подгон 2018 (легендарный) / 1 курс-20241122T213915Z-001 / _4.2_ Матан / Ефимов Поспелов - Сборник задач ч
.2.pdf
§ 1. Основные понятия
189
|
8.34. |
|
lim |
|
sin xy |
|
8.35. |
lim |
( 1 + х2 + y2 ) 1 f(x2 |
+y2 ) . |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
x |
- tO |
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
x |
-tO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
-+0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
у-+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.36. |
lim |
|
|
|
|
|
. |
|
|
1 |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
(Х2 + у2) SШ |
х |
|
+ у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x- t o o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
y-t oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
||
|
8.37. Поиазать , что при х -t О и у -t О |
|
фун:кцш1 z = |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
у - х |
|||||||||||||||||||||||||||
может стремиться :к любому пределу. |
Привести примеры такого |
||||||||||||||||||||||||||||
приближения точки (х, |
у) :к точке (О, |
О) , |
при :котором lim z = 3, |
||||||||||||||||||||||||||
lim z = 2, |
lim z = |
1 , |
liш z = |
-2. |
|
|
|
|
|
|
х - у |
|
|
., |
|
|
|
|
|||||||||||
|
8.38. Поназать, что для функции f (х, у) = |
не существует |
|||||||||||||||||||||||||||
|
lim f (x, |
у) , вычислив повторные пределы |
|
х + у |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
-- |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
xу--+0tO |
|
|
li |
ш |
|
( нш J(x, у)) |
, |
li |
ш |
(li |
ш f (х, у) ) . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
х-+0 |
у |
-+0 |
|
|
|
|
|
y-tO |
х-+0 |
у) |
|
|
|
|
2 х2у2 |
|
|
||||||||
|
8.39. |
Показать , |
что |
для фующии |
f (х, |
= |
х |
2 |
у |
- у) |
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
(х |
|
|||
существуют и равны между собой повторные пределы |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
lim |
|
( 1iш f (х, у)) |
= liш |
( нm f (х, |
у) ) |
= О, |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
х-+0 |
|
у-+0 |
|
|
|
|
у-+0 |
х-+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
тем не менее |
|
lim |
f (х, |
у) не существует. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
х-+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
х -t О, у -t О? |
у-+0 |
имеет ли функция sin ln (х4 + у2 ) |
предел при |
||||||||||||||||||||||||||
|
8.40. |
Выяснить, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х2 |
+ |
у4 |
|
|
|
|
|
|
х -t оо, |
|||
|
8.41 . Вьшснить, имеет ли функция |
х4 |
+ |
у |
2 |
предел при |
|||||||||||||||||||||||
у -t оо? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.42* . Показать, что фующия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
f (х, |
у) = { |
х2 |
у |
|
|
|
|
|
х2 + у2 =!= |
О, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
х4 + у2 ' |
если |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
(О, О) |
|
|
|
|
|
о , |
|
|
|
если |
х = у = О |
|
х |
= |
|
t cos а, |
|||||||||||
в |
точке |
|
непрерывна |
|
вдоль |
:каждого |
|
луча |
|
|
|||||||||||||||||||
у |
= t sin a |
(О |
|
::;;t |
< |
+оо) , |
|
проходящего через эту |
точку, т. е. |
||||||||||||||||||||
.f (t cos a, t sin a) |
= |
J(O, |
О) , |
однюю эта функция не "является |
|||||||||||||||||||||||||
непрерывной в точке (О, |
О) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
§ 1. Основные понятия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
191 |
|||||||||||||||||
Частные производные вычисл11ютс11 по обычным правилам и форму |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
лам дифференцировани11 |
(при этом все переменные, .кроме |
|
Xk , |
рассма |
|||||||||||||||||||||||||||||
триваютс11 .кан посто11нные). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
П р и м е р |
5. |
Найти частные производные фующии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
= arctg '}!_. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
<1 Счита11 у посто11нной, получим |
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
дх 1 + (у/х |
) |
2 |
|
- |
|
х |
2 = |
- +iJ2· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Счита11 х посто11нной, |
получим |
|
( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
дz _ _1 |
_ |
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
дz |
- |
1 + |
1 |
/х) 2 |
|
1 |
- х2 |
х |
· |
1> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
ду |
(у |
|
|
|
+ у2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Фуннци11 |
|
|
= f (x1 , |
х2 |
, |
. . . , |
Хп) |
|
называетс11 |
оJиородной |
фуннцией |
||||||||||||||||||||||
ношение (т е оир |
е м а Э й л е р а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
степени m, если дл11 любого действительного числа t :j:. О справедливо |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
= f (x1 , х2 , . . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Если однородна11 степени m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Хп |
|
имеет |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
фующи11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
) |
|
|
||||||||||
частные производные по наждой из переменных, |
то выполн. |
11етс11 соот |
|||||||||||||||||||||||||||||||
.т1 f 1 (х 1 , Х2, |
. . |
. , |
Хп) |
+ X2 f 2 (x1 , |
Х2 , . . |
. |
, |
х" ) + . . . |
j |
|
|
|
2 |
, . . . , Хп)· |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
· · · + Хпf п |
(х1 , |
Х2 |
, |
. . . , :Еп) |
|
|
(x1 , |
Х |
|||||||||||||||||||||
П р и м е р |
6. |
Проверить теорему Эйлераи, |
если= m |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
<1 Имеем |
|
|
|
f(x, у) = Ах |
2 |
+ 2Вх |
у |
+ Су2 . |
= t2 j (x, у) . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ 2B(tx)(ty) + C(ty)2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
f(tx, ty) = A(tx) 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Следовательно, |
|
|
= 2; |
2 (Ах |
|
+ Ву) , |
|
|
f (x , |
у) = 2 (Вх |
+ Су) , |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
f (x , |
у) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
1> |
|||||||||||||||||||||||
xf (x, у) + yf (x , у) = 2 |
х ( |
Ах + Ву) |
|
+ 2у(Вх |
+ |
Су) |
= 2f(x, у). |
|
|||||||||||||||||||||||||
Частны.ми производ'Кыми2-20 nорлдка |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
, |
|
|
|
, п) |
||||||||||||||||||||
называютс 1 |
частные |
п 1оиsводные |
|
от |
|
ее |
фуннциичастных нронзводных.f(з; х2 , . .. |
перз; |
|||||||||||||||||||||||||
во1·0 нор11д1щ. |
|
m |
|
|
|
|
нторого |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и = |
|
следующим |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
порrщна обозначаютсн |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
Производные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
§ 1. Основные понятия |
197 |
Следовательно,
)(4,05)2 |
+ (3,07)2 |
5 + 0,08 = 5,08. |
r> |
Дифференцирло.м, 2-го пор.ядка d2u фующии и = f(x1 , х2 , . . " хп)
называетсfl дифференциал от ее дифференциала 1-го порflдна, рассма триваемого нан фуннциfl переменных х1 , х2, • • " Хп при финсированных значениflх dx1 , dx2 , . . ., dxn:
d2u = d(du).
Аналогично определflетСfl дифференциал 3-го порflдна:
Вообще, |
|
|
|
|
|
|
dmu = d(dm-lu). |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
(x1 |
, х2 , |
. . ., хп) |
где х1 , |
||||||
Дифференциал m-го порflдна фуннции и = |
||||||||||||||||||
х , . . ., |
Хп |
- |
независимые переменные, выражается символичесной фор |
|||||||||||||||
мулой2 |
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
dхп) |
|
|
|
|||
|
|
d |
m |
u = |
д |
dx1 + |
д |
|
dx2 + . . . + |
|
д |
m |
и, |
(2) |
||||
|
|
|
|
|
аХ1 |
д |
Х2 |
д |
Хп |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
нотораfl формально раснрываетсfl |
по биномиальному занону. |
|
||||||||||||||||
· Например, в случае фующии z = f(x, у) двух независимых пере |
||||||||||||||||||
менных х и у длfl дифференциалов 2-го и 3-го порflднов справедливы |
||||||||||||||||||
ф м ы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
d2z = |
д2z |
|
|
д2z |
|
д2z |
dy |
|||
|
дх2 dx2 + 2 |
8х ду dx dy + |
8у2 |
||||||||
З |
азZ ' |
З |
[J |
З |
-(у dx + х |
|
|
|
|||
Z |
2 |
|
азz |
|
|
|
2 |
||||
d z - дхЗ dx + 3 дх2 ду dx |
|
dy + 3 дх ду2 |
|
dx dy |
|
||||||
П р и м е р 11. |
Найти d2z, если z = ехУ. |
|
|
|
|
|
|||||
<J Имеем (по правилам дифференцировани11) |
|
|
|
|
|||||||
|
|
dz = е'"У d(xy) = ехУ |
|
|
dy). |
|
|||||
2,
+азz
[)уЗ
dy
З
.
(3)
(4)
Дифференцируем вторично, учитываfl, что dx и dy не зависfIТ от х и у
(т. е. считаfl dx и dy постоянными):
= ехУ(у dx |
·+ х dy)2 + еху2 dx dy = еху ((у dx + х dy)2 + 2 dx dy) . [> |
d2z = еху d(xy) |
(у dx + х dy) + еху d(y dx + х dy) = |
