§ 3. |
Приложения частных производных |
находим стационарную точиу х |
о |
= |
достаточных условий минимума: |
|
S" ( |
|
) |
|
4V |
' |
s y(x, |
|
х, у |
|
= |
- |
|
|
|
хх |
|
|
|
х |
|
|
|
|
Следовательно,
Уо = -Y2V'.
у) = 1 , Sуу"
Проверим выполнение |
(х , у) |
4V3 |
|
= - . |
|
у |
А = S x ( , ) = 2, |
С = S y ( |
?f2V,?f2V) |
= 2, |
|
Итаи, |
фуницин S(x, у) |
|
|
ij2V2 |
= |
v |
|
= --; |
|
|
|
Smin = 2V ( |
8.211. Найти наибольшее значение фушщии z = х - 2у + 5 в
областях: |
у О, |
х + у ::;;1 ; |
а) х О, |
б ) х ::;;о , |
у о , |
у - х ::;;1 . |
8.212. Найти наибольшее и наименьшее значенил функции
= х2 + у2 - ху
8.213. Найти
- х - у в области х О, у наибольшее и наименьшее
О, х + у ::;;3. значения функции
z= ху в области х2 + у2 ::;;1.
=8.214. Найти наибольшее и наименьшее значения функцииху2 в области + у2 ::;;1 .х2z
8.215. Представить положительное число а в виде произведе ния четырех положительных сомножителей так, что ы сумма их обратных величин была наименьшей.
8.216. Из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих данную сумму длин ребер 1 2 , найти параллелепипед с наиболь шим объемом.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
.217. Найти прямоугольный параллелепипед с длиной диаго |
нали d, имеющий наибольший объем. |
|
|
8 |
.218. Внутри четырехугольника найти точку, суммя квадратов |
расстояний ноторой от вершин бьша бы наименьшей. |
8 |
.219. В полушар радиуса R вписать прнмоуголъный паралле |
лепипед наибольшего объема. |
|
|
|
8 |
.220. В прямой нруговой конус с радиусом основания R и |
объема. |
Н |
вписать |
прямоугольный |
параллелепипед |
наибольшего |
высотой |
|
|
|
|
вершине найти тpeyI'OJrын;i; |
е ш.1-1болыпе:1 шшнщ; :ью. . |
8.221. Из всех |
треугольников с основанием а |
и углом а при |
х |
х |
Приложения частны |
производны |
Нор.малью и поверхности называется прямая, перпендинулярная и насательной плосности и проходящая через точну насания.
Если уравнение поверхности имеет вид
F(x, у, z) = О,
то уравнение насательной плосности в точне М0(х0, у0, z0) есть
F (xo, Уо, zo)(x - хо) + F (xo, Уо, zo)(y - Уо) +
+ F (xo, Уо, zo)(z - zo) = О.
Уравнения нормаJш:
Х - Хо
F. (xo , Уо, zo)
В случае задания поверхности в явной форме
z = f(x, у)
уравнение насательной плосности в точне Мо(хо, у0, zo) имеет вид
z- zo = ! (хо, Уо)(х - хо) + ! (хо, Уо)(у - Уо),
ауравнения нормали -
Х - Хо |
у - уо |
Z - Zo |
! (хо, Уо) |
! (хо, Уо) |
- --- |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П р и м е р 7. Найти уравнения насательной плосности и нормали и |
поверхности :с2 |
+ 2у |
2 - Зz2 + ху + yz - 2xz + 16 |
= О в точне |
M(l, 2, 3). |
<J Обозначив через |
F(x, |
у, z) левую часть уравнения поверхности, най |
дем частные производные и их значения в точие М: |
"-2; |
|
|
F (x, у, z) = 2х + у - 2z, |
F (l, 2, 3) = |
|
|
F |
(х, |
у, |
z) = 4у + х + z, |
F (l, 2, 3) = 12; |
|
|
F (x |
z) = -6z + у - 2х, |
F (l, 2, 3) = - 18. |
|
|
По формулам (6) и (7) имеем |
|
или |
|
х - 6у + 9z - 16 = О |
-2(х - 1) + 12(у - 2) - 18(z - 3) = О, |
|
- уравнение иасательной плосиости, |
x - l |
_ y - 2 |
_ z - 3 |
x - l |
_ y - 2 |
_ z - 3 |
' |
или |
-2 |
- |
|
12 |
- -18 |
|
1 |
- |
- 6 |
- |
9 |
|
- уравнения нормали. [> |
|
|
|
|
|
|
|
|
