подгон 2018 (легендарный) / 1 курс-20241122T213915Z-001 / _4.2_ Матан / Ефимов Поспелов - Сборник задач ч

10

Гл. 5. Введение в анализ

свойством а.

В этом случае используется обозн чение

а.

А = {хЕT l a(x)},

где запись а(х) означает, что элемент х обладает свойством

П р и м е р

1. Описать перечислением элементов множество

А = {хЕZ 1 (х - З)(х2 - 1) = О и х О}.

<З А есть множество всех целых неотрицательных :корней уравнения

(х - З)(х2 - 1) = О. Следовательно, А = {1, 3}. !>

Объединением множеств А и В называется множество

А U В = {х 1хЕА или хЕВ}.

Пересе-чением множеств А и В называется множество

AnB = {x l xEA и хЕВ}.

Разностью множеств А и В называется множество

Если, в частности, А - подмножество не:которого универсального мно­

жества Т, то разность Т\А обозначается символом

А и называется до­

nоднением множества А (

до множества Т).

5.28

. Установить, :ка:кая из двух записей верна:

а

{ 1 ,

2} Е

{1 ,

2,

{ 1 ,

2, З}} или { 1 , 2} С {1 ,

2, { 1 , 2, З}};

6)) { 1 ,

2} Е

{1 ,

2,

{ 1 ,

2}} или { 1 , 2} С {1 , 2,

{ 1 , 2}}.

В задачах 5.29-5 .34 у:казанные множества задать перечисле-

нием всех своих элементов.

5.29. А = {

х

Е

IR 1

х3 - Зх2 + 2х =О}.

}

5

.31

. А =

{{х

Е N\х2- .;Зх- 4

::;;;}О.

.

5

.30

.

А =

х

Е

IR

1

х +

::;;; 2и

х>О

5

.32

. А

Z

<5.

=

{х

Е

1

::;;; 2х

}

5

.33

. А =

х

Е

N 1

log1;2

<2

}

.

5.34. А = {{х

Е

JR\ cos2 2x;= 1

О <х::;;;27Г}.

и

16

Гл. 5. Введение в анализ

П р и м е р

4.

Используя логичес:кую символи:ку,

записать утвержде­

ние: «число М

есть точная верхняя грань множества Х».

<J

Утверждение

М= sup х означает, что выполнены условия:

а)

Vх Е Х (х М) (т. е. М - верхняя грань множества Х);

б)

VА Е IR (Vх Е Х (х А)=>А М) (т. е. М - наименьшая из

верхних граней множества Х).

Условие б) может быть записано та:кже в следующей э:квивалентной

форме (см. задачу

5.72):

Пр им е р

Ve>O 3х Е Х (х>М -е). [ >

5.

Используя логичес:кую символи:ку, сформулировать

принцип математичес:кой инду:кции.

п Е N.

<J

Пусть

а: -

не:которое утверждение, имеющее смысл для всех

Введем множество

А= {п Е Nla:(n)},

для :которых утверждение

т.

е. множество всех тех натуральных чисел,

а:

истинно. Тогда принцип математичес:кой инду:кции можно сформули­

ровать следующим образом:

1) Е А)) =>А= N.

((1

Е А)

Л (п Е А=> (п +

(3)

ТаЕ:к :ка:к запись

а:

(п)

означает, что утверждение

истинно для числа

п

N,

то утверждение (3) можно записать и иначе:

(o:(l)

Л (а:(п)=>а(п + 1))) =>Vn Е N а:(п).

[>

П р и м е р

6.

Записать отрицания

выс:казываний:

Vx Е Хо:(х) и

3х Е Хо:(х).

Отрицание выс:казывания Vx Е Х о:(х) имеет вид 3х Е Х а(х) (су­

ществует<J

элемент

х Е Х та:кой, для :которогоо:

утверждениеа:

о:(х)

ложно) .

Иначе говоря,

для любого утверждения

истинно следующее высиазы­

вание:

Vx Е Хо:(х) {::}3х Е Хо:(х).

Аналогично

{::}Vx Е Хо:(х) . [>

3х Е Хо:(х)

П р и м е р

7.

Используя логичес:кие символы, записать утверждение:

«фун:кция f: Х

--+

IR,

Х С IR, непрерывна в точ:ке

а Е Х»,

а та:кже его

отрицание.

<J

Исходное утверждение:

Ve>О

36>О Vx Е Х (lx -aJ < д=>lf(x) -f(a)I

< е)

(для любого > О найдется д > О та:кое, что для любого числа х Е Х,

удовлетворяющего, условию Jx-aJ < д, выполняется неравенство JJ(x) -

-f(a)I < е). Отрицание этого утверждения:

3е>О

>О 3х

Е Х (lx -al <

д Л

lf(x) -f(a)I е)

€

Vд