямая D = |
(-оо,+оо), а множество значений - луч Е = |
||
= [1,+оо). Тан как для любого а Е Е уравнение х2 +1= а имеет два |
|||
различных решения х1(а) = Ja.=l и х2 |
(а) = -.Ja=l, то данная |
||
функция не имеет обратной. Однако каждая из функций |
|||
У1= х2 +1, Di= [O,+oo), и Yz= x2 +1, D= (-oo,O], |
|||
имеет обратную, равную соответственно |
-,;:;;=1.. |
||
Х1 (у)= |
,;:;;=1. |
||
|
И Х2 (у)= |
С> |
|
Найти обратную фунRцию и область ее определения, если ис-
ходная фунRция задана на уRазанном промежутRе: |
|||||||||||
5.154. |
у = |
х2 - 1: а) |
х |
Е ( - оо; |
- 1/2) ; |
б) х Е [1/2, + оо) . |
|||||
5.155. |
у = sin x: а) х |
Е |
[-1Г/2, |
1Г/2] ; б) |
х Е [1Г/2, 31Г/2] . |
||||||
|
у = |
{ |
|
х Е |
|
-оо, |
|
|
|
|
|
5.156. |
у = |
|
х, |
|
|
] |
, |
|
|
||
|
|
|
2х, |
х Е (( |
О, + оо). |
|
|
||||
5.157. |
|
cos2 х: |
х Е [1Г/2; 1Г] ; в) х Е [1 Г ; 37Г/2] . |
||||||||
а) х Е |
[О; 1Г/2] ; б) |
||||||||||
Найти Rомпозиции f |
|
и |
|
о |
f следующих фунRций: |
||||||
5.158. f(x) = х2 , |
g(x)о |
=g .Jig. |
|
|
|
||||||
< ] Имеем:
и
(!о.g |
)(x)= |
|
(x) = J( |
)= ( |
|
2 |
= х |
|
f (g |
) |
-/X |
vx |
|
|
|
(g оf)(x)= g (f(x)) = g(x2)= bl= lxl·· С> |
|||||||
§ 3. Предел последовательности действительных чисел |
25 |
На плос1юсти Оху изобразить множества точе:к, :координаты :которых удовлетворяют заданным условиям:
5.207.
5.209. 5.211.
5.212.
ху =о . |
= 1 . |
||
lxl + IYI |
|||
llxl - |
I |
ll = 1 . |
|
l 2y - |
Y |
|
|
1 |
1 |
+ l 2y + |
|
5.208. |
IYI |
|||
5.210. |
l |
x |
||
1 1 + |
4 |
|
l x |
|
vз |
||||
|
|
|||
=l x2 :---2 l x l - 3 1 .
+Y I + lx - YI = 1 .
l =4.
§ 3. Предел последовательности действительных чисел
1 . Понятие последовательности. ПоследовательносN -+ тью
ных чисел называетсн фующин f: ' определеннан на множестве всех натуральных чисел. Число f(п) называетсн п-м членом последова тельности и обозначаетсн символом Хп, а формула .тп = f(n)
формулой общего •лена последовательности (хп)пЕ/\1.
Написать первые пять членов последовательности:
5.213. 5.215.
Xn
Xn
= =
1 |
+ |
3п |
|
2 |
п |
(
+ _
-
5 3
l) |
n |
|
|
. |
|
!
п
.
5.214.
5.216.
Xn
Xn
=
-
n(l (-1
- )n
(-l)n). |
|
|
J3 |
arcsш 2 + тrп. |
|
. |
|
Написать формулу общего члена последовательности:
5 |
.217. - |
1 |
|
1 |
' |
1 |
1 |
' . |
. . 5.218. о, 2, о, 2, . . . |
||||
2, |
' |
3 |
-4, |
5 |
|||||||||
5 |
.219 |
. 2, |
3 |
5 |
' 7' . . . |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
4 |
|
6 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
5.220 |
. 1, |
о, |
- 3 , о, |
5, |
о, |
-7, о, |
. . . |
|
|
||||
5 |
.221 |
. - 3, |
3' |
|
-5, |
7' -9, . . . |
|
|
|
||||
|
|
|
|
5 |
|
7 |
9 |
|
1 1 |
|
|
|
|
5 |
.222 |
. о, |
V2 |
|
1, V2 |
о, |
V2 |
-1, |
V2 |
о, . . . |
|||
|
|
|
2' |
|
2' |
|
-2, |
|
-2, |
|
|||
В задачах 5 . 223-5 . 228 требуется найти наибольший (наи меньший) член ограниченной сверху (снизу) последовательности
(xn)nEN· |
Xn = |
6п - п2 - 5 . |
5.224. Xn =e10n-n2-24. |
||
5.223. |
|||||
5 |
.225. Xn = |
..;п . |
5.226. Xn =Зп2 - 10п - 14. |
||
|
|
|
-- |
|
|
|
|
|
9 + п |
|
|
5 |
.227. |
|
5 1 2 |
5.228. Xn = - |
п2 |
Xn =2п + -2 . |
2n . |
||||
|
|
|
п |
|
|
