подгон 2018 (легендарный) / 1 курс-20241122T213915Z-001 / _4.2_ Матан / Ефимов Поспелов - Сборник задач ч
.2.pdf
|
|
|
§ 1 . Уравнения 1-го порядка |
|
|
277 |
|||||
<J Найдя у' = 3Сх2 |
и подставив выражения у и у' в дифференциальное |
||||||||||
уравнение, при любом зн чении |
С получим тождество 3Сх3 |
- 3Сх3 |
= О. |
||||||||
Это означает, что фующия у = |
Сх1 , |
3 |
является решением дифференци |
||||||||
|
1 , |
|
|
|
|||||||
ального уравнени11. |
Положив |
х = |
|
у = найдем значение параметра |
|||||||
С = |
1 |
|
|
|
|||||||
|
и, та шм образом, получим ис.комое частное решение |
у0 (=1 , х3 ., |
|||||||||
Иначе говор11, интегральной .кривой, проход11щей через точ.ку |
М |
1) |
|||||||||
11вл11етс11 11убичес11а11 парабола у = х3 |
. 1> |
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||
Пусть задано уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ф(х, у, С) = О,
определ11ющее на плос.кости не.которое семейство .кривых, завис11щих от значений параметра С. Если составить систему двух уравнений
Ф(х, у, С) = О, Ф (х, у, С) = О,
то, ис11люча11 из этой системы параметр С, получим, вообще говор11, диф |
|||||
ференциальное уравнение заданного семейства .кривых. |
|
|
|||
П р и м е р |
3. Найти дифференциальное уравнение семейства о.круж |
||||
ностей х2 + у |
2 |
= 2ах. |
|
|
|
<J Имеем систему уравнений |
|
|
|||
|
|
|
х2 + у2 = 2ах, |
|
|
Иснлючаем параметр а. |
2х + 2уу' = 2а. |
= |
х + уу' |
||
Из второго уравнени11 находим а |
|||||
и, подставл1111 |
это выражение в первое уравнение, получаем |
х2 |
+ у2 = |
||
= 2х(х + уу'), |
|
т. е. у2 - х2 |
= 2хуу'. Это и есть ис.комое дифференциаль |
||
ное уравнение. |
1> |
|
|
|
|
По:.казать , что при любом действительном значении параметра
С заданные выражени11 определ11ют решени11 соответствующих
дифференциальных уравнений:
10.1. y = x(C - In lxl), (x - y) dx + x dy = O.
10.2. у = х (/о ; ех dx + с) , ху' - у = хех .
10.3. 2х + у - 1 = Ce2v-x , (2х + у + 1) dx - (4х + 2у - 3) dy = О.
В заданном семействе выделить уравнение привой, удовлетво- р11ющей приведенному начальному условию.
10.4. y |
(ln lx2 |
- 1 |
1 + |
С) |
= 1 |
, |
у( |
О |
) = |
1 |
. |
|
10.5. |
|
х |
|
|
|
|
||||||
у(1 - Сх) = 1, |
у(1) = 0,5. . |
|
|
|||||||||
10.6. |
у = 2 + Ccos x, |
у(О) |
|
-1. |
|
|
||||||
=
10.7 . Написать уравнение, :.которому удовлетвор11ют все точии
энстремума интегральных :.кривых дифференциального уравнени11
у' = f,(х, у). I-\ ан отличить точ:.ки ма:.ксимума от точен минимума?
278 |
Гл. 10. Дифференциальные уравнения |
10.8. Написать уравнение, RОТорому удовлетворнют все точRи |
|
перегиба |
интегральных 1>ривых дифференциального уравненин |
у' = f(x, у) и, в частности, дифференциальных уравнений:
а) у' = у + х3; б) у' = еУ - х.
Составить диф ференциальное уравнение семейств нривых:
10 |
.9. Парабол у = х2 + 2ах. |
|
10 |
.10 |
. Гипербол у = а/х. |
10.11 |
. Цепных линий у = а ch х. |
|
10 |
.12 |
. Гипербол х2 - у2 = 2ах. |
10.13 |
. Составить дифференциальное уравнение семейства Rри |
|
nых, у Rоторых отрезоR любой нормали, заRлюченный между оснми ноординат, делитсн пополам в точRе насанин.
10.14. Составить диф ференциальное уравнение семейства Rри вых, у 1юторых отрезоR любой насательной, занлюченный между
оснми ноординат, |
делитсн точной иасанин М(х, у) в отношении |
|||||
IAMI : IMBI |
= 2 : |
1, где |
- |
точна пересеченин насательной с |
||
осью Оу, В |
|
|
с осью Ох. А |
|
||
10.15. Составить дифференциальное уравнение семейства Rри |
||||||
|
- |
|
|
|
|
|
вых, у ноторых площадь, занлюченнан между оснми ноординат,
этой нривой и переменной ординатой, пропорциональна четвертой |
||||||||||||||||||||||||||||
степени этой ординаты. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. Графичесний метод построения m1тегралъных нривых (метод изо |
||||||||||||||||||||||||||||
юпm). Дифференциальное уравнение |
у' |
|
= |
f(x, у) в плосRости с фиRси |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у' |
|
f(х, у) |
||||
рованной деRартовой прнмоугольной системой Rоординат |
|
|
|
определнет |
||||||||||||||||||||||||
Изоклиной |
|
|
равенством tga |
|
f |
(x, |
у). |
|
|
|
|
|
|
Оху |
|
|
|
|
|
|||||||||
поле направлений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
уравнения (полн направлений) называется всяRая Rри |
|||||||||||||||||||||||||||
вая, определпеман уравнением |
|
у) |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
при фиRсированном k. |
|
|
f(x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
решенин уравнения |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Для приближенного (графичесRого |
|
|
|
|
Пусть |
|||||||||||||||||||||||
построим на ПЛОСRОСТИ ИЗОRЛИНЫ ДЛII неснольRИХ значений k. |
||||||||||||||||||||||||||||
Мо (х0, Уо) -неиоторан начальнан |
= |
|
|
|
|
|
ИзоRлина |
L0, |
|
проходнщан че |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
точна. |
= |
|
|
|||||||||||||||||
рез эту точну, соответствует значению k, |
равному |
k0 |
f(x0, |
|
у0). |
Прове |
||||||||||||||||||||||
|
|
М0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сеть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
дем отрезоR М0М1 |
с угловым Rоэффициентом k0 |
до пересеченин в точRе |
||||||||||||||||||||||||||
М1 с ближайшей изоRлиной L1 (тем самым мы заменим дугу инте |
||||||||||||||||||||||||||||
гральной Rривой отрезном |
ее R |
асательной) . Далее, из точ1ш |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k1 |
|
|
f |
(x |
1 |
, У1) |
|||||||||
проведем новый отрезоИ |
М1 |
2 |
с угловым Rоэффициентом |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
М1 |
(х |
1 |
, у1) |
|||||||||||||||||||||
до пересеченип в точне М2 |
соМследующей изоRлиной |
L2 |
|
и т. д. |
= |
|
|
|
||||||||||||||||||||
В результате таRого построенин мы получим ломаную, явлнющуюсн |
||||||||||||||||||||||||||||
приближенным изображением интегральной Rривой, проходнщей через |
||||||||||||||||||||||||||||
начальную точRу |
|
|
Чем гуще взнта, |
|
|
|
изонлин, |
|
тем более точно |
|||||||||||||||||||
можно изобразить интеграtльную нривую. |
|
аналогично можно постро |
||||||||||||||||||||||||||
Изменнн положение начальной точRи |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
ить приближенно и другие интегральныеМRривые0, |
. |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|||||||||||||||